数学分析（二）课件-第十五章 傅立叶级数.ppt

1Fourier级数 2以2l为周期的函数的展开式 第十五章傅里叶 Foueier 级数 第十五章傅里叶 Foueier 级数 1Fourier级数 一问题的提出 非正弦周期函数 矩形波 不同频率正弦波逐个叠加 由以上可以看到 一个比较复杂的周期运动可以看作是许多不同频率的简谐振动的叠加 二三角级数三角函数系的正交性 1 三角级数 引例中的简谐振动函数 1 即 由三角函数组成的函项级数成为三角级数 则 1 式右端的级数可改写为 2 得到行如 2 式的级数称为三角级数 2三角函数系的正交性 1 三角函数系 即 i ii iii 三函数展开成傅里叶级数 问题 1 若能展开 是什么 2 展开的条件是什么 1 傅里叶系数 可得 可得 可得 从而得到傅里叶系数 把以上得到的系数代入三角级数 问题 该级数称为傅里叶级数 3 三角级数的收敛性定理 若级数收敛 则级数 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛 由M判别法即得定理结论 证 2 定理 收敛定理 狄利克雷 Dirichlet 充分条件 2 若函数在上逐段光滑 则有性质 3 从几何图形上讲 在上逐段光滑 是由有限个光滑弧段所组成 它至多有有限个第一类间断点与角点 a b 4 收敛定理指出 的Fourier级数在点X处收敛于这点上的左 右极限的算术平均值而当在点x连续时 则有 5 根据收敛定理的假设 是以为周期的函数 所以系数公式中的积分区间可以改为长度为的任何区间 即 其中C为任意实数 在具体讨论函数的Fourier级数展开式时 常只给出函数在 或 上的解析式 但应理解为它是定义在整个数轴上以为周期的函数 即在以外部 分按函数在上的对应关系作周期延拓 使 函数周期延拓后的图象 求的Fourier级数 函数及周期延拓后的函数如下图 显然按段光滑 由收敛定理 它可展开成Fourier级数 由于 所以在开区间上 当时 上右式收敛于 从而 在上 的Fourier级数的图象如下 注意和延拓后的图象的比较 注 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 和函数图象为 所求函数的傅氏展开式为 注 一 对于非周期函数 如果函数只在区间上有定义 并且满足狄立克雷充分条件 也可展开成傅立叶级数 作法 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于 所求函数的傅立叶级数展开式为 推广 利用傅立叶级数展开式求出几个特殊级数的和 正弦级数和余弦级数 Sineseriesandcosineseries 一般说来 一个函数的傅里叶级数既含有正弦项 又含有余弦项 但是 也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 1 定理设是周期为的函数 且可积 则 证明 同理可证 2 2 定义 定理证毕 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 和函数图象 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 在整个数轴上连续 非周期函数的周期性开拓 则有如下两种情况 注 二 1 奇延拓 2 偶延拓 解 1 求正弦级数 2 求余弦级数 三 小结 1 三角级数的定义 2 正交函数系的特征 3 三角级数的收敛定理 5 收敛定理 4 以为周期的函数的Fourier级数定义 6 求函数的Fourier级数的方法 P70 1 2 3 4 7 思考判断题 第十五章傅里叶 Foueier 级数 2以2l为周期的函数的展开式 一周期为的周期函数的傅立叶级数 定理 代入傅立叶级数中 则有 则有 证明 定理得证 解 解 另一种解法 解 设是以为周期的偶函数 或是定义在 上的偶函数 则称 为的余弦级数 其中 若是以为周期的奇函数 或是定义在上的 的奇函数 则称 为的正弦级数 其中 若将定义在 或 上的函数展成余弦级数或正弦级数 先把定义在 或 上的函数作偶式延拓或作奇式延拓至 或 设函数 求的Fourier级数展开式 是上的偶函级 其周期延拓后 如下图 x y o 由于是按段光滑函数 故可展开成余弦级数 因为 所以 把在内展成 i 正弦级数 ii 余弦级数 则 i 为了把展成正弦级数 对作奇式周期延拓 所以当时 由收敛定理得 ii 为了把展成余弦级数 对作偶式周期延拓如下图 则 以为周期的函数的傅里叶级数为 二傅立叶级数的复数形式 代入欧拉公式 即为傅里叶系数的复数形式 即得傅立叶级数的复数形式 解 三小结 2 求傅立叶级数展开式的步骤 1 画图形验证是否满足狄氏条件 收敛域 奇偶性 2 求出傅氏系数 1 以2L为周期的周期函数的傅立叶系数 傅立叶级数 相应奇函数 偶函数的F 系数和级数 3 写出傅