2015四年级奥数竞赛试题详解.pdf

20152015 年四年级学而思综合能力测评 学而思杯 年四年级学而思综合能力测评 学而思杯 数学试卷 样卷 考试时间 90 分钟 满分 150 分 考生须知 请将所有答案填写在答题纸 上 第 卷 填空题 共 90 分 一 填空题 每题 5 分 共 20 分 1 若 A B 表示 A 3B A B 则 5 7 的值为 考点 定义新运算之直接运算 难度 2 星 解析 A B是这样结果这样计算出来 先计算A 3B的结果 再计算A B的结果 最后两个 结果求乘积 由 A B A 3B A B 可知 5 7 5 3 7 5 7 5 21 12 26 12 312 答案 312 2 实验小学四年级二班 参加语文兴趣小组的有 28 人 参加数学兴趣小组的有 29 人 有 12 人两个小组都参加 这个班有 人参加了语文或数学兴趣小组 考点 两量重叠问题 难度 1 星 解析 如图所示 A圆表示参加语文兴趣小组的人 B圆表示参加数学兴趣小组的人 A与B 重合的部分C 阴影部分 表示同时参加两个小组的人 图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文 兴趣小组未参加数学兴趣小组的人 有28 1216 人 图中B圆不含阴影的部分表示只参加数 学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人 有29 1217 人 方法一 由此得到参加语文或数学兴趣小组的有 16 12 1745 人 方法二 根据包含排除法 直接可得 参加语文或数学兴趣小组的人 参加语文兴趣小组的人 参加数学兴趣小组的人 两个小组都 参加的人 即 2829 1245 人 答案 45人 CBA 3 下图中共有 个三角形 考点 简单的几何计数 难度 2 星 解析 分类枚举得到 边长是 1 个单位长度的有 12 个三角形 边长是 2 个单位度的有 6 个三 角形 边长是 3 个单位长度的有 2 个三角形共有12 6220 个 答案 20 个 4 有一堆粗细均匀的圆木 堆成梯形 最上面的一层有 5 根圆木 每向下一层增加一根 一共 堆了 28 层 那么最下面一层有 根 考点 等差数列应用题 难度 2 星 题型 解答 解析 将每层圆木根数写出来 依次是 5 6 7 8 9 10 可以看出 这是一个等差数 列 它的首项是 5 公差是 1 项数是 28 求的是第 28 项 我们可以用通项公式直接计算 解 1 1 n aand 5 28 1 1 32 根 故最下面的一层有 32 根 答案 32 二 填空题 每题 6 分 共 24 分 5 一群小猴上山摘野果 第一只小猴摘了一个野果 第二只小猴摘了 2 个野果 第三只小猴摘 了 3 个野果 依次类推 后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果 最后 每只小猴分得 8 个 野果 这群小猴一共有 只 考点 等差数列应用题 难度 2 星 解析 平均每只猴分 8 个野果 所以最后一只猴摘了8 2 1 15 只果 共有 15 只猴 答案 15 只猴子 6 如图 请在右图每个方框中填入一个不是 8 的数字 使乘法竖式成立 则最后的乘积是 考点 乘法数字谜 难度 星 解析 如图 7 正三角形 ABC 的面积是 1 平方米 将三条边分别向两端各延长一倍 连结六个端点得到一 个六边形 如下图 六边形的面积是 考点 图形的分割 难度 3 星 解析 采用分割法 过 A B C 分别作平行线 得到右上图 其中所有小三角形的面积都相同 所以六边形面积等于 13 平方米 答案 13 平方米 8 请将 6 7 8 9 填入算式 口 口 口口 的方格中 要使得算式结果最大 那么结果最大为 考点 最值 难度 3 星 解析 加数是一个两位数 那么可以看成 10 那么很显然 最大的 9 和 10 乘 次大的 8 和 9 乘 因此应该填7 8 9 