数学物理方程5_7积分变换.pdf

1 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 第五章 积分变换第五章 积分变换 定义在内 且在任一有限区间上分段光 滑 则可以展开为傅氏级数 xf LL 0 0 sincos 2 n nn L xn b L xn a a xf 2 1 0 sin 1 cos 1 L n d L n f L b d L n f L a L L n L L n 2 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 傅氏变换 傅里叶变换 i x Ff x edx 1 2 i x f xFed 逆傅氏变换 fF f x 11 f xFfFF 记号 ffFF 1 1212 f xfxfxfd 3 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 傅氏变换的基本性质傅氏变换的基本性质 性质1 线性定理 2121 fFfFffF 性质2 卷积定理 2121 fFfFffF 性质3 乘积定理 1 2121 fFfFffF 2 性质4 原象的导数定理 kk F fiF f F fi F f 性质5 象的导数定理 d F fFixf d 4 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 性质6 延迟定理 0 0 i x F f xxeF f x 性质7 位移定理 0 0 ix F ef xf 性质8 积分定理 1 x FfdF f x i 0 1 i xi x x Fxxedxe 性质9 广义函数 i xi Fxxedxe 性质10 相似定理 1 F f axf aa 5 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n N 维傅氏变换维傅氏变换 定义 2121nn xxxfFFLL 1 12 2 1212 n n ixxx nn f x xx edx dxdx L LLL 21n xxxfL 1 12 2 1212 1 2 n n ixxx nn n Feddd L LLL 6 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2121 fFfFffF 2121 fFfFffF 2 1 21 2 21 fFfFffF 1 2 k k f FiF fkn x L 1 2 k k F fFix fkn L N 维傅氏变换具有与上面平行的八个性质 7 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 5 2 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用 简写符号 xFxFtutxuF 222 222 2 2 2 i xi x tt i x xx u x tdd ut F ux tedxu x t edx tdtdt u x t F ux tedxiut x 8 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 波动方程的定解问题波动方程的定解问题 例例1 求解无界弦振动方程的初值问题 t 解 0 0 0 0 0 00 2 x t xxt u txa 14 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 2 4 1 2 x a t u x ted at 2 2 4 1 0 2 a t uted at 将作奇延拓 tx 17 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 0 0 22 1 sin sin 2 111 Re0 2 sts ib ts ib t Lbtbtedteedt i b s isibsibsb 22 111 cos Re0 2 b Lbts sibsibsb 11 0 0 11 Re0 stst L tt edtestd sts ss 18 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n Laplace变换的性质变换的性质 11221122 111 11221122 L a f ta f ta L f ta L f t La F sa F sa LF sa LF s 1 2 延迟定理 s L f teL f t 3 位移定理 0 Re at L e f tF sasa 4 相似定理 若c为大于零的常数 则 1 s L f ctF cc 19 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 5 微分定理 2 12 1 0 0 0 0 0 0 nnnnn L f tsL f tf L fts L f tsff L fts L f tsfsff L L 6 积分定理 0 1 t LfdL f t s 7 象函数的微分定理 n n n d F sLtf t ds 8 象函数的积分定理 s f t FdL t 20 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 9 卷积定理 2121 tfLtfLtftfL 1 约当引理 2 展开定理 Res t k k f tLes 21 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 例例已知求 2 s F s ss 1 LF s 11 2 s Lf sL ss 2 2 22 22 Res st k k stst sp p tt se s ss sese lim slims ppss t ee 22 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 例例已知求 1 LF s 2 255 112 ss F s sss 例例 已知求 1 LF s 2 22 23 2225 ss F s ssss 0 0 223 00 3 tt t yy eyyy 例例 求解常微分方程 3 2 2 3 t L yy Le s 2 2 32 3 2 3 2 1 s ysyy s y sss 23 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 132 2 ttt yLyeee 例例 求解积分方程 t