导数及其应用的习题(教师版).doc

导数及其应用的习题一要点梳理1f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)1时，f(x)0，得x1(1,0)，x20.所以在区间和(0，)上，f(x)0；在区间上，f(x)0.故f(x)的单调递增区间是和(0，)，单调递减区间是.综上：当k0时，f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0，)；当0k1时，f(x)的单调递增区间为和(0，)，单调递减区间为.题型二：利用导数求解函数的最值或极值 例2已知函数g(x)ax3bx2cx (aR且a0)，g(1)0，且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)0.设x1、x2为方程f(x)0的两根(1)求的取值范围；(2)若当|x1x2|最小时，g(x)的极大值比极小值大，求g(x)的解析式解：(1)g(x)ax3bx2cx，g(1)abc0，即cba. 又f(x)g(x)3ax22bxc，由f(0)f(1)0，得c(3a2bc)0，即(ba)(3b2a)0. a0，0，解得1又方程f(x)3ax22bxc0 (a0)有两根，0.而(2b)243ac4b212a(ba)423a20恒成立，于是，的取值范围是.(2)x1、x2是方程f(x)0的两根，即3ax22bxc0的两根为x1、x2，x1x2，x1x2.|x1x2|2(x1x2)24x1x22422.1，当且仅当1，即ab时，|x1x2|2取最小值，即|x1x2|取最小值此时，g(x)ax3ax2，f(x)3ax22axax(3x2)令f(x)0，得x1，x20.若a0，当x变化时，f(x)、g(x)的变化情况如下表：x0(0，)f(x)00g(x)增极大值减极小值增由上表可知，g(x)的极大值为ga，极小值为g(0)0. 由题设，知a0，解得a9，此时g(x)9x39x2；当a0)内的最大值和最小值解：1)f(x)3x22ax，由已知条件即，解得.(2)由(1)知f(x)x33x22，f(x)3x26x3x(x2)f(x)与f(x)随x变化情况如下：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)增2减2增由f(x)f(0)，解得x0，或x3.因此根据f(x)图象，当0t2时，f(x)的最大值为f(0)2，最小值为f(t)t33t22；当23时，f(x)的最大值为f(t)t33t22，最小值为f(2)2.题型三：已知单调区间求参数范围 例3已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范围解：(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当a时，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2内单调递减，在2，)内单调递增，当x2时，f(x)有极小值f(2)12是f(x)的极小值(2)在(1,1)上f(x)是增函数，由此可得在(1,1)上，f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，3ax23ax10.令g(x)3ax23ax1 (1x0时，若成立，根据二次函数g(x)3ax23ax1 (1x1)的图象，只需满足g(1)3a123a110，即a，0a；当a0时，若成立，根据二次函数g(x)3ax23ax1 (1x1)的图象，只需满足g3a23a10，即a，a0恒成立当x0时，f(x)0时，方程f(x)g(x)2有惟一解(1)解：f(x)2x，依题意f(x)0，x(1,2，即a2x2，x(1,2上式恒成立，a2.又g(x)1，依题意g(x)0，x(0,1)，即a2，x(0,1)上式恒成立，a2.由得a2.f(x)x22ln x，g(x)x2.(2)证明由(1)可知，方程f(x)g(x)2，即x22ln xx220.设h(x)x22ln xx22，则h(x)2x1，当h(x)0时，(1)(2x2x2)0，解得x1.令h(x)0，并由x0，解得x1.令h(x)0，解得0x0且x1时，h(x)0，h(x)0在(0，)上只有一个解即当x0时，方程f(x)g(x)2有惟一解跟踪训练4：已知f(x)ax2 (aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，求a的取值范围解：(1)F(x)ax22ln x，其定义域为(0，)，F(x)2ax (x0)当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F(x)的递增区间为，递减区间为.当a0时，F(x)0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a(x)在区间，e上有两个不等解(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)(2)()(x)min(e)，如图当f(x)g(x)当，e上有两个不等解时有(x)min，a0恒成立，则f(x)在(1，1)上递增，且导函数为偶函数，则函数f(x)为奇函数，再从导函数的图像可知，当x(0，1)时，其二阶导数f(x)0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y2ax1与曲线yln x相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y1，故曲线yln x上的点(x0，ln x0)处的切线方程是yln x0(xx0)，该直线过点(0，1)，则1ln x01，解得x01，故过点(0，1)的曲线yln x的切线斜率是1，故2a1，即a，所以a的取值范围是52013福建卷 设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(D)AxR，f(x)f(x0) Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点 Dx0是f(x)的极小值点 解析 根据极值点是函数局部的性质可排除A选项，根据函数f(x)的图像与f(x)、f(x)、f(x)的图像分别关于y轴、x轴、原点对称，可排除B、C选项，故选D.62013新课标全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是(C)Ax0R，f(x0)0 B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0解析 x 时，f(x)0，f(x) 连续，x0R ，f(x0)0，A正确；通过平移变换，函数可以化为f(x)x3c ，从而函数yf(x)的图像是中心对称图形，B正确； 若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1 ，则f(x)在区间(x1 ，x0)单调递减C错误D正确故答案为C.72013浙江卷 已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1，2)，则(C)A当k1时，f(x)在x1处取到极小值 B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值 D当k2时，f(x)在x1处取到极大值解析 当k1时，f(x)(ex1)(x1)，f(x)ex(x1)(ex1)xex1，则在x1处取不到极值当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，f(x)ex(x1)2(ex1)2(x1)(x1)(xexex2)，f(1)0，f(2)0，f0，所以在x1处取得极小值82013全国卷 若函数f(x)x2ax在是增函数，则a的取值范围是(D)A1，0 B1，)C0，3 D3，)解析 f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立，由于y2x在上单调递减，所以y0时，f(x)( D)A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值解析 因为函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)x2f(x)，所以当x0时，0，令函数g(x)x2f(x)，所以g(x)在x0时递增由f(2)，得g(2).又f(x)，所以f(x)，x0.令h(x)ex2g(x)，则h(x)ex，故当x(0，2)时，h(x) 0，故h(x)在(0，)上的最小值为h(2)e22g(2)0.所以f(x)0，故f(x)在(0，)单调递增所以当x(0，)时，f(x)即无极大值也无极小值选D.102013郑州模拟 已知f(x)为R上的可导函数，且xR，均有f(x)f(x)，则有(D)Ae2 013f(2 013)e2 013f(0)Be2 013f(2 013)f(0)，f(2 013)f(0)，f(2 013)e2 013f(0)De2 013f(2 013)f(0)，f(2 013)f(x)，并且ex0，所以g(x)g(0)，g(2 013)f(0)，f(0)，f(2 013)e2 013f(0)，故选D.二填空题112013江西卷 设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)2.解析 f(ex)xex，利用换元法可得f(x)ln xx，f(x)1，所以f(1)2.122013广东卷 若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k1.解析 yk，y|x1k10，故k1.13.2013江西卷 若曲线yx1(R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则2解析 yx1，y，所以切线方程为y2(x1)，该切线过原点，得2.142013龙岩调研 已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是135，180)或解析 y，即切线的斜率为k，所以k，因为ex222 4，所以1k0，即1tan 0，所以135180，即的取值范围是135，180)x10245f(x)121.521152013温州联考 已知函数f(x)的定义域为1，5，部分对应值如下表，f(x)的导函数yf(x)的图像如图所示下列关于函数f(x)的命题：函数f(x)的值域为1，2；函数f(x)在0，2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a最多有4个零点其中正确命题的序号是解析 由导数图像可知，当1x0或2x0，函数单调递增，当0x2或4x5时，f(x)0，函数单调递减，正确当x0和x4时，函数取得极大值f(0)2，f(4)2，当x2时，函数取得极小值f(2)1.5，又f(1)f(5)1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为1，2，正确因为当x0和x4时，函数取得极大值f(0)2，f(4)2，要使当x1，t时，函数f(x)的最大值是2，由前面分析得，t的最大值为5，所以不正确由f(x)a知，因为极小值f(2)1.5，极大值为f(0)f(4)2，所以当1a0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数(2)由f(2)0得a.当a，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)33(x2)0，所以f(x)在(2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.172013重庆卷 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元，又据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5 )时，V(r)1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)202013新课标全国卷 已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.解：(1)f(x)ex.由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex.函数f(x)ex在(1，)单调递增，且f(0)0，因此当x(1，0)时，f(x)0.所以f(x)在(1，0)单调递减，在(0，)单调递增(2)证明：当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，函数f(x)ex在(2，)单调递增又f(1)0，故f(x)0在(2，)有唯一实根x0，且x0(1，0)当x(2，x0)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0得ex0，ln(x02)x0，来源:Z+xx+k.Com故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.212013新课标全国卷 设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围解：(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得F(0)0，