立体几何第15章+简单几何体(2016上师大附中练习+答案)-1.doc

【章节训练】第15章 简单几何体-1一、选择题（共4小题）1已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A6：5B5：4C4：3D3：22长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A20B25C50D2003若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A至多等于3B至多等于4C等于5D大于54 某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）ABCD二、填空题（共4小题）（除非特别说明，请填准确值）5（2015杨浦区模拟）若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体内接于球如图，设长方体ABCDA1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，则A、B两点之间的球面距离为6（2015鹰潭一模）球O为边长为4的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DPBM，则点P的轨迹周长为7（2015山东校级模拟）一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为8（2015四川）在三棱住ABCA1B1C1中，BAC=90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PAMN的体积是三、解答题（共15小题）（选答题，不自动判卷）9在长方形ABCDA1B1C1D1中，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，若AB=BC=2，且这个几何体的体积为（）求几何体ABCDA1C1D1的表面积；（）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直？如果存在，求线段A1P的长；如果不存在，请说明理由10如图所示的一块木料中，棱BC平行于面AC（）要经过面AC内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（）所画的线与平面AC是什么位置关系？并证明你的结论11（2015上海模拟）如图：将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到一个长为2，宽AA1为2的矩形（1）求此圆柱的体积；（2）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达A1，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）12（2015葫芦岛一模）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BFAE，F是垂足（1）求证：BFAC；（2）若CE=1，CBE=30，求三棱锥FBCE的体积13（2015浦东新区二模）一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A，12：03时卫星通过C点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离（精确到1千米）（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）14如图，在AOB中，AOB=，BAO=，AB=4，D为线段BA的中点AOC由AOB绕直线AO旋转而成，记BOC=，（0，（1）证明：当=时，平面COD平面AOB；（2）当三棱锥DBOC的体积为1时，求三棱锥ABOC的全面积15（2015徐汇区一模）如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角=arctan若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r0）（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离16（2015闵行区二模）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点若PQ与SO所成角为，求此圆锥的全面积与体积17一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M，N分别是AF，BC的中点）（1）求证：MN平面CDEF；（2）求多面体ACDEF的体积18）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（）证明：平面AEF平面B1BCC1；（）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积19九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE（）证明：DE平面PBC试判断四面体EBCD是否为鳖臑若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值20如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，BAC=60（1）求三棱锥PABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值21如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB（3）求三棱锥VABC的体积22如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AB=4，AD=CD=2将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示（）求证：BC平面ACD；（）求几何体DABC的体积23如图，在三棱锥PABC中，ACBC，平面PAC平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l（）求证：直线l平面PAC；（）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由【章节训练】第15章 简单几何体-1参考答案与试题解析一、选择题（共4小题）1（2015秋雅安校级月考）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A6：5B5：4C4：3D3：2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【专题】计算题【分析】设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2r2+2r2r=6r2球的全面积是：4r2，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选D【点评】本题考查旋转体的表面积，是基础题2（2015徐汇区模拟）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A20B25C50D200【考点】球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】计算题【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，R=S球=4R2=50故选C【点评】本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题3（2015广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A至多等于3B至多等于4C等于5D大于5【考点】棱锥的结构特征菁优网版权所有【专题】创新题型；空间位置关系与距离【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n5，不成立故选：B【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题4（2015湖南） 