dftattf 0 sin 解 由卷积定义 将方程写成 ttfattfsin f pp a f 1 1 22 42 p a p a f 6 3 t tatf 24 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n Laplace变换解数理方程变换解数理方程 例例 求解硅片的恒定表面浓度扩散问题 在恒定表面浓度扩散 中 包围硅片的气体中含有大量杂质原子 它们源源不断穿过 硅片表面向硅片内部扩散 由于气体中杂质原子供应充分 硅 片表面浓度得以保持某个常数 这里所求的是半无限空间x 0中定解问题 0 u 0 0 0 0 00 2 t x xxt u Nu txuau 解 对自变量作Laplace变换 2 2 2 00 0 x d u asu dx uNs 25 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n ss xx aa uAeBe x limu 0B 0 ANs 0 1 s x a uNe s 2 1 2 12 s x y a x a t Leedy s 2 00 22 2 ta x y dyeN ta x erfcNu 26 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 例例 一条半无限长的杆 端点的温度变化为已知 杆的 初始温度为零 求杆上的温度分布规律 解 所提问题归结为解定解问题 0 0 0 00 2 tfuu txuau xt xxt 2 22 0 0 x dus u d xa uf s x a ufe 111 1 ss xx aa s x a uLfeLfLe f tLe 27 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 1 2 12 x s y a x a t Leedy s 0 L f tsff 2 2 2 11 2 4 3 2 12 2 xx ss y aa x a t x a t d LeLseedy sdt x e at 28 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 2 3 14 2 0 2 x x st at a x u x tLF s efted a 29 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 第六章第六章 Green函数法函数法 从物理上看 一个数理方程表示一种特定的场和产生 这种场的源之间的关系 从物理上看 一个数理方程表示一种特定的场和产生 这种场的源之间的关系 a 热传导方程表示温度场和热源的关系热传导方程表示温度场和热源的关系 b Poisson方程表示静电场和电荷分布的关系方程表示静电场和电荷分布的关系 30 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n Laplace方程方程 0 zzyyxx uuuu Poisson方程方程 zyxfuuuu zzyyxx 调和函数调和函数 Dirichlet问题 第一类边值问题 问题 第一类边值问题 Neumann问题 第二类边值问题 问题 第二类边值问题 Robin问题 第三类边值问题 问题 第三类边值问题 0 zzyyxx uuuu 31 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n Laplace方程的球面坐标及柱面坐标下的形式如 下 方程的球面坐标及柱面坐标下的形式如 下 0 sin 1 sin sin 1 1 2 2 222 2 2 u r u rr u r rr 0 11 2 2 2 2 2 z uuu 32 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 平面平面Laplace方程的对称解方程的对称解 0 1 d dU d d 21 CLnCU 21 C C为任意常数为任意常数 0 1 21 CC 1 LnU 0 0 1 Ln 平面平面Laplace方程的对称解方程的对称解 1 LnU 33 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n Green公式及调和函数的性质公式及调和函数的性质 cos cos cos VS PQR dVPn xQn yRn td xyz Gauss公式公式 vuA v 第一第一Green公式公式 vdVuvdVudVvudvu v udVvudVvdVuvduv v 34 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n dVuvvuduvvu v 第二第二Green公式公式 第三第三Green公式公式 0 11111 44 u u Mudu dV rnn rr 35 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 0 1 MM v Mr Proof 球面球面 以为中心 为半径以为中心 为半径 0 M 00 00 00 11 11 11 M MMMMK M MMMM M MMMM u Mu MdV rr u M u Md n rrn u M u Md n rrn 36 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n d r ud rr ud rn u 2 111 0 02 44 1 Muuud 11 40 0 uuu dd rnrr 0 111 4 u u dVudu M rn rrn 0 11111 44 u u Mudu dV rnn rr 37 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 二 调和函数性质 二 调和函数性质 性质性质1 设是区域上的调和函数 则有设是区域上的调和函数 则有 zyxu 0 d n u 证明 第二证明 第二Green公式公式 1 v 取取 0 1 0 1 0 n u n v 外法线方向外法线方向为为 dVuvvuduvvu v 38 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 推论推论 n u uuuu zzyyxx 0 有解的必要条件为有解的必要条件为 0 d 39 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 