1067 896 答案 152 CB A 8 8 8 8 8 三 填空题 每题 7 分 共 28 分 9 A B C D E F 六个足球队进行单循环比赛 每两个队之间都要赛一场 且只赛一场 胜 者得 3 分 负者得 0 分 平局每队各得 1 分 比赛结果 各队得分由高到低恰好为一个等差数列 获得第 3 名的队得了 8 分 那么这次比赛中共有 场平局 考点 体育比赛 难度 3 星 解析 六个足球队进行单循环比赛 总共有5 432 1 15 场 比赛 平局的两队总分为1 1 2 分 非平局总分为0 33 分 因此 如果全是非平局总分有 15 345 分 否则多一场平局总分减少 1 分 由于第3名得了8分 最后一名至少0分 所以各队得分的构成的等差数列的公差不超过8 3 2 2 3 分 只可能为 1 分或 2 分 如果各队得分的构成的等差数列公差为 1 则这六个队的总分为 87345 分 则有 0 场 平局 每场比赛每队都得 0 分或 3 分 则每支队的得分都应是 3 的倍数 与第 3 名得 8 分不符 如果各队得分的构成的等差数列公差为 2 则这六个队的总分为 86342 分 有4 5 4 2 3 场 平局 符合题意 所以这次比赛中共有 3 场平局 答案 共有 3 场平局 10 在一圆形跑道上 甲从 A 点 乙从 B 点同时出发反向而行 6 分钟后两人相遇 再过 4 分 钟甲到达 B 点 又过 8 分钟两人再次相遇 那么乙环行一周需要 分钟 考点 行程问题之环形跑道 难度 3 星 解析 由题意知 甲行 4 分相当于乙行 6 分 抓住走同一段路程时间或速度的比例关系 从 第一次相遇到再次相遇 两人共走一周 各行 12 分 而乙行 12 分相当于甲行 8 分 所以甲 环行一周需 12 8 20 分 乙需 20 4 6 30 分 答案 30 分 11 有这样一些三位数 它的各位数字之积为质数 那么在这样的三位数中最小的与最大的之和 是 考点 判断质数合数 难度 3 星 解析 数要最小 首先位数高的要尽可能的小 则最小的为 112 最大的为 711 所以和为 823 答案 823 12 过年了 妈妈买了 7 件不同的礼物 要送给亲朋好友的 5 个孩子每人一件 其中姐姐的儿子 小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个 朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件 那么 妈妈送出这 5 件礼物共有 种方法 考点 加乘原理之综合运用 难度 3 星 解析 假如给小强的是智力拼图 则有2 5 4 3 120 种 方法 假如给小强的是遥控汽车 则有1 5 4 3 60 种 方法 总共有120 60180 种 方法 答案 180 种 四 填空题 每题 8 分 共 32 分 13 88888ab ab ab ab ab是 77 的倍数 则ab最大为 考点 整除之 7 11 13 系列 难度 4 星 解析 8888881001001001001ab ab ab ab abab 1001001001001 既不是 7 的倍数 也不是 11 的倍数 所以8ab是 7 和 11 的倍数 77 10 770 770 77847 847 77924 所以ab 47 答案 47 14 如图 四边形 ABCD 内有一点 P 到四条边 AB BC CD DA 的距离 PE PF PM PN 都 等于 6 厘米 如果四边形 ABCD 的周长是 57 厘米 那么四边形 ABCD 的面积是 平 方厘米 考点 基本图形的面积计算 难度 3 星 解析 连接 CP PD PA PB 得到四个三角形 然后求出四个三角形面积之和 四个三角形高 都为 6 厘米 底之和为 56 厘米 所以面积和为 57 6 2 171 平方厘米 答案 171 平方厘米 15 有 A B C D E F 六个人围坐在圆桌吃饭 A 会讲英语 B 会讲汉语 英语和法语 C 