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圆锥曲线与方程专题1、椭圆考点1、椭圆的定义：椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。特别提示：椭圆的定义中特别要注意条件，否则规矩不是椭圆。当时，动点的轨迹是两定点间的线段；当时，动点的轨迹不存在。必备方法： 1、掌握椭圆定义的集合语言表述有助于增强驾驭数学符号语言的能力，椭圆的集合语言表述如下： 若为椭圆上任意一点，则有。 2、一般地，遇到与椭圆的焦点距离有关的问题都可以考虑用椭圆的定义解决。典例导悟：例1、已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于轴的直线交C于A、B两点，且，则C的方程为（ ） A、 B、 C、 D、例2、已知点，直线与椭圆相交于A、B两点，则的周长为（ ） A、4 B、8 C、12 D、16例3、设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，则的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、考点2、椭圆的标准方程： 1、椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上时： （） （2）焦点在y轴上时： （） 2、在椭圆的标准方程中，都有，且。必备方法： 1、给出椭圆方程时，判断椭圆焦点的位置的方法是：椭圆的焦点在x轴上时；椭圆的焦点在轴上时，这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法。 2、在求解椭圆问题时，首先要判断焦点、的位置，这是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，而方程中的两个参数、确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。 3、当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设为（，且）典例导悟：例1、已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ） A、 B、 C、 D、例2、已知椭圆的离心率为。双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ） A、 B、 C、 D、例3、对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件考点3、椭圆的几何性质：必备方法： 1、在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出和的值，而是根据题目中给出的椭圆的几何特征，建立关于参数、的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。 2、椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理。 3、涉及直线与椭圆相交问题，常将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元转化为一元二次方程，然后结合判别式、根与系数关系（，）解题。 4、涉及中点弦问题，常用点差法来解决（一、设点；二、代点；三、作差）标准方程 简 图范 围 顶点 对称轴 轴，轴对称中心 坐标原点O焦点坐标 轴 长轴长为，短轴长为焦距 离心率 （），间关系 焦点三角形 （）弦长公式椭圆上点到焦点的最小距离为，最大距离为。典例导悟：例1、设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、例2、已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、例3、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、例4、从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、例5、椭圆的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，若、成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、例6、已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点。若，则椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、专题2、双曲线考点1、双曲线的定义： 双曲线的定义：平面上与两个定点、距离的差的绝对值为非零常数2（小于）的动点轨迹是双曲线（）。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。特别提示：定义中的“绝对值”与不可忽视。若，则轨迹是以、为端点的两条射线；若，则轨迹不存在；若，则轨迹为线段的垂直平分线。另外，若去掉定义中的绝对值，则轨迹仅表示双曲线的一支。如：方程表示的双曲线是双曲线的左支。必备方法：1、类比椭圆，双曲线定义的集合语言表述如下：2、 在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”。典例导悟：例1、已知双曲线，点、为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 例2、已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，则（ ） A、2 B、4 C、6 D、8例3、已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，则（ ） A、 B、 C、 D、考点2、双曲线的标准方程：1、双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上时： （2）焦点在y轴上时： 特别提示：在双曲线方程中和的大小关系不定，这一点与椭圆是不同的。2、在双曲线的标准方程中，有关系式成立，且。必备方法：1、双曲线的焦点在轴上标准方程中项的系数为正；双曲线的焦点在轴上标准方程中项的系数为正，这是判断双曲线的焦点所在坐标轴的重要方法。2、双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是轴还是轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”，是指利用待定系数法求出方程中的，的值，最后写出双曲线的标准方程。3、在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或直接设双曲线的方程为（）典例导悟：例1、在平面直角坐标系中，已知双曲线上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为 例2、已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ） A、 B、 C、 D、例3、已知双曲线C：和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 例4、已知抛物线的准线过双曲线C：的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 考点3、双曲线的几何性质：必备方法： 1、双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（对称中心、一个焦点以及一个虚轴端点构成的三角形、双曲线上的一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系。 