不等式例讲（A）解答.doc

【代数十讲】不等式例讲A解答陶平生基本内容与方法：柯西不等式，平均不等式，排序不等式；变形配凑法，数形结合法，三角代换法，局部放缩法，化归法，归纳法，调整法、设，证明：证一：局部放缩法，据对称性，不妨设，由于，则因此结论成立，取等号当且仅当证二：结构转换法，令，则，而，由于中任两数之和大于第三数，故以为边长可以构成一个三角形，设其面积为，外接圆半径为，内切圆半径为，条件化为，即，也即，所以，即，得 又由，得，于是所证式化为，即，也即，由此，即，也即 今证，注意本题的等号在相等时取到，此时为正三角形，当有，据此，将式左边写作，为证，只要证，即 由条件，即，由正弦定理，化为 由于在中，有，故由得，即成立，因此结论得证、设，证明：证一、显然，据条件式，即，也即，令，此式化为，当时取等号证二、三角方法，令，条件式成为 由此，改记，其中为锐角，成为， ，我们先来证明，为一个锐角三角形的三个内角据，即，由此知，是关于的一元二次方程的两个根，从而化为，因为，故得，所以，即因此为一个锐角三角形的三个内角；而在中，有，即有，也即、设正数满足：，证明：证：令，则，条件化为 ，待证结论成为： 据知，三个正数，必有一数，也必有一数，另一数要么，要么；总之，三个正数，有两个在的同侧，另一个在异侧，不妨设，在的同侧，则，于是，今考虑另一数，据， ，于是，所以，即，据，即要证，也即 由于左边，而右边，故成立，从而结论得证、锐角三角形中，证明： 证：由于，以及 ，因此，同理有， 故 当且仅当时取得等号，故结论得证、设为正数，满足：，证明：证：将条件离散化，令，则，类似得，于是即要证, 两边各加，即 记，则，于是由柯西不等式，即，故成立，因此结论得证、设的系数为正数，满足：，证明：对于满足的任一组正数，成立不等式：证：先证引理：对任意正数，成立不等式事实上，据柯西不等式，故引理成立回到本题，我们指出，若不是的方幂，则可在数组中补加若干个，使得数组中恰有个数，这时数组中的各数之积仍为，且因，可知所得的结果并不失去一般性；为方便计，不妨就设，则由引理，、设为正数，满足：对每个，都有；证明：证：对每个，则，记 ，则，设，其中，得，相减得，所以、设，记，求证：证：设，将其视为的二次函数，整理得，它的两根为，于是 由于，则 又 据以上三式得 ，即、设，且，求证：证一、由于 这里用到，所以，即，同理，相加得因此由得证二、 令 ，且,同理 因此，注意到所以 、设，证明：在与中，必有一个大于证：用反证法，若，记，即有，所以因此，平方相加得，所以，即，另一方面，因，得，故，导致，矛盾！从而结论得证、设正实数满足：，求证：对于整数，有证明：配凑法，因为 ,所以同理可得 ，三式相加可得、设正整数，约定，试求的最大值解：仍采用配凑法，由于；所以，当时取得等号、设，证明：证：，故即要证，据对称，可设，由于，；同理有，注意，而 ，又由知，即有，从而由+得，即成立，当且仅当时取得等号从而所证结论成立、设为个非负实数，证明： 证：对归纳，时结论成立；设时对于任意个非负实数结论都成立，当时，对于任意个非负实数，先将视为一个数，利用归纳假设， ，只要证，. 平方整理只要证， ，显然 ，故成立.因此即时结论也成立. 故由归纳法，结论得证.、设为正数，证明不等式：证一：令，由于，中，任两数之和大于第三数，则以为边，可构成一个锐角三角形，于是，代入所证式两端，并约去公因式，即要证，在锐角三角形中，由于 以及同理有， 所以， 故成立，因此结论成立。（证法）：令由于三数中，任两数之和大于第三数，则以为边，可构成一个锐角三角形,于是代入所证式两端，并约去公因式，即要证，在锐角三角形中，令，则且，而，式成为两端通乘，即要证：因为所以 ，同理有，；三式相加，式左边，式右边=因此式成立，故成立，从而结论成立、在中，证明不等式：证：左边以上用到，在中，（注），所以因此， 从而所证的不等式成立，取等号当且仅当,此时为正三角形（注）、在锐角三角形中，证明：证：由于；同理有；因此所证不等式化为： 令，则，而，同理，于是只要证注意 ；，；化为 此式关于对称，故可设，由于；即要证， 因为 ， ，故成立，因此结论得证证二：据对称性，不妨设，则，所以，则 ，于是；因，所以、设实数，求函数的最小值解：显然没有上界，这是由于，当时，又注意是一个零次齐次函数，且当时，的值为以下证明，对于满足条件的任何正数均有，即要证据条件，设 则 式化为：活化一个常量，改记1为，且设则 皆为的四次多项式，而 为的二次多项式记 为证式成立，即要证，于是只要证，易知， 以上用到，以及以上用到，故.因此，函数的最小值是、给定正数以及正整数，证明：对于满足条件（约定）的任意个正数，成立不等式：证：令，则由条件得，所证不等式化为： 对于满足条件的任意个正数，可重新编号，排成：，且（见附证）由于式关于诸变元对称，不妨就设先证引理： 引理证明：由于因为 ，所以，即，也即，故成立回到本题，为证式，对归纳、时，即要证， 因为 由于，又由引理得，所以，即的右端非负，从而成立、设时结论成立，即，记，即；当时，欲证， 即要证，；由归纳假设，因此只要证，即要证， 利用引理，于式中分别令，得到， ；相加得，即，即成立，也就是时结论成立；故由归纳法，对于所有，结论成立【附证】设为正数，则这个数可以适当编号，排成，使证：对归纳，对于两个数，如果，则令，已合要求；若，则令，显然有，假若在时，个数可以排成，使，对于个数，因它与之差，即与中的某个数之差；若，则记；若，则位于由所形成的个区间的某一个内，由于每个区间之长，故点插入后，每相邻两点间的距离也，将这个点自小到大重新编号为，则显然有、从个正数中，每次取个作乘积，将所有这种乘积的算术平均值的次方根，称为这个正数的次对称平均，记为，即 ： .证明：若，则有.证：记，为便于表达，定义,先证明，（）.(*) 对的个数归纳. 时，对于任意两个正数， ，显然有即,此时（*）成立.时，对于任意三个正数，显然有，即，类似地，由于对任意正数，有，在此式中，若令，,则化为 ,即.今设命题（*）在时成立，即对任何给定的个正数以及所有正整数（），（*）式均成立，当，对于个正数，记，将集中所有个元之积记为，则=+，于是=+=+=+.分别将，改记为及，则上式成为=+ 于是（+）（+） 整理式并表为： （）