概率论试题.docx

1设随机变量的分布律为,（），则c =（ D ）. (A) ； (B) ； (C) ； (D) .2设A、B是二随机事件，如果等式( C )成立，称A、B为相互独立的随机事件.(A) (B) (C) (D) 3对于任意两个事件与, 若, 则( C ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) .4设、是事件，且，则下列各式中正确的是（ C ）.（A）；（B）；（C）；（D）.5掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ）.（A）1/3； （B）2/3； （C）1/6； （D）1/2.6设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 则有（ C ）.（A）； （B）；（C）； （D）.7设（泊松分布）且，则（ D ）.（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.8设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（ B ）.（A）与独立； （B）；（C）； （D）.9若随机变量的期望E存在，则EE(E)=（ C ）.（A）0（B） （C）E（D）(E)210设与为两个独立的随机变量，则下列选项中不一定成立的是( D ). (A); (B); (C); (D).11事件，为对立事件，则（ B ）不成立.（A）； （B）；（C）； （D）.12掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现2点的概率为（ A ）.（A）1/3； （B）2/3； （C）1/6； （D）1/2.13设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 则有（ C ）.（A）； （B）；（C）； （D）.14设（泊松分布）且，则（ D ）.（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.15. 设连续型随机变量的概率密度为, 则( C ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .16设，分别为某连续型随机变量的概率密度函数和分布函数, 则必有( B ).(A) 连续; (B) ;(C) ; (D) .17一射手向目标射击3 次，表示第次射击中击中目标这一事件，则3次射击中至多2次击中目标的事件为( C ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .12袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3个白的，不放回地依次从袋中随机取一球. 则第一次和第二次都取到黄球的概率是( A ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .18设随机变量的概率密度为且，则有( C ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) 19设连续型随机变量的概率密度为，则( C ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) .20设，若( B )，则.(A) ; (B) ; (C) ; (D) .二、填空题1设，为互不相容的随机事件，则 0.9 .2设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 0.1 .3设服从参数为的指数分布，则.4设，则 37 .5设随机变量与相互独立，且，则.6从1, 2, 3, 4中随机取一个数，记为，再从1, 2, 中随机取一个数记为，则.7若在区间内随机取两点，其值分别记为，则.8随机变量服从参数为1的泊松分布，则.9若，则.10若，且，则11将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为 12将4个球随机地放入4个盒子中（每个盒子中装多少个球不限），则每盒中各有一球的事件的概率等于_.13. 设随机变量XN（0,1），（x）为其分布函数，则（x）+（-x）=_1_.14.每次试验中出现的概率为, 在三次试验中出现至少一次的概率是, 则_1/3_. 15随机变量的分布律为，则( )16. 设，则.17. 将4个球随机地放入4个盒子中（每个盒子中装多少个球不限），则每盒中各有一球的事件的概率等于_3/32_.18.设服从参数为的泊松分布, 则_.19. 袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以表示取出3只球中的最大号码。则的数学期望 4.5 。20.设, , 则_4_.21.每次试验中出现的概率为, 在三次试验中出现至少一次的概率是, 则_3/4_.三、应用题1设8支枪中3支经过校正，5支没有校正. 某射手用校正的枪射击时中靶的概率为0.9，而使用未校正的枪射击时中靶概率为0.4，现随机在8支枪中取一支射击，结果中靶，求他所用的枪是经过校正的概率.解: 设表示“枪被校正”，则表示“枪未被校正”，表示“中靶”，则表示“未中靶”.于是,. ， . 设随机变量的绝对值不大于1，且满足（1），；（2）在事件出现的条件下，在内的任一个子区间上取值的条件概率与该区间长度成正比.求的分布函数和小于0的概率.解：由于的绝对值不大于1,则,于是. 。(2分)对满足的,由条件（2）知,为某个常数. 。(4分)由得. 。(5分)若,则;若,则;若,则; 。（7分）若,则=.综合有.小于0的概率为.某商店出售某种贵重商品，根据经验，该商品每周销售量服从参数的泊松分布，假定各周的销售量是相互独立的，用中心极限定理计算该商店在36周内共售出该商品的件数在30件到42件之间的概率。解：设表示该商品第i周的销售量，i=1,36.设表示该商品在36周内的总销售量，则依题意 ， ， i=1,36 且相互独立，i=1,36，故 ，分)由中心极限定理知 （近似） 2 将标号为1, 2, 3, 4的四个球随意地排成一行, 求下列各事件的概率:(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成1, 2, 3, 4的顺序;(2) 第1号球排在最右边或最左边;(3) 第1号球与第2号球相邻;(4) 第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).解将4个球随意地排成一行有4!=24种排法, 即基本事件总数为24.记(1), (2),(3), (4)的事件分别为(1)中有两种排法,故有(2)中有种排法, 故有(3)先将第1,2号球排在任意相邻两个位置, 共有种排法, 其余两个球可在其余两个位置任意排放, 共有2! 