性质性质2 设是区域上的调和函数 则有设是区域上的调和函数 则有 zyxu d rn u n u r Mu 11 4 1 0 性质性质3 设是区域上的调和函数 则在球心的值 等于它在 设是区域上的调和函数 则在球心的值 等于它在球面球面上的算术平均值 即上的算术平均值 即 zyxu R dMu R Mu 4 1 2 0 R 以为球心以为球心R为半径的球面为半径的球面 0 M 40 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 0 22 111 4 1111 44 111 444 R RR RRR u u Mud rnn r u dud rnn r u dudud RnRR NOTE 41 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 性质性质4 设是区域上的调和函数 上连 续 设是区域上的调和函数 上连 续 则的最大值和最小值在边界面上达到则的最大值和最小值在边界面上达到 zyxu zyxu 证明证明 上的最大值为上的最大值为 表示在内的最大值表示在内的最大值 0000 Mu xyz zyxu 反证法反证法 最大值原理 最大值原理 M 42 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 222 0 000 2 8 MM v x y zu x y zxxyyzz R 0000000 v xyzu xyzM 00 0 22 MMMM v x y zMM 0 0 0 xxyyzz vvv 0 xxyyzz vvv 达到最大值时有达到最大值时有 yxv 矛盾矛盾 43 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 用镜像法求用镜像法求Green函数函数 半空间的Green函数 0 0 0z G zzyxG 4 1 0 1 MMr u 4 1 1 2 MMr u 1 1 4 1 10 21 MMrMMr uuG 44 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 0 10 0 1 1 4 1 zz MMrMMr G 0 1 1 4 1 2 22 22 2 yxyx 45 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 1 0 S ux y zV I ux y z 4 1 1 3 0 3 MMr z MMr z z G n G 2 3 2 22 0 2 yx n G z VS dMMGfdS n G MMu 0 46 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 0 3 22 22 1 2 z G udS n x y dxdy xy 1 0 0 z ux y zV I ux y z 47 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 2 球形域上的 球形域上的GreenGreen函数函数 0 2222 S G RzyxzyxG 1100 OMOM 2 10 R M z O y x 0 0 q 48 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 01 01 0 11 4 q G M r M Mr M M MMqMM MM 00 1 R MMr MMr 0 1 4 1 10 MMr q MMr MG 0 R q 49 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 1 1 4 1 100 MMr R MMr MG 50 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 利用利用利用利用GreenGreen函数求球内函数求球内函数求球内函数求球内DirichletDirichlet问题问题问题问题 0 2222 zyxu Rzyxu S cos2 0 22 00 rrMMr cos2 1 22 11 rrMMr 0 2 1 R cos2cos2 1 4 1 0 242 0 2 0 22 0 0 rRRr R rr MMG 51 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 22 00 0 33 222242 22 0000 22 0 3 22 2 00 cos 1cos 4 2cos2cos 42cos SS r R GG nr rRR r rrrRRr R R RR 定理3 1 zyxu Vzyxzyxfu I S 的解的积分表 达式为 VS dMMGfdS n G MMu 000 52 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 22 2 0 0003 00 22 2 00 sin 4 2cos RR uRd d RR 0 0 22 0 3 22 2 00 1 4 2cos S S G M M u MM dS n R M dS R RR 53 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 圆上的圆上的Green函数函数 0 222 0 S G RyxMMG 图 5 5 3 0 1 10 11 MM MM MMMM r r Ln r Ln r Lnv 0 0 1 r R Ln r r Lnv L MM MM L 11 2 1 0 0 10 r R Ln r Ln r LnMMG MMMM 1 1 2 1 10 0MMMM rr R Ln r Ln 54 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n cos2 11 0 22 0 0 rrrr rMM 222 0 S uxyR ux y L dSMMG n MMu 00 dxxf yxx y yxu 1 2 0 2 0 0 00 58 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 第六章第六章 Bessel函数函数 例例 设有半径为的薄圆盘 其侧面绝缘 若圆盘边界上的温 度恒保持为零度 且初始温度为已知 求圆盘内的瞬时温度 分布规律 222 22 2222 22 0 0 t xyR uuu axyR txy ux