某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图菁优网版权所有【专题】创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1），0x2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，V=2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，此长方体底面边长为n的正方形，高为x，根据轴截面图得出：=，解得；n=（1），0x2，长方体的体积=2（1）2x，=x24x+2，=x24x+2=0，x=，x=2，可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，最大值=2（1）2=，原工件材料的利用率为=，故选：A【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题二、填空题（共4小题）（除非特别说明，请填准确值）5（2015杨浦区模拟）若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体内接于球如图，设长方体ABCDA1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，则A、B两点之间的球面距离为【考点】球面距离及相关计算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD边长为2，高AA1=2，它的八个顶点都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的对角线长为球的直径，中点O为球心，根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径即可【解答】解：由题意可得：长方体ABCDA1B1C1D1为正四棱柱ABCDA1B1C1D1，所以正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD边长为2，高AA1=2，它的八个顶点都在同一球面上，则正四棱柱ABCDA1B1C1D1的对角线长为球的直径，中点O为球心所以正四棱柱对角线AC1=4，则球的半径为2在AOB中根据余弦定理可得AOB=；则A，B两点的球面距离为 故答案为：【点评】解决多面体与球相关的“切”“接”问题时，关键是抓住球心的位置，球心是球的灵魂，再根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径这是通性通法6（2015鹰潭一模）球O为边长为4的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DPBM，则点P的轨迹周长为【考点】棱柱的结构特征；球面距离及相关计算菁优网版权所有【专题】立体几何【分析】首先，求解其内切球的半径，然后，结合球面的性质求解点O到平面DCN的距离，然后，确定其周长【解答】解：根据题意，该正方体的内切球半径为r=2，由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CNBM，正方体ABCDA1B1C1D1，CN为DP在平面B1C1CB中的射影，点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，正方体ABCDA1B1C1D1的边长为4，O到过D，C，N的平面的距离，截面圆的半径为：，点P的轨迹周长为：故答案为：【点评】本题重点考查球面距离及相关计算，属于中档题7（2015山东校级模拟）一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为8：27【考点】球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r2=h（2Rh），求出球的内接圆锥的最大体积，即可求得结论【解答】解：设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r2=h（2Rh）V锥=r2h=h2（2Rh）=hh（4R2h）=R3V球=R3球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为8：27故答案为8：27【点评】本题考查球的内接圆锥的最大体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题8（2015四川）在三棱住ABCA1B1C1中，BAC=90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PAMN的体积是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥PAMN的体积即可【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥PAMN的体积是：=故答案为：【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力三、解答题（共15小题）（选答题，不自动判卷）9（2015福建模拟）在长方形ABCDA1B1C1D1中，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，若AB=BC=2，且这个几何体的体积为（）求几何体ABCDA1C1D1的表面积；（）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直？如果存在，求线段A1P的长；如果不存在，请说明理由【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】（）根据题目条件得出h=4，运用平面几何知识求解面积即可（）运用向量的知识设以DA，AC，DD1为x，y，z轴，D（0，0，0），C1（0，2，4），P（x，2，z），A1（2，0，4），=（0，2，4），=（x2，2，z4），根据数量积为0，得出存在点（，2，3）使直线A1P与C1D垂直，在运用线段的长度求解即可【解答】解：（）根据题意得出：4h4h=h=，h=4，S=2，S=22=4，S=6S侧=244+6=30几何体ABCDA1C1D1的表面积36，（）以DA，AC，DD1为x，y，z轴，D（0，0，0），C1（0，2，4），P（x，2，z），A1（2，0，4），=（0，2，4），=（x2，2，z4），若直线A1P与C1D垂直，所以=0故得出z=3，=，x=，存在点（，2，3）使直线A1P与C1D垂直，线段A1P的长为=【点评】本题考查了空间几何体的性质，运用求解面积，线段的长，运用行两点知识确定点的存在问题，属于中档题10（2015西安模拟）如图所示的一块木料中，棱BC平行于面AC（）要经过面AC内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（）所画的线与平面AC是什么位置关系？