种排法, 因而有种排法, 故(4)第1号球排在第2号球的右边的每一种排法, 交换第1号球和第2号球的位置便对应于第1号球排在第2号球的左边的一种排法, 反之亦然.因而第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同, 各占总排法数的 故有袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球（ ),求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率不放回情形记事件 A 为m个球中有k个白球，则放回情形3某宾馆大楼有3部电梯，通过调查，知道某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.8，求：(1) 在此时刻恰有一台电梯运行的概率；(2) 在此时刻至少有一台电梯运行的概率.解： (1) .(3分)(2) .(7分)4已知，求.解：由于，则，)于是， ， . 5设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件,(1) 求取到的是次品的概率;(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.解记事件“该产品是次品”, 事件“该产品为乙厂生产的”, 事件“该产品为丙厂生产的”, 事件“该产品是次品”. 由题设, 知(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得6三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求：（1）没有一台机器要看管的概率；（2）至少有一台机器不要看管的概率；（3）至多一台机器要看管的概率.解：以表示“第台机器需要人看管”，则 ，.由各台机器间的相互独立性可得（1） .(5分)（2） .(10分)（3） 7甲袋中有只白球、只红球；乙袋中有只白球、只红球. 今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球. 问此球为白球的概率是多少？解：以W甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”，W乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，则所求概率为 . .8设随机变量的分布函数为（1）求P(1X3)、P(2X4)（2）判断X是否为离散型随机变量,若是，说明理由并计算其分布律(3) 求E(2X+1).解由于是一个阶梯型函数, 故知是一个离散型随机变量, 的跳跃点分别为1, 2, 3, 对应的跳跃高度分别为 9/19, 6/19, 4/19, 如图.故X的概率分布为9设连续型随机变量的密度函数为且. 求：（1）的分布函数；（2）的方差.解: （1）由于,则, 由,则,于是, 这样有方程组,解之得. 的分布函数为,当时, , 。(7分)当时, , 。当时, , 。这样就有的分布函数为.（2） 。) 。 。(14分)10设随机变量的分布函数为（1）求P(0X2)、P(1X4)（2）判断X是否为离散型随机变量,若是，说明理由并计算其分布律(3) 求E(2X+1).设随机变量X的分布律为 求.解当时，故当时，当时, 当时，故 11设连续型随机变量的密度函数为且. 求：（1）的分布函数；（2）的方差.解: （1）由于,则, 。(2分)由,则,于是, 。(4分)这样有方程组,解之得. 。(6分)的分布函数为,当时, , 。(7分)当时, , 。(8分)当时, , 。(9分)这样就有的分布函数为.（2） 。(11分) 。(12分) 。(14分)12设连续型随机变量的概率密度为 （1）求常数；求数学期望；（3）求方差.解：（1）由得，故.-4分（2） .- （3） .-.-13设的分布律如下 Y X12311/61/91/1821/3问（1）为何值时, 与相互独立.（2）求X与Y的边缘分布律解答：根据独立，可知- 于是，因而-，因而 -设的联合分布律为X Y 300.040.240.1210.060.18(1) 求; (2) 求, 的边缘分布律. （3）判断X,Y是否独立？解：(1) 由得A1（0.040.060.240.120.18）0.36 (2)的边缘分布律为010.40.6的边缘分布律为1230.10.60.3 (3) 经逐一验证，都有，所以 X,Y独立. 14一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费，已知一年内投保人死亡率为0.006,如死亡，公司付给死者家属1000元，求：(1)保险公司亏损的概率；(2)保险公司年利润不少于60000元的概率.附表 0.370.520.630.872.530.64430.69850.73570.80780.99380.9987解答：令X=“一年内死亡的人数”，则Xb(10000,0.006),公司利润为L=1000012-1000X.(1)PL=0=P1000012-1000X=0=PX=1200.(2)PL60000=P1000012-1000X60000=PX60(60-100000.006100000.0060.994)=0.5.15 某市保险公司开办一年人身保险业务, 被保险人每年需交付保险费160元, 若一年内发生重大人身事故, 其本人或家属可获2万元赔金. 已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为 现有5000人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率是多少?解记 于是均服从参数为的两点分布, 且是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数, 保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为万元.于是16从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：的概率分布为 即 的分布函数为 10分 .17有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？附表 0.370.520.630.872.530.64430.69850.73570.80780.99380.9987解：把抽一根木柱测其长度是否短于3m看做一次试验. 设事件A为“抽到的木柱长度短于3m”，则由已知条件知P(A)=20/100=0.2=p. -2分由于木柱数量很大，可把100次抽取看做是100重伯努利试验.记抽出的100根木柱中短于3m的木柱数为X,则Xb(100,0.2).由题意和棣莫佛拉普拉斯定理，有近似服从.PX30=1-PX30 =1-PY(30-20)/4 1-(2.5)=0.0062. 18某单位号召职工每户集资3.5万元建住宅楼，当天报名的占60%，其余40%中，第二天上午报名的占75%，而另外25%在第二