第4讲 配方法和换元法的应用.doc

第5讲 配方法和换元法的应用内容提要换元法和配方法是两种常用的数学解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元或配方，可以收到事半功倍的效果。通常说的换元法 ,是把一个未知的代数式子用一个字母来表示 ,从而使原问题得到简化 .但有时 ,也需要把问题中的某个确定的常值用字母来代替 ,使问题获得巧妙的解答。所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。热身练习 【A】组题1将二次三项式x2+2x2进行配方，其结果为 。2方程x2+y2+4x2y+5=0的解是 。3已知M=x28x+22，N=x2+6x3，则M、N的大小关系为 。4.分解因式:.5.用换元法解高次方程.解方程:.6.求下列代数式的最大或最小值：x2+5x+1； 2x26x+1 . 7实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是 .8. 已知且，求证：例题分析例1. 已知实数，且满足，.则的值为（ ）.（A）23 （B） （C） （D）例2用换元法解分式方程和无理方程(1)x4+(x4)4=626. (2)；(3). 例3.解方程组: 例4已知a，b，c都是整数，且，求的值思维提升【B】组题1 的值等于 。（A）5-4， （B）4-1， （C）5， （D）12.计算: .3若，则的最小值为 4已知有理数x，y，z满足，求(xyz)2的值5若多项式加上一个单项式后，能成为一个含有的完全平方式，求所有满足条件的单项式 6已知为实数，且满足，则的最小值为( ). （A） （B）0 （C）5 （D）【C】组题1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 62若的最大值为a，最小值为b，则的值为 .3、已知：a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c的值.4、已知：x= . 求：答案12。3。MN，MN4设,则原式= = = =5原方程可化为: .即.设,则方程化为: .解得,. 当时, . 解方程,得.当时, .,方程无实数根. 因此,原方程的根为.6解：x2+5x+1x2+2x+1（x+）2.（x+）20，其中0是最小值.即当x=时，x2+5x+1有最小值.2x26x+1 2（x2+3x-）=2(x2+2x+) 2（x+）2+2（x+）20，其中0是最大值，当x=时，2x26x+1有最大值.7：解： ， x、y是关于t的一元二次方程的两实根. ，即，. ，当时，.故z的最大值为.8证明：因为且所以设则：即例1答：选（B）a、b是关于x的方程的两个根，整理此方程，得， ， ，.故a、b均为负数. 因此.例2（1）解：（用平均值代换，可化为双二次方程.）设 y= x2 ，则x=y+2.原方程化为(y+2)4+(y2)4=626. (y+2)2(y2)2)22(y+2)2(y2)2626=0整理，得y4+24y2297=0. (这是关于y的双二次方程).(y2+33)(y29)=0. 当y2+33=0时，无实根 ； 当y29=0时，y=3.即x2=3， x=5；或x=1.（2)原方程可化为: . 设,则方程化为: . 解方程,得.当时，. 解得,.当时,. 解得,或. 经检验,知,都是原方程的解. 所以,原方程的解为,.(3)原方程可化为: . 设,则方程化为:. 解方程,得.当时, . 解得,. 当时,.此方程无解. 经检验,知都是原方程的解. 所以,原方程的解为. 例3解:设,则原方程组可化为: 由(2)得,. (3) 将(3)代入(1),得. 解得,(不能为负,舍去). . 得解得, 经检验,知是原方程组的解. 所以,原方程组的解为.例4将代入，得2b2+4b+c2=0， b，c都是整数， 只能取 ，相对应a1=4，a2=4，a3=，a4=0故所求的值有4个：5，3， 例5设，为互不相等的实数，且满足关系式 及 ， 求的取值范围解法1：由2得，所以当时，又当时，由，得， ， 将两边平方，结合得，化简得 ，故 ，解得，或所以，的取值范围为且，解法2：因为，所以，所以 又，所以，为一元二次方程 的两个不相等实数根，故，所以当时，另外，当时，由式有，即，或，解得，或所以，的取值范围为且，B组1：原式=+=，选（D）。2解:设,则 原式= = =.3EABCDP【解】如图，作线段，作，垂足为，且；作，垂足为，且在线段上任取一点，有设，则由勾股定理，可知，所以显然当三点共线时，最短，即最小连接，过点作，交的延长线于点，可得在中，4(xyz)22555设满足条件的单项式为，则当时，；当时，；当时，、均满足条件 可以证明满足条件的单项式有且仅有以上4个.6。【答】D解：由 可得 于是 因此，当时，的最小值为C组1解：设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：.长方体所求对角线长为：5.所以选B.22。解：由0，且0，得由