2011数学建模A题标准模型.doc

20011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：是 S13011 所属学校（请填写完整的全名）： 河南科技学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张雅博 2. 张大双 3. 王伽维 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数学建模指导组 日期 2011年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：城市表层土壤重金属污染分布特征及成因分析摘要根据目前城市环境质量的现状，本文对某城市表层土壤中的8种重金属污染进行研究，主要分析了其表层土壤重金属污染的空间分布及传播特征、形成原因，并提出了在补充其它数据信息后的建模思想。第一个问题，通过将重金属浓度和毒性相结合统筹考虑来寻找双权重因子为各指标的确定最佳权重，用降半梯形分布函数来刻画各因子的隶属度，在求得各区域对评价等级的隶属度后，再根据最大隶属度原则进行模糊综合评价，结果得出不同功能区重金属污染状况为：工业区、交通区属于重度污染，生活区属于中度污染，山区、公园绿地属于轻度污染。对于第二问题，根据不同功能区8个重金属的污染浓度进行多元方差分析和多重比较，多元方差分析结果表明， 5个不同功能区8种重金属污染从总体上存在极显著差异， Cr、Ni两元素对不同功能区的污染程度差异不显著，元素Zn的污染山区显著低于其它4功能区，其它各元素的污染工业区均显著高于其它各功能区。与背景值相比，8种重金属的污染程度从高到低依次为：Hg Cu Zn Cd Pb Cr As Ni。工业区主要污染元素Cd、Hg和Zn；生活区主要污染元素为Cr和Pb。对于第三问题，运用主成分分析方法，对所给样本进行处理，结果提取4个主成分，它可以反映8个重金属变异信息的80.08%，利用各观测点样本在4个主成分上的得分进行加权后算出相应各样点的综合污染得分，据此对319个观测样点从高到低进行排序，筛选出前40个重点污染源，其中前5个的观测序号为8、9、6、22、16，相应的位置坐标为（2383，3692）、（2708，2295）、（1647，2728）、（3299，6018）和（4777，4897），其中各类区的样点所占比例为：生活区15%、工业区22.5%、主干道区55%和公园绿地区12.5。这40个重污染源的位置图为对于第四问题，经过上述分析和比较，发现许多方法思想有很多不同的可取之处，也有一些不能完美表达所需的之意。除此之外，发现在研究问题过程中，有一些值得考虑但未列入现有资料内的因素，为了更好的研究演变模式，通过关联度分析得出，该地区每年生活、工农业污染物质排放量、气候因素对地质的影响也比较明显，可通过高斯扩散模型和时间序列分析等方法，通过建模解决这一问题。最后，对模型的优点和缺点进行了客观评价。关键词：重金属；分布特征；模糊综合评价；隶属度；主成分分析一 问题重述 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。其中土壤问题也逐渐成为人们关注的焦点。随着工业、城市污染的加剧和农用化学物质种类、数量的增加,土壤重金属污染日益严重。这种形势下迫切需要对所处的土壤环境质量做出客观、切实的综合评价,以此反映经济、技术发展对土壤质量、农业生产、生态环境乃至人类健康的影响,并为土地的可持续利用提供理论依据。因此，本文主要通过建立数学模型研究：（1）本城市的生活区、工业区、山区、主干道路、及公园绿地区这五个地区的重金属的污染程度。（2）重金属污染的主要原因。（3）根据重金属污染物的传播特征，确立污染源的位置。（4）分析模型的优缺点，及如何改进。二 问题分析2.1 对问题（1）的分析目前,关于土壤重金属污染评价的方法较多,如综合污染指数法、聚类分析法、层次分析法和模糊数学等，而模糊数学在土壤环境质量评价中其分辨率明显高于其它评价方法。在定义土壤重金属污染级别时本就是一些模糊的概念，而模糊综合评价对于解决这些具有模糊边界的问题最为有效。因此，本文选用模糊综合评价来解决该问题。通过浓度和毒性相结合来寻找双权重因子各指标的最佳权重，用降半梯形分布来刻画各因子的隶属度，从而求得各区域对评价等级的隶属度，在此基础上根据最大隶属度原则,便可确定各区域的的污染程度。2.2 对问题（2）的分析 根据不同区域的样本点的均值，与标准偏差，可得出不同元素之间的显著性，基于此分析了各区域中各种重金属元素污染的原因。