并证明你的结论【考点】棱柱的结构特征菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】（）注意到棱BC平行于面AC，故过点P作BC的平行线，交AB、CD于点E，F，连结BE，CF；（）易知BE，CF与平面AC的相交，可证EF平面AC【解答】解：（）过点P作BC的平行线，交AB、CD于点E，F，连结BE，CF；作图如下：（）EF平面AC理由如下：易知BE，CF与平面AC的相交，BC平面AC，又平面BCCB平面AC=BC，BCBC，EFBC，又EF平面AC，BC平面AC，EF平面AC【点评】本题考查了学生的作图能力及线面位置关系的判断，属于中档题11（2015上海模拟）如图：将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到一个长为2，宽AA1为2的矩形（1）求此圆柱的体积；（2）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达A1，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（1）利用将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到一个长为2，宽AA1为2的矩形，求出圆柱的底面半径、高，再求出此圆柱的体积；（2）设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB1+BC1【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，则2r=2，h=2，r=1，h=2，（2分）V=r2h=2（5分）（2）设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB1+BC1（7分）AB1=BC1=（10分）绳长的最小值为2（12分）【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法12（2015葫芦岛一模）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BFAE，F是垂足（1）求证：BFAC；（2）若CE=1，CBE=30，求三棱锥FBCE的体积【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（1）欲证BFAC，先证BF平面AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CEBF，BFAE且CEAE=E，即可证得线面垂直；（2）VFBCE=VCBEF=SBEFCE=EFBFCE，即可求出三棱锥FBCE的体积【解答】（1）证明：AB平面BEC，CE平面BEC，ABCEBC为圆的直径，BECEBE平面ABE，AB平面ABE，BEAB=BCE平面ABE，BF平面ABE，CEBF，又BFAE且CEAE=E，BF平面AEC，AC平面AEC，BFAC（6分）（2）解：在RtBEC中，CE=1，CBE=30BE=，BC=2又ABCD为正方形，AB=2，AE=，BFAE=ABBE，BF=，EF=VFBCE=VCBEF=SBEFCE=EFBFCE=1=（12分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，考查三棱锥FBCE的体积的计算，属于中档题13（2015浦东新区二模）一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A，12：03时卫星通过C点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离（精确到1千米）（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）【考点】球面距离及相关计算菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（1）求出AOC，在ACO中利用余弦定理，即可求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离；（2）设此时天线方向AC与水平线的夹角为，则CAO=+90，所以，即可求此时天线方向AC与水平线的夹角【解答】解：（1）设AOC=，则=9在ACO中，AC2=63702+80002263708000cos9=3911704.327，所以AC1978（千米），所以人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离为1978千米；（2）设此时天线方向AC与水平线的夹角为，则CAO=+90，所以，所以sin（+90）0.6327，所以cos0.6327，所以5045，所以此时天线方向AC与水平线的夹角为5045【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题14（2015湖北模拟）如图，在AOB中，AOB=，BAO=，AB=4，D为线段BA的中点AOC由AOB绕直线AO旋转而成，记BOC=，（0，（1）证明：当=时，平面COD平面AOB；（2）当三棱锥DBOC的体积为1时，求三棱锥ABOC的全面积【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）运用直线平面的垂直，平面的垂直问题之间的转化证明（2）运用直角三角形RtAOB中，得出DE平面BOC，利用体积公式得出：BOC是等边三角形，分别求出等腰三角形ABC的面积为AOB与AOC的面积都是，BOC的面积为，即可得出三棱锥ABOC的全面积【解答】（1）证：当时，即OCOB，又OCOA，OAOB=OOC平面AOB，OC平面COD平面COD平面AOB（2）解：在RtAOB中，取OB的中点E，连接DE，则DEAO，又AO平面BOC，DE平面BOC，BOC是等边三角形，BC=2等腰三角形ABC的面积为AOB与AOC的面积都是BOC的面积为多面体ABOC的全面积是【点评】本题考查了空间几何体的性质，面积，公式求解，面面垂直的问题，综合性较强，属于中档题15（2015徐汇区一模）如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角=arctan若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r0）（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离【解答】解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在POP1中，【点评】本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档16（2015闵行区二模）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点若PQ与SO所成角为，求此圆锥的全面积与体积【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由题意和几何体的特征，取OA的中点H，连接PH，QH，利用线面垂直和勾股定理求出母线长和圆锥的高再代入全面积公式和体积公式求值【解答】解：取OA的中点H，连接PH，QH，则PHSO，且PH=SO，PH平面AQB，PQ与SO所成角为，QPH=，在直角三角形QOH中，点Q为半圆弧的中点，r=10，QH=5，在直角三角形PHQ中，=tan=1，则PH=5，即SO=10，在直角三角形SOA中，SA=10，圆锥的全面积S=r2+rSA=100+100=100（1+），圆锥的体积V=r2SO=10010=，【点评】本题考查了求圆锥的全面积和体积，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力17（2015德阳模拟）一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