高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数.doc

第6 讲对数与对数函数最新考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.知 识 梳 理1对数的概念如果axn(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底n的对数，记作xlogan，其中a叫做对数的底数，n叫做真数2对数的性质与运算性质(1)对数的性质alogan_n_；logaan_n_(a0且a1)；零和负数没有对数(2)对数的运算性质(a0，且a1，m0，n0)loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam(nr)(3)对数的重要公式换底公式：logbn (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.3对数函数的图象与性质a10a1图象定义域(1)(0，)值域(2)r性质(3)过点(1,0)，即x1时，y0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(5)当x1时，y0；当0x1时，y0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)loga(bc)logablogac()(2)log2x22log2x()(3)函数ylogx的定义域为x|x()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()2(2014四川卷)已知b0，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是()adacbacdccadddac解析由已知得b5a，b10c,5d10，5a10c,5d10，同时取以10为底的对数可得，alg 5c，dlg 51，即acd.答案b3(2014安徽卷)log3log3_.解析log3log3log33log3130.答案4函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析函数f(x)的定义域为，令t2x1(t0)因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在(，)上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调增区间是.答案5(人教a必修1p75b2改编)若loga1(a0，且a1)，则实数a的取值范围是_解析当0a1时，logalogaa1，0a；当a1时，logalogaa1，a1.答案(1，)考点一对数的运算【例1】 (1)(log29)(log34)()a.b c2d4(2)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2_.解析(1)(log29)(log34)4.(2)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.答案(1)d(2)2规律方法在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式【训练1】 (1)设2a5bm，且2，则m等于()a.b10 c20d100(2)lg lg 的值是_解析(1)2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m.(2)原式lg lg 101.答案(1)a(2)1考点二对数函数的图象及其应用【例2】 (1)(2014福建卷)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()(2)(2015石家庄模拟)设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()ax1x20bx1x21cx1x21d0x1x21解析(1)由ylogax的图象可知loga31，所以a3.对于选项a：y3xx为减函数，a错误；对于选项b：yx3，显然满足条件；对于选项c：y(x)3x3在r上为减函数，c错误；对于选项d：ylog3(x)，当x3时，y1，d错误故选b.(2)构造函数y10x与y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示因为x1，x2是10x|lg(x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x21，1x10，则10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，因此10x210x1lg(x1x2)，因为10x210x10，所以lg(x1x2)0，即0x1x21，故选d.答案(1)b(2)d规律方法在解决对数函数图象的相关问题时，要注意：(1)底数a的值对函数图象的影响；(2)增强数形结合的解题意识，使抽象问题具体化【训练2】 已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()a0a1b1b0ba11c0b1a1d0a1b11解析由函数图象可知，f(x)在r上单调递增，故a1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，解得b1.综上有0b1.答案a考点三对数函数的性质及其应用【例3】 (1)设alog32，blog52，clog23，则()aacbbbcaccbadcab(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为()a1,2)b1,2 c1，)d2，)解析(1)23,12，32，log3log32log33，log51log5 2log5，log23log22，a1,0b，c1，cab.(2)令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2，即a1,2)，故选a.答案(1)d(2)a规律方法在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件【训练3】 (1)设a，b，c均为正数，且2aa，bb，clog2c，则()aabcbcbaccabdbac(2)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()a(1,0)(0,1)b(，1)(1，)c(1,0)(1，)d(，1)(0,1)解析(1)a0，2a1，a1，0a.又b0，0b1，0b1，b1.又c0，log2c0，c1，0ab1c，故选a.(2)由题意可得或解得a1或1a0.答案(1)a(2)c思想方法1研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，要注意底数a1和0a1的两种不同情况有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现2利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决3多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y1交点的横坐标进行判定易错防范1在运算性质logamnnlogam中，要特别注意条件，在无m0的条件下应为logamnnloga|m|(nn，且n为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()alogablogcblogcablogablogcalogcbcloga(bc)logablogacdloga(bc)logablogac解析logablogcalogablogcb，故选b.答案b2(2014郑州一模)函数ylg|x1|的图象是()解析当x1时，函数无意义，故排除b，d.又当x2或0时，y0，所以a项符合题意答案a3(2014安徽卷)设alog37，b21.1，c0.83.1，则()abacbcab ccbadacb解析由379得log33log37log39，1a2，由21.1212得b2，由0.83.10.801得0c1，因此cab，故选b.答案b 4函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是()a(1，)b(0,1)c(0，)d(3，)解析由于a0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1.又yax3在1,3上恒为正，a30，即a3，故选d.答案d5(2014长春质检)已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()af(3)f(2)f(1)bf(1)f(2)f(3)cf(2)f(1)f(3)df(3)f(1)f(2)解析因为f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，所以a1，f(1)f(2)f(3)又函数f(x)loga|x|为偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)答案b二、填空题6(2014陕西卷)已知4a2，lg xa，则x_.解析4a2，alog42，lg x，x.答案7函数y (3xa)的定义域是，则a_.解析要使函数有意义，则3xa0，即x，a2.答案28(2014淄博一模)已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)log2x，则满足不等式f(x)0的x的取值范围是_解析由题意知yf(x)的图象如图所示，则f(x)0的x的取值范围为(1,0)(1，)答案(1,0)(1，)三、解答题9已知函数f(x)lg，(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断函数f(x)的单调性解(1)要使f(x)有意义，需满足0，即或解得1x1，故函数f(x)的定义域为(1,1)(2)由(1)知f(x)的定义域为(1,1)，关于坐标原点对称，又f(x)lglgf(x)，f(x)为奇函数(3)由(1)知f(x)的定义域为(1,1)设1x1x21，则f(x1)f(x2)lglglglg.1x1x21，1x1x2x2x11x1x2(x2x1)(1x1)(1x2)0，1，lg0，即f(x1)f(x2)0，f(x)在(1,1)上是减函数10设x2,8时，函数f(x)loga(ax)loga(a2x)(a0，且a1)的最大值是1，最小值是，求a的值解由题意知f(x)(logax1)(logax2)2.当f(x)取最小值时，logax.又x2,8，a(0,1)f(x)是关于logax的二次函数，函数f(x)的最大值必在x2或x8时取得若21，则a2，此时f(x)取得最小值时，x2,8，舍去若21，则a，此时f(x)取得最小值时，x22,8，符合题意，a.能力提升题组(建议用时：25分钟)11定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)()a1b c1d解析由f(x2)f(x2)，得f(x)f(x4)，因为4log2205，所以f(log220)f(log2204)f(4log220)f1.答案c12当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()a.bc(1，)d(，2)解析由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，42，即函数y4x的图象过点，把点代入函数ylogax，得a，若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1(如图所示)当a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.答案b13(2015湘潭模拟)已知函数f(x)ln，若f(a)f(b)0，且0ab1，则ab的取值范围是_解析由题意可知lnln0，即ln0，从而1，化简得ab1，