2.3 对问题（3）的分析第一个模型建立过程中，由于重金属自身质量较重，通过大气沉降的传播特征可以忽略，多数重金属以离子状态存在于水中。通过土壤渗透，河道排废方式进行传播。所以污染金属的浓度随污染源中心向四周扩散而逐渐降低也是重金属污染传播特征之一。但考虑到首次建模的结果是对各种重金属元素分开讨论，通过对筛选图的分析发现，部分重金属元素之间的空间分布有相当大的相似度，因此为了综合考虑不同金属的污染程度，我们对模型进行优化，建立第二个模型。在第二个模型中，中心污染源附近浓度相对较高，所以本次建模我们规定浓度由高到低选出100个样本点，使用假设检验的思想，进一步从已经据浓度筛选出的样本点中，确定一个更加精确，同时也能保证相当高可信度的污染源存在区域。三 模型假设（1）假设所给的采样点的数据是准确的；（2）假设每个样本点都能很好的反映该平方公里的实际情况；（3）假设该城区没有发生重大地壳运动；（4）假设该样本的抽取是完全随机的；（5）假设试验过程过程中所得数据的试验误差服从正态分布.四 符号说明：五个区域，1,2,3,4,5：八种重金属元素，1,2,3,4,5,6,7,8：第个区域第种元素的平均值： 第种元素的背景值：第个区域第种元素的毒性指数五 模型的建立与求解5.1 问题一的模型的建立与求解 根据该城市不同地区的采样点的坐标及各种金属元素的浓度分别做了如下二维等浓度线的分布图。图1 重金属As二维 等浓度线的分布图 图2 重金属Cd的二维等浓度线分布图 图3 重金属Cr的二维等浓度线分布图 图4重金属Cu的二维等浓度线分布图图5 重金属Hg的二维等浓度线分布 图6 重金属Ni的二维等浓度线分布图图7 重金属Pb的二维等浓度线分布图 图8 重金属Zn的二维等农度线分布图从上面8副图中的观察中可以发现，整体而言，工业区和交通区的重金属浓度要高于山林区。为了进行模糊运算,需要确定隶属度函数,并以隶属度来描述土壤污染状况的模糊界线。设土壤环境质量分为4个级别,则5.1.1 评价因子的隶属度函数及隶属度矩阵的确定为各评价因子对评价等级的隶属度,这里用降半梯形分布来刻画隶属度:=式中污染因子的隶属度； 某一样品各污染因子在级指标( = 1,2, 3, 8； = 1, 2, 3,4) ； 各污染因子的实测浓度。由此可得表示评价因子即指标对级别(状态)的隶属度矩阵：=，同样可求得其它区域对各污染等级的隶属度矩阵。5.1.2 评价因子权重向量的确定：现行重金属污染评价方法一般采用污染物浓度超标赋权法。对于不同重金属因污染物个体的毒性级别不同,污染物浓度超标赋权法有可能掩盖某些低浓度有机组分的毒性作用,因此,有必要将有重金属的毒性级别纳入权重考虑,以反映重金属浓度和毒性的综合作用。将污染物浓度和毒性级别指数加权叠加,并作归一化处理,得到某污染组分的权重公式: 式中某样品第个污染因子的实测浓度, 第个污染因子的毒性级别指数，其中，某样品第个污染因子的权重值,且，。将各污染因子的实测浓度值、毒性指数和选定的评价标准分别代入上述公式中 ,可得到各污染因子的权重值,由此组成某区各参评因子的权重向量：。同样可得其他区域各参评因子的权重向量。5.1.3 模糊综合评价模型的确定为评价样品对评价等级的隶属度，则，根据最大隶属度原则确定样品所属的污染等级。5.1.4 模型的求解各区域所求得的隶属度矩阵及各参评因子的权重向量见附录。进而对个元素用Exel表处理可得到各个量平均值如表1表1 评价区土壤环境中重金属含量实测值的平均值（）采样点（区域） AsCdCrCuHgNiPbZn16.70.2899669.0249.400.0930418.3469.11237.0124.210.3238350.7950.470.0789814.6960.96264.8635.100.2249539.6025.080.0905214.9444.81104.5045.830.2867243.9641.610.3128117.7157.92162.7555.390.2360538.9118.410.0474614.8741.0592.31定义毒性指数=第重金属在第区实测值/第重金属在第区背景值，通过对实测值进行整理可得到表2结果。