直线一级倒立摆的建模及性能分析.doc

直线一级倒立摆的建模及性能分析1 直线一级倒立摆数学模型的建立12 直线一级倒立摆系统的实际模型53 直线一级倒立摆系统的性能分析63.1相关理论的介绍63.2倒立摆系统的性能分析71 直线一级倒立摆数学模型的建立所谓系统的数学模型，是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内部与外部某些主要相关因素之间的精确的定量表示。数学模型是分析、设计、预测以及控制一个系统的理论基础。因此，对于实际系统的数学模型的建立就显得尤为重要。系统数学模型的构建可以分为两种：实验建模和机理建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对像并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。机理建模就是在了解研究对象的运动规律的基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是不稳定的系统，无法通过测量频率特性的方法获取其数学模型，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统，其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律，因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。为了简单起见，在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样就可以通过力学原理建立较为精确的数学模型。我们可以应用牛顿力学的分析方法或者欧拉拉格朗日原理建立系统的动力学模型。对于直线一级倒立摆这样比较简单的系统，我们采用通俗易懂的牛顿力学分析法建模。为了建立直线一级倒立摆的数学模型，采用如下的坐标系：图1直线一级倒立摆的物理模型其中，F为加在小车上的力，M为小车质量，m为摆杆质量，I为摆杆惯量，l为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x为小车位移，为摆杆与垂直向上方向的夹角，b为小车在滑轨上所受的摩擦力，N和P为摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。分析小车水平方向上的合力，我们可以得到以下的方程： (1)分析摆杆水平方向上的受力，我们可以得到如下的方程： (2)即： (3)综合（2-1）和（2-3），我们可以得到以下的动力学方程： (4)分析摆杆垂直方向上的合力，我们可以得到如下的方程： (5)即： (6)根据摆杆的力矩平衡方程，可以得到如下的方程： (7)在（7）式中我们令为摆杆与垂直向下方向的夹角，则。合并（6）与（7）我们可以得到以下的动力学方程： (8)因为倒立摆在保持垂直向方向上的平衡时的很小，即，则可以进行做近似处理：，。设u代表被控对象的输入力F，式（4）和式（8）经线性化后为： (9)对式（2-7）进行拉普拉斯变化，得到以下的方程式： (10)在（10）式中推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度，求解方程组（10）的第一个方程可以得到： (11)令，则有： (12)将式（11）代入方程组（10）的第二个方程，可以得到：(13)整理后等到以下的传递函数： (14)其中，。设系统的状态空间方程为： (15)对方程组（7）进行代数变换可得： (16)整理得到系统的状态方程为： (17) (18)其中，x为小车的位移，为小车的速度，为摆杆的摆角，为摆杆的角速度，u为输入力F，y为输出矩阵。由（7）式的第一个方程： (19)对于质量均匀分布的摆杆有，因此可以得到： (20)化简后得到： (21)设，则有： (22) (23)其中，u为小车的加速度。2 直线一级倒立摆系统的实际模型实际系统模型的参数如表1：表1系统模型参数M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109KgB小车摩擦系数0.1N/m/secL摆杆长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*m将上述参数带入1节中的各个方程式，可以得到系统相应的实际模型。倒立摆系统中，摆杆角度和小车所受外力的传递函数如下： (24)以外界作用力为输入的系统的状态方程如下： (25) (26)以小车加速度为输入的系统的状态方程如下： (27) (28)3 直线一级倒立摆系统的性能分析3.1相关理论的介绍在得到倒立摆系统的实际模型后，我们就可以运用控制理论的相关知识对其特性进行分析，其中最重要的是系统的稳定性、能控性和能观性。在分析倒立摆系统的性能之前，我们有必要了解相关的定理。定理1（稳定性判据）Lyapunov第一法判定定理：对于线性定常系统有：（1） 系统的每一平衡状态是在Lyapunov意义下稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。（2）系统的唯一平衡状态是渐进稳定的充分必要条件是：A的所有特征值具有负实部。定理2（能控性判据）n阶线性定常连续系统状态完全能控当且仅当系统的能控性矩阵： (29)满秩，。定理3（能观性判据）n阶线性定常连续系统 (30)状态完全能观，当且仅当系统的能观性矩阵： (31)满秩，即。3.2倒立摆系统的性能分析倒立摆系统的状态方程为： (32)其中，将A的值带入特征方程，经过计算可以得到系统的特征值： (33)系统有两重特征根在原点，有一个特征根在复频域的右半平面上，有一个特征根在复频域的左半平面上，由定理1可知：直线一级倒立摆系统是不稳定的。将A、B、C的