南京大学2008年和2009年数学分析考研试题及解答.doc

南京大学2008年数学分析考研试题一 设为上的周期函数，且，证明恒为0。二 设定义在上的二元函数关于，的偏导数均恒为零，证明为常值函数。三 设为上的一致连续函数，且， 问：是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。四 是否存在区间上的数列，使得该数列的极限点（即聚点）集为，把极限点集换成，结论如何？请证明你的所有结论。五 设为上的非负连续函数，且，问是否在上有界? 若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。六 计算由函数和的图像在平面上所围成区域的面积。七 计算积分。八 计算积分，其中为如下区域：， 为正常数。九 设，证明：级数是收敛的。十 方程在附近决定了隐函数，求的值。十一 求函数在约束条件，下的极值，并判断极值的类型。十二 设，且，证明：。十三 设为上的连续函数，且对任意正整数，均有 ，证明：为常值函数。南京大学2008年数学分析考研试题解答一 证明 设的周期为，则有，由条件知， 结论得证。二 证明 因为，在上连续，对任意，有，所以，即为常值函数。三 解 未必为连续函数。反例：，在上连续，又，所以在上一致连续，显然在上不连续。四 解（1）存在。取中的有理数形成的点集，则有。（2）不存在。假若存在，使得，由于是闭集，而为开集，矛盾，所以这样的点列不存在。五 未必有在上有界，未必有。六 解 显然两曲线的交点横坐标为，。七 解 显然这个二重广义积分是收敛的。由，。八 解 十 解，。十一 解 ，。十二 证明 ，于是，故有。十三 证明 作函数，是周期为的偶函数，当时，则在上连续，在可积。，在中收敛于，由在上连续，知，即得，在上为常值函数。南京大学2009年数学分析考研试题1 开区间内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。2 若级数收敛，则是否有收敛，是请证明；否请举反例。3 设，求。4 求。5 若函数在上可导，则是否一定有界，是请证明；否请举反例。6 函数连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点。7 函数在上有二阶导数，求证：，。8 函数是一个函数，计算 。9 计算，其中是八分之一球面，方向朝外。10 、已知是上有界变差函数，求证：，其中是的傅里叶系数。南京大学2009年数学分析考研试题解答1 解 尽管中的有理数的个数是可数的，但中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列，理由如下：（1）由于中无最小的有理数，也无最大的有理数；（2）用反证法，假若中的有理数按由小到大的顺序排成了一列 ，中应没有有理数了，而中仍有有理数，矛盾。2 解 由级数收敛，未必退出收敛。反例：设，显然收敛，但发散。3 解 设则有，由夹逼定理，知。4 解 。5 解 由在上可导，即在上存在，但未必在上有界。反例：，在上无界。6 证明 不妨设是的唯一的极小值点，则存在，当时，有 ，我们要断言，对所有，。用反证法，假若存在，使得，不妨设，由连续函数的介值性，存在，使得，在的内部达到最大值，因而也是极大值，这与有唯一性的极值点相矛盾，所以是最小值，结论得证。7 证明 由，知在上