表2 土壤重金属污染程度分级标准及各区域重金属毒性指标（）污染清洁轻污染中污染重污染1区毒性指数2区毒性指数3区毒性指数4区毒性指数5区毒性指数As3.65.856.757.651.71.21.41.61.5Cd0.130.2050.2350.2652.22.51.72.21.8Cr3153.562.570.52.21.61.31.42.3Cu13.222.225.829.43.73.81.93.22.4Hg0.0350.0550.0630.0712.72.32.68.91.4Ni12.321.825.629.41.51.21.21.41.2Pb314652582.221.41.81.3Zn691041181323.43.81.52.41.3表 3 模糊综合评价结果采样点（区域）结果10.00550.08390.08780.821320.18760.167200.645030.20510.35350.31010.131440.10050.25580.00230.641550.37290.499300.1278 根据前面的分析，通过求解可得出：生活区属于中度污染，工业区属于重度污染，山区属于轻度污染，交通区属于重度污染，公园绿地区属于轻度污染。结果和现实情况较吻合。由此可见,本文所采用的双权重模糊综合评价法应用土壤重金属污染评价,最终可信、真实地反映出土壤本身受重金属污染的程度。5-2问题二的分析与求解 表4 5个类区8个重金属元素含量均值向量的差异性检验检验统计量观测值F值第1自由度第2自由度P值Wilks Lambda0.722853.26321134.0001Pillais Trace0.30153.16321240.0001Hotelling-Lawley Trace0.35053.3532792.0001Roys Greatest Root0.22718.808310.0001表5 5个类区8个重金属元素的方差分析与多重比较元素类 区 As (g/g)Cd (ng/g)Cr (g/g)Cu (g/g)Hg (ng/g)Ni (g/g)Pb (g/g)Zn (g/g)生活区6.27 b2.15289.96b183.6869.01107.8949.40 b47.1693.04102.9018.34102.9069.10 b72.32237.00a443.63工业区7.25 a4.24393.11a237.5753.4044.00127.53a414.94642.352244.0719.818.3793.04a85.36277.92a350.83山区4.04 c1.80152.31c78.3738.9524.5917.31b10.7340.9527.8515.4510.4236.55c17.7373.29b30.94主干道区5.70 b3.23360.01a243.3958.0581.6062.21b120.22446.822180.2717.6111.7863.53 b32.52242.85a384.78公园区6.26 b2.02280.54b235.8443.6314.8430.19b22.68114.99224.2715.284.9760.70 b45.84154.24a230.91全部样本5.678.79.0001302.3912.85.000153.501.580.178455.013.030.018299.711.390.236817.261.670.156761.748.76 Cu Zn Cd Pb Cr As Ni。工业区主要污染元素Cd、Hg和Zn；生活区主要污染元素为Cr和Pb。 根据问题一的数据可以看出，该城市各区域中砷的含量相差不大，均处于中轻度污染。工业区含镉量处于最高，生活区和主干道的含量其次，属于重度污染。生活区含铬的含量最高，属于重度污染。生活区和工业区铜的含量偏高属于重污染。交通区汞的含量明显高于其他方。镍的分布范围较均衡。生活区和工业区铅的含量较其它地区偏高。生活区和工业区锌的含量较高，主干道区的含量其次。砷和含砷金属的开采、冶炼，用砷或深化合物作原料的玻璃、颜料、原药、纸张的生产以及煤的燃烧等过程，都可产生含砷废水、废气和废渣，对环境造成污染。同时岩石的风化、火山爆发，通过空气的流通也会造成砷的污然。在人们生活的地方中有很多材料都是含砷的，所以对砷的污染有一定程度上的影响。相当数量的镉、铅通过废气、废水、废渣排入环境，造成污染。污染源主要是铅锌矿,以及有色金属冶炼、电镀和用镉化合物作原料或触媒的工厂。镉对土壤的污染主要有气型和水型两种。气型污染主要由含镉工业废气扩散并自然沉降，蓄集于工厂周围的土壤中，污染范围有的可达数公里。水型污染主要是铅锌矿的选矿废水和有关工业（电镀、碱性电池等）废水排入地面水或渗入地下水引起的。因此，由于山区高度的原因和公园绿地植被的作用，含镉量要明显小于其它地区。在生活当中人们无时无刻不接触到含铬的东西，比如人们喝的水，吃的植物性食品，化妆品以及生活用具等。随着人为因素的增加，生活垃圾中含铬量也偏高。同时又由于工业中废水废气的排放，也是铬污染的主要原因。铜在人们生活总随处可见，正是由于人的因素，生活垃圾、工业中废水和固体废弃物的原因造成铜的污染。