数学物理方程4_1维波动方程的达朗贝尔公式.pdf

0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 1 4 1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式 atx atx 2 00 0 ttxx tt ua ux u uxx t 2 2 2 2 2 x u a t u 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 0 2 u 212 u x tfdff xatfxat 0 0 x t u xu t t xxf axf a xxfxf 21 21 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 3 Cd a xfxf x 0 21 1 x x C d a xxf C d a xxf 0 2 0 1 22 1 2 1 22 1 2 1 atx atx d a atxatxtxu 2 1 2 1 无限长弦自由振动的达朗贝尔 无限长弦自由振动的达朗贝尔 DALEMBERT 公式 公式 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 4 物理意义物理意义 11 ufxat 22 ufx 11 ufx 22 ufxat 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 5 区间的决定区域 21 x x 影响的区域 21 x x 点的依赖区间 atxatx 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 6 例 求例 求Cauchy问题的解问题的解 0 3 032 0 2 0 2 22 2 2 yy y u xu y u yx u x u 解 解 032 22 dxdxdydy 特征变换特征变换 yx yx 3 0 2 u 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 7 代入条件代入条件 0 3 3 3 21 2 21 xfxf xxfxf 2222 3 4 3 3 4 1 yxyxyxyxu 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 8 无限长静止弦在点无限长静止弦在点x x0 受到冲击 冲量受到冲击 冲量I 弦的密度为 试求解弦的振动 弦的密度为 试求解弦的振动 2 000 0 0 ttxx ttt ua ux I uuxx 0 00 1 2 2 x at x at I u x tsxds a I H xxatH xxat a 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 9 半无界弦的自由振动半无界弦的自由振动 端点固定 端点自由 端点固定 端点自由 0 0 0 0 0 0 0 2 tu xxxuxxu xuau t xxtt 0 0 0 0 0 0 0 2 tu xxxuxxu xuau x t xxtt 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 10 2 00 0 ttxx tt ua ux u uxx t atx atx d a atxatxtxu 2 1 2 1 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 11 0 0 0 0 0 0 0 2 tu xxxuxxu xuau t xxtt 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 12 端点固定端点固定0 0 tu 11 0 0 22 at at utatats ds a 0 at at atats ds x x 为奇函数为奇函数 0 0 0 0 xx xx x xx xx x 奇延拓奇延拓 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 13 xxxuxxu xuau t xxtt 0 0 0 2 11 22 11 22 11 22 x at x at x at x at x at at x u x txatxats ds a x xatxats dst aa x xatatxs dst aa 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 14 端点自由端点自由 0 0 0 0 0 0 0 2 tu xxxuxxu xuau x t xxtt 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 15 0 0 tu x 0 2 1 2 1 0 atat a atattux atatatat 0 0 0 0 xx xx x xx xx x xxxuxxu xuau t xxtt 0 0 0 2 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 16 11 22 x at x at u x txatxats ds a 0 0 11 22 11 22 x at x at x atat x x xatxats dst aa x xatatxs dss dst aa 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 17 12 12 12 0 0 0 f xfx fxfx f xfxc x 2 sin 0 bx fxAc x a 0 sin xat u x t x Ab txat a 12 u x tf xatfxat 2 0 0 0 0 00 0 0 sin ttxx t ua ux u xuxx utAbt 半无界问题 半无界问题 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 18 0 11 22 11 0 sin 22 1 sin 2 1 cos 2cos 2 x at x at at at at u x txatxats ds a utatats dsAbt a s dsAbt a bx atAbtxA a 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 19 12 2 2 2 22 00 0 0 x x tt u x tf xatfxat ux tfxat utfath t ftht a f ths a dsfhs a dsc 2 0 0 0 0 00 0 0 ttxx t x ua ux u xuxx uth t 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 20 2 2 0 5 0 x ttxx t ua uex u xuxx u x tv x tw x 2 2 0 5 0 x ttxx t vavwe v xw x uxx 例例 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 21 2 x u x tv x tea 2 22 0 0 5 0 ttxx x t va v v xea uxx atx atx d a atxatxtxu 2 1 2 1 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 22 2 0 sin 00 t ttxx t ua uxex u xx ux