高中数学抽象函数的图像以及抽象函数常见类型及部分题目.doc

函数的定义域为，则其图像为：1，若把这个图像向左平移个单位，得到新图像为：简单说明：新图像上任取点，向右平移个单位得到，这个点在图像上，所以向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出2，若把图像按照直线作一次对称，得到新函数为简单说明：新图像上任取点，按照直线作一次对称得到点，这个点在图像上，所以按照直线作对称类似，请自己给出需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像），另外，按照直线作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。3，若把图像按照点作对称，得到新函数简单说明：新图像上任取点，按照点作对称，得到点，这个点在图像上，则，整理得4，若把图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的倍（），纵坐标不变，那么得到新函数图像是简单说明：新函数图像上取点，变回去，这点在图像上，所以至于竖直方向的伸缩，请自己给出华丽的分割线下面是函数图像本身的对称性5，如果一个函数向左平移个单位与原图像重合，即是一个周期，那么按照第1条，这个新函数与原函数重合，也就是说：6，如果一个函数有一条对称轴，那么按照第2条到的新函数与原函数是同一个，也就是说：，至于类似这样的条件，改写一下是非常显然的7，如果一个函数有一个对称中心，那么按照第3条，与原函数是同一个函数，也就是说：，类似6，这个条件也可以作适当改写8，出于好奇，我们来看看当时函数会如何，显然，它会成为常函数分割线路过另外一类常见的变换是关于绝对值的9，把函数的图像在轴下方部分全部作对称到上方，上方部分不变，得到新函数：，这是显然的，去掉绝对值讨论一下就行10，把函数的图像在轴右边部分全部作对称到左边，左边部分不变，得到新函数：，这也是显然的去掉绝对值讨论一下就行分割线再次路过11，另外补充的是半周期，如果或者，那么是半周期，证明是容易的，请自己给出。另外我们可以知道，反推是不成立的，半周期可以有其它写法。一般的写法是，且分割线继续路过关于抽象函数，除了图像外，还有一类题，如果能记得一些具体模型，会有一些好处。当然，不要满足于这几类，只有找到本质才能解决新题。表格放在最后。分割线坚持路过例1：（第7届希望杯）函数的值域，则的值域为 例2：（第5届希望杯）定义为的函数，对任何，都有，则 例3：设是上的不减函数，即对于有，且满足：（1）；（2）；（3），则 例4：（第4届希望杯）设奇函数的定义域为，且对任意，都有，当时，是增函数，则函数在区间上的最大值是 2抽象函数的单调性例5：（第14届希望杯）奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为， 例6：设是定义在上的增函数，且，若，则成立的的取值范围是 3抽象函数的奇偶性例7：（第6届希望杯）是定义在上的奇函数，它的最小正周期为2，则A、1或0 B、1或 C、0 D、1 例8：（第4届希望杯）函数的定义域是，函数，已知，则 数学试卷 第4页共6页4抽象函数的周期性例9：（第12届希望杯）定义在实数集上的函数，满足，则的值为 例10：（第12届希望杯）定义在上的非常数函数，满足（1）为偶函数；（2），则一定是（ ）A 、是偶函数，也是周期函数 B、是偶函数，但不是周期函数C、是奇函数，也是周期函数 D、是奇函数，但不是周期函数 补充练习题1函数是定义在上的实函数，它既关于对称，又关于对称，那么的周期是（ ）（A） （B） （C） （D） 2已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）（A） （B） （C） （D）3定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ）（A）0 （B）1（C）3 （D）5 4定义在上的函数，它具有下述性质：（1）对任何，都有；（2）对任何，都有则的值为（ ）（A）0 （B）1 （C） （D）不确定5已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，则 6（第5届希望杯）函数是定义域为的奇函数，且为增函数，则实数的取值范围是 7定义在上的函数，恒有若，那么 8已知函数的定义域为，并对一切实数，都满足（1）证明：函数的图像关于直线对称；（2）若又是偶函数，且时，求时的的表达式9（200