另外，机动车的轮胎对公路沿线的土壤也有一定的作用。汞主要来自含汞废水。工业上大部分镍用于制造不锈钢和抗腐蚀合金，并广泛用于镀镍、铸币、制造催化剂和玻璃陶瓷等，它很强的亲硫性，主要以硫化镍矿和氧化镍矿的形态存在。锌污染的主要原因有锌矿开采、冶炼加工、机械制造以及镀锌、仪器仪表、有机会合成和造纸等工业的排放。汽车轮胎磨损以及煤燃烧产生的粉尘、烟尘中均含有锌及化合物，工业废水中锌常以锌的羟基络合物存在。5.3 问题三模型的建立与求解5.3.1 模型的建立与求解本题建模过程中，通过对各个元素样本依浓度进行筛选，并绘图（见附录）得到规律：把总元素之间的污染状态有不同程度的雷同，因此推测个元素之间存在的一定的关联度，所以要确定污染源的位置应考虑个元素之间的关联程度，鉴于此因素，对于这种传播特征，修正时使用主成分分析法。首先，对原始数据进行标准化，将原始数据标准化之后首先利用SPSS13.0 软件做主成分分析，表 6 8个重金属污染浓度的相关系数矩阵x1x2x3x4x5x6x7x8x11.000.255.189.160.064.317.290.247x2.255*1.000.352.397.265.329.660.431x3.189.3521.000.532.103*.716.383.424x4.160.397.5321.000.417.495.520.387x5.064.265.103.4171.000.103.298.196x6.317.329.716.495.1031.000.307.436x7.290.660.383.520.298.3071.000.494x8.247.431.424.387.196.436.4941.000可以得到方差贡献分析表如下表：表 7 方差贡献分析表解释的总方差成份初始特征值提取平方和载入旋转平方和载入合计方差的 %累积 %合计方差的 %累积 %合计方差的 %累积 %13.56044.50044.5003.56044.50044.5002.09726.21226.21221.15014.37758.8771.15014.37758.8772.06725.83552.0473.96512.06370.941.96512.06370.9411.25815.72167.7684.7689.59680.537.7689.59680.5371.02112.76980.5375.5787.22087.7566.4325.39993.1567.3013.76996.9248.2463.076100.000表8 前4个主成分荷载矩阵成份A1A2A3A4x1.426-.200.681.551x2.711.281.282-.322x3.735-.444-.303-.046x4.756.125-.365.137x5.408.673-.297.449x6.723-.515-.190.137x7.764.314.237-.248x8.699-.037.123-.241提取方法 :主成份可见前四个特征值的累积贡献率已经达到了80.537%，这大致符合方差贡献率大于或等于80%的原则，所以这里只需提取四个主成分就可以概括这八个指标体系所包含的全部信息，计算这四个主成分值。通过SPSS 软件可以得到因子载荷矩阵，每一个载荷量都表示着主成分与对应变量的相关系数，利用SPSS13.0 软件可以得到对应的特征向量A1,同理可计算出A2、A3 和A4。由此得出主成分的表达式：;最终可得到主成分得分值（见附录）用主成分分析得出修正后的权向量与主成分分值进行综合求其综合得分。得分越高，该样本点为污染源的可能性越大。对得分进行排序后，筛选出40个样本点的坐标及所属城市别如表：表 9 40个样本点的坐标城市类编号x(m)y(m)海拔(m)28238336927492708229522261647272864223299601841164777489784841813410046412304948729364178126963024274182136942357334257152489106165143415322997322947427293912045924603644168697286182315567678274611379796211853109095164142941638045305239451049212712222363951044342221500688466440801772103949521439113834513693284311245253141731194114115251014080134347048460024115453823012505309103521713331443774782604912335736213549021091948243426563579652944594608311452231921211305541616837349028437909053652041791240020601341550624339522741085614727414358180449615用MATLAB工具绘图可得到筛选点的散点图如图：5.4 