2、双曲线的渐近线方程的求解是一个重要问题，已知双曲线方程求其渐近线方程时，一方面可以应用公式求得，另一方面，也可将双曲线方程中的“1”改为“0”，便可得到其渐近线方程。另外与双曲线具有共同渐近线的双曲线的方程都可以设为，然后再根据其他条件求出，代入便可求出双曲线方程。3、与双曲线共焦点的圆锥曲线方程为且标准方程 简 图范 围 顶点 对称轴 轴，轴对称中心 坐标原点O焦点坐标 轴 实轴长为，虚轴长为焦距 渐近线方程 离心率 （），间关系 焦点到渐近线的距离 焦点三角形 （）弦长公式典例导悟：例1、已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（ ） A、 B、 C、 D、例2、已知F为双曲线C：的左焦点，P、Q为C上的点。若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则的周长为 例3、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A、 B、 C、1 D、例4、已知双曲线的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（ ） A、 B、 C、 D、例5、设P为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 例6、已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为，则 ， 例7、中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、例8、设O为坐标原点，、是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点P，满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A、 B、 C、 D、例9、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、例10、如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、 B分别为与在第二、四象限的公共点。若四边形为矩形，则的离心率是 考点1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。特别提示：抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线）。必备方法：、抛物线定义的集合语言表述如下：，即2、 抛物线的定义实质上实现了一种转化，即将抛物线上的点到焦点的距离转化为这个点到准线的距离，或者把抛物线上的点到准线的距离转化为这个点的到焦点的距离，这种转化在相应的情况下都能起到化繁为简的作用，因此要特别注意抛物线的定义在解题中的重要作用。典例导悟：例1、已知F是抛物线的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到轴的距离为（ ） A、 B、1 C、 D、例2、设抛物线上一点P到轴的距离是4，则点P到抛物线焦点的距离是（ ） A、4 B、6 C、8 D、12例3、已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ） A、 B、1 C、2 D、4例4、已知过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|= 例5、动点P到点F（2，0）的距离与它到直线的距离相等，则点P的轨迹方程为 例6、O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则的面积为（ ） A、2 B、 C、 D、4例7、设抛物线C： 的焦点为F，直线过F且与C交于A、B两点。若|AF|=3|BF|，则 的方程为（ ） A、或 B、或 C、或 D、或考点2、抛物线的标准方程：抛物线的标准方程有四种形式： （1）焦点在轴的正半轴上的抛物线的标准方程为，焦点坐标为，准线方程为； （2）焦点在轴的负半轴上的抛物线的标准方程为，焦点坐标为，准线方程为； （3）焦点在轴的正半轴上的抛物线的标准方程为，焦点坐标为，准线方程为； （4）焦点在轴的负半轴上的抛物线的标准方程为，焦点坐标为，准线方程为。必备方法： 1、抛物线的标准方程中参数的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0，当抛物线的标准方程中一次项的系数为负值时，不要误以为。 2、抛物线的标准方程的求解方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在坐标轴是轴还是轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数的值，从而得出抛物线的标准方程。典例导悟：例1、设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（ ） A、 B、 C、 D、 例2、动点P到点F（2，0）的距离与它到直线的距离相等，则点P的轨迹方程为 例3、已知双曲线的离心率为2。若抛物线：的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（ ） A、 B、 C、 D、例4、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且和轴交于点A。若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ） A、 B、 C、 D、考点3、抛物线的几何性质：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率必备方法： 1、抛物线不同于椭圆，它是一种不封闭的曲线；它只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点，没有对称中心；它的离心率不变，恒为1. 2、过抛物线的焦点F作一条直线交抛物线于，两点，则称线段为抛物线的焦点弦。设直线的倾斜角为，则有如下结论： （1）， （2） （3） （4）以线段AB为直径的圆与准线相切 （5）当AB与抛物线的对称轴垂直时，称线段AB为抛物线的通径，它是焦点弦中的最短者，等于 （6）设M为准线与轴的交点，则 （7）设A、B在准线上的射影分别为、，若P为的中点，则 （8）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于轴，反之，若过点B平行于轴的直线交准线于C，则A、O、C三点共线。典例导悟：例1、若抛物线的焦点坐标为（1，0），则 ，准线方程为 例2、抛物线的焦点到直线的距离是（ ） A、 B、2 C、 D、1例3、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|= 例4、已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A、B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则