M，N分别是AF，BC的中点）（1）求证：MN平面CDEF；（2）求多面体ACDEF的体积【考点】简单空间图形的三视图；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定菁优网版权所有【专题】证明题【分析】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADEBCF，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值（1）取BF的中点G，连接MG、NG，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论（2）多面体ACDEF的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积【解答】解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADEBCF，且AB=BC=BF=2，DE=CF=2，CBF=（1）证明：取BF的中点G，连接MG、NG，由M，N分别为AF，BC的中点可得，NGCF，MGEF，平面MNG平面CDEF，又MN平面MNG，MN平面CDEF（2）取DE的中点HAD=AE，AHDE，在直三棱柱ADEBCF中，平面ADE平面CDEF，平面ADE平面CDEF=DEAH平面CDEF多面体ACDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在ADE中，AH=S矩形CDEF=DEEF=4，棱锥ACDEF的体积为V=S矩形CDEFAH=4=【点评】本题考查的知识点是简单空间图形有三视图、棱锥的体积及直线与平面平行的判定根据三视图判断几何体的形状及线面之间的位置关系及长度（面积）大小是解答的关键18（2015湖南）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（）证明：平面AEF平面B1BCC1；（）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】（）证明AEBB1，AEBC，BCBB1=B，推出AE平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF平面B1BCC1；（）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积【解答】（）证明：几何体是直棱柱，BB1底面ABC，AE底面ABC，AEBB1，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，AEBC，BCBB1=B，AE平面B1BCC1，AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1；（）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（）可知CG平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，则A1G=CG=，AA1=，CF=三棱锥FAEC的体积：=【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力19（2015湖北）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE（）证明：DE平面PBC试判断四面体EBCD是否为鳖臑若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（）证明BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（）由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1=由（）知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2=即可求的值【解答】（）证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC，因为ABCD为正方形，所以BCCD，因为PDCD=D，所以BC平面PCD，因为DE平面PCD，所以BCDE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DEPC，因为PCBC=C，所以DE平面PBC，由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB；（）由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1=由（）知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2=因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=CD，所以=4【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（2015安徽）如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，BAC=60（1）求三棱锥PABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（1）利用VPABC=SABCPA，求三棱锥PABC的体积；（2）过B作BNAC，垂足为N，过N作MNPA，交PC于点M，连接BM，证明AC平面MBN，可得ACBM，利用MNPA，求的值【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，BAC=60，可得SABC=因为PA平面ABC，PA=1，所以VPABC=SABCPA=；（2）解：过B作BNAC，垂足为N，过N作MNPA，交PC于点M，连接BM，由PA平面ABC，知PAAC，所以MNAC，因为BNMN=N，所以AC平面MBN因为BM平面MBN，所以ACBM在直角BAN中，AN=ABcosBAC=，从而NC=ACAN=由MNPA得=【点评】本题考查三棱锥PABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（2015北京）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB（3）求三棱锥VABC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（1）利用三角形的中位线得出OMVB，利用线面平行的判定定理证明VB平面MOC；（2）证明：OC平面VAB，即可证明平面MOC平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥VABC的体积【解答】（1）证明：O，M分别为AB，VA的中点，OMVB，VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC；（2）AC=BC，O为AB的中点，OCAB，平面VAB平面ABC，OC平面ABC，OC平面VAB，OC平面MOC，平面MOC平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，AB=2，OC=1，SVAB=，OC平面VAB，VCVAB=SVAB=，VVABC=VCVAB=【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键22（2015雅安模拟）如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AB=4