问题四的分析经过了上述整个过程，发现本文在模型中运用了许多方法和思想，但是所有的方法和思想并不都那么完美的表达所要的看法，或多或少有着少许不足，但是整体上是可以满足题目的要求，以下是为模型优缺点的具体分析：问题一模型的优点：（1）此方法改进了模糊综合评价模型中评价因子权重的计算方法。它考虑到了各级标准界限的模糊性,继承了模糊数学方法用于土壤重金属评价的优点。从定性和定量两方面进行分析,比较客观反映出各污染因子对土壤环境质量的影响；（2）采用双权重系数法确定各指标的权重,综合考虑了评价因子的浓度和毒性,评价结果全面、较真实地反映土壤重金属污染的实际状况；（3）该模型层次清楚,物理意义明确,适用于土壤重金属污染的评价,也适用于其它环境污染评价。问题三模型的优点：（1）模型运用了科学的数学方法，步步周密，意图明显；（2）本模型可以将几个不相关的因素的综合指标来代替原有的指标，是模型更加简明优化；（3）模型再次优化，运用了更为系统化、综合程度较高的主成分分析法。问题一模型的缺点：（1）数据处理个别难免会出现误差，有些使用了近似处理，很多采用了四舍五入的方法，所以数据有些存在一定的误差。（2）在得到各样本点的综合得分后，样本点的筛选有一定的主观性。问题三模型的缺点：（1）在得到各样本点的综合得分后，样本点的筛选有一定的主观性。土壤中重金属的来源是多途径的，主要为该地区成土母质本身含有的重金属，不通地区不同的母质成土过程所形成的土壤含有重金属量差异很大。但除此之外，人类工农生产活动等因素，也很大的影响着重金属的含量比。为了更好地研究城市地质环境的演变模式，我们必须在时间变化的基础上，对一些因子进行单方面研究，所以，我们除了上述讨论的因素外，还应该收集一下信息：该地区每年生活、工业、农业等重要污染源的污染物质的排放量：（1）排放的废气量：排放的含重金属的废气（主要分布在工矿的周围和公路、铁路的周围）会融进空气中的水气或以粉尘的形式存在与空气中，一部分会经过自然沉降和雨淋沉降进入土壤；（2）农药、化肥施用量：施用含有重金属的农药和不合理地施用化肥，都可以导致土壤中重金属的污染；（3）污水和废水排放量：由于城市工业化的迅速发展，大量的生活污水和工厂、矿山酸性废水涌入河道，使城市污水中含有的许多重金属离子，随着污水和废水进入土壤；（4）重金属垃圾堆积：堆放的重金属垃圾，不仅种类繁多，而且一般会以废弃堆为中心向四周扩散。该地区的环境状况：（1）降雨量：雨水不仅可以对某个地区地质进行一定的稀释，除此之外，雨水对重金属扩散也有一定的促进作用；（2）风向：废气会对一些重金属粉尘向周围传播有重要的影响。该地区的政策：政策倾向对该地区的发展有着重要的影响，不同的倾向，不同的发展方向对该地区的地质都有着不同程度的改造。有了上述这些数据以后，我们可以建立因子分析、高斯扩散等模型解决问题。六 模型的评价与推广6.1.1 问题一模型的优点：（1）此方法改进了模糊综合评价模型中评价因子权重的计算方法。它考虑到了各级标准界限的模糊性,继承了模糊数学方法用于土壤重金属评价的优点。从定性和定量两方面进行分析,比较客观反映出各污染因子对土壤环境质量的影响；（2）采用双权重系数法确定各指标的权重,综合考虑了评价因子的浓度和毒性,评价结果全面、较真实地反映土壤重金属污染的实际状况；（3）该模型层次清楚,物理意义明确,适用于土壤重金属污染的评价,也适用于其它环境污染评价。6.1.2 问题一模型的缺点：（1）数据处理个别难免会出现误差，有些使用了近似处理，很多采用了四舍五入的方法，所以数据有些存在一定的误差。（2）在得到各样本点的综合得分后，样本点的筛选有一定的主观性。6.2.1 问题三模型的优点：（1）模型运用了科学的数学方法，步步周密，意图明显；（2）本模型可以将几个不相关的因素的综合指标来代替原有的指标，是模型更加简明优化；（3）模型再次优化，运用了更为系统化、综合程度较高的主成分分析法。6.2.2 问题三模型的缺点：（1）在得到各样本点的综合得分后，样本点的筛选有一定的主观性。（2）主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像原始变量的含义那么清楚、确切，这是变量降维过程中不得