会讲汉语 英语和德语 D 会讲汉语和德语 E 会讲汉语 F 会讲法语和德语 如果每个人都能 与他相邻的两个人交流 那么 共有 种不同的排座位方式 经过旋转 对称后重合 的方式不算做一种 考点 组合 逻辑推理 难度 答案 24 解析 本题突破口在于 A 由于 A 只会说英语 英语也只有 A B C 三人会说 故座位顺序中 必然有紧邻的 BAC 或 CAB 此时分析 F 可知 F 必须与 B 或 C 中的一个相邻 E 必须在 D F 的中 间 综上 得到两种圆排列方式 BACEDF BACFDE 每种圆排列方式都有旋转 对称的 12 种排座方式 故答案为12 2 24 种 16 在下图中 在每个圆圈中填入一个数 使每条直线上所有圆圈中数的和都是 234 那么标有 的圆圈中所填的数是 1 2 3 4 5 6 考点 复合型数阵图 难度 5 星 解析 为表述方便 将圆圈中数用字母替代 如右图 根据题意 有 234af 234bc 234ed 234abe 234cdf 有3 234 即 234378 答案 78 第 卷 解答题 共 60 分 五 解答题 每题 8 分 共 16 分 17 计算 1 37 37 2 63 37 63 63 考点 公式法之平方差公式与完全平方公式 难度 2 星 解析 完全平方公式的逆运用 原式 22 3763 100 10000 答案 10000 f e d cb a 2 20 09 31 5 2 009 317 200 9 3 68 考点 四则混合运算之提取公因数 难度 2 星 解析 原式 2 009 3152 009 3172 009 368 2 009315317368 2 009 1000 2009 答案 2009 18 解方程 1 2 3 3 1 xx 考点 一元一次方程 难度 2 星 解析 答案 2 4 1 3 1 23xxx 考点 一元一次方程 难度 2 星 解析 答案 六 解答题 每题 15 分 共 30 分 2331xx 22 333 1xx 2633xx 6 332xx 3x 3x 3x 413123xxx 44 133 123xxx 443323xxx 44 3323xxx 4 323 3xxx 4 3 3234xxx 4x 4x 4x 19 铁路旁的一条平行小路上 有一行人与一骑车人早上同时从 A 城出发向南前进 行人速度为 每小时 7 2 千米 骑车人速度为每小时 18 千米 途中 有一列火车从他们背后开过来 9 点 10 分恰好追上行人 而且从行人身边通过用了 20 秒钟 9 点 18 分 恰好追上骑车人 从骑车人身边通过用了 26 秒 请问 1 这列火车的车身总长是多少米 2 行人与骑车人早上何时从 A 城出发 3 他们出发时 火车离 A 城还有多少千米 考点 行程问题 难度 5 星 解析 行人速度 7 2 千米 时 2 米 秒 骑车人速度 18 千米 时 5 米 秒 火车 20 秒超过行人 26 秒超过骑车人 两个过程中路程差都等于火车车长 所以火车 在追击骑车人时比追及行人时多行驶 6 秒的路程 就是骑车人比行人多走的路程 为 5 26 2 20 90 米 因此火车速度为 90 6 15 米 秒 1 火车的长度是 15 2 20 260 米 2 9 点 18 分时 骑车人领先行人 8 60 15 2 6240 米 两人已经出发了 6240 5 2 2080 秒 折合为 34 分 40 秒 因此行人与骑车人早上的出发时间为 8 点 43 分 20 秒 3 9 点 18 分时 火车追上骑车人 往前倒推 2080 秒 回到骑车人出发的时候 此时火车距离 A 城 2080 15 5 20800 米 20 8 千米 20 如图 将 1 2 3 按规律排成一个沙漏型的数表 那么 1 下 5 行从左向右数的第 5 个数是多少 2 上 6 行最左边的数是多少 3 2013 排在哪一行的从左向右数的第多少个 考点 计算 数列与数表 难度 5 星 解析 1 下 n 行从左向右第 1 n