y u 59 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n tTyxVtyxu 0 0 2 2 2 2 2 V y V x V tTatT ta AetT 2 0 222 Ryx V 60 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 0 0 11 2 2 22 2 R V RV VVV PV 0 0 22 PPP 61 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 2 n n 2 1 sincos 2 0 0 L nnbna a nnn 为常数 0 222 PnPP r 0 222 rFnrrFrrFr tTRu 0 2 tTatT 01 22 0 0 RR RRR 63 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 二 二 Bessel方程的求解方程的求解 0 22 2 2 2 ynx dx dy x dx yd x n 阶Bessel方程为 为任意实数和复数n 在讨论时 不妨暂先假定0 n 设方程有一个级数解形式为 2 012 0 0 0 ck k c k k k yx aa xa xa x a xa LL 64 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 代入得 0 22 0 1 k kc k xanxkckckc 化简后写成 0 1 2 2 2 2 1 1 2 2 0 22 k kc kk cc xaankcxancxanc 从而得下列各式 0 22 0 nca 01 2 2 1 nca 3 2 0 2 2 2 L kaankc kk 65 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n nc 得 0 1 a nc 暂取 2 2 knk a a k k 0 7531 Laaaa 66 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 1 2 1 2 0 mnnnm a m m L 一般项为 2 1 2 1 2 2 0 mnnnm xa m mn m L 0 1 2 1 n a n 选取 1 2 1 1 2 2 mnm a mn m m 67 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n n阶第一类Bessel函数 0 1 2 1 0 2 2 n mnm x xJ m mn mn m n 1 nmnmnZ 2 2 0 1 0 1 2 2 nm m n nm m x JxnnZ m nm L 68 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 取时 用同样方法可得另一特解 nc 2 1 1 2 1 0 2 2 L n mnm x xJ m mn mn m n n n n n x n xJ x n xJ 2 1 1 0 2 1 1 xBJxAJy nn 1 当n 不为整数时 69 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 例例3 试证半奇阶Bessel函数 x x xJsin 2 2 1 0 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 m m m m mm x xJ 1 2 12 531 2 3 m m m L 21 1 0 2 2 1 2 sin 21 m m m Jxxx xmx 70 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 当n 为整数时 L 53 1 2 3 2 1 2 2 1 2 2 3 2 2 2 xxx xJ L 6 2 4 2 2 0 1 1 1 xxx xJ 222 00 2 0 22 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 mln nmnn l n mm l nnln n l xx xx Jx mmnnll x x Jx lml 71 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 定义第二类Bessel函数为 sin cos xJxJ LimxY n n 它既满足Bessel方程 又与线性无关 xJ n 1 2 0 2 11 000 21 1 2 2 1 111 2 11 n nm nn m mnm n mm mkk xnmx YxJx Lnc m x m nmkk 0 1 0 2 2 00 1 1 2 1 2 2 2 m m k mm km x c x LnxJxY 72 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n LL5772 0 1 3 1 2 1 1 Lnn n Limc n 不论n是否为整数 Bessel方程的通解都可表示为 n xBYxAJy nn 73 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 6 2 Bessel函数的母函数及递推公式函数的母函数及递推公式 一 一 Bessel函数的母函数 生成函数 函数的母函数 生成函数 0 2 2 k k k z x z k x e 0 2 2 1 l l l z x z l x e 1 2 00 2 0 1 2 1 2 xl z k lk l z kl l l nnn n nln x ez k l x zJx z nll 74 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n Bessel函数的母函数 1 2z z x e 令 i iez cos 0 1 0 1 2 cos ixnin n n ninnin nn n n n n eJx i e JxJx i eJx i e Jxi Jxn 75 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 0 12 1 20 12cos 1 2 cossin 2cos 1 2 coscos m m m m m m mxJx mxJxJx 例例1 用母函数证明 k knkn yJxJyxJ 1 x