问题的“拆分-复合-变式”.doc

问题的“拆分复合变式” J1J2J3J4J5J6问题：某线路如图1所示，设J1、J2、J6为6个电子元件，其正常工作的可靠性分别为r1、r2、r6，且彼此相互独立，问此线路正常工作的可靠性是多少？ 这是一道集数学、物理及实际生活情景于一体的好题，散见于各种数学教学参考资料中，它考查的知识点牵涉到概率知识及物理学中的串并联计算，在平时教学过程中我们发现学生面对如此复杂的图形往往不知所措，难以入手，为此本文从思维的角度介绍解决这类问题的一般方法，与同仁们交流。 图1一、问题的拆分J11J2根据上题的素材按照学生的不同认知水平和特点可设计成有一定梯度的三个基本题。第一题是两个元件串、并联正常工作的可靠性；第二题是三个元件串、并联正常工作的可靠性；第三题是三个元件串、并联混合体正常工作的可靠性。问题1：如图2，设J1，J2是两个元件，它的正常工作的可靠性分别为r1,r2，问：J2J1 当J1，J2串联时，所得串联线路正常工作的可靠性是。（答案：r1r2） 当J1，J2并联时，所得并联线路正常工作的可靠性是。（答案：1-（1-r1）（1-r2） 图2J1J2J3问题2：如图3，设三个元件J1，J2，J3正常工作的可靠性分别为r1,r2,r3。 当J1，J2，J3 串联时，所得串联线路正常工作的可靠性是。J3J1J2（答案：r1r2r3） 当J1，J2，J3并联时，所得并联线路正常工作的可靠性是_。（答案：1-（1-r1）（1-r2）（1-r3）J1Jn图3拓广：设J1，J2，Jn是n个元件，它的正常工作的可靠性分别为r1，r2，rn。 JnJ1则：当J1，J2，Jn串联时，所得串联线路正常工作的可靠性是。（答案：r1r2rn） 当J1，J2，Jn并联时，所得并联线路正常工作的可靠性是。图4（答案：1-（1-r1）（1-r2）（1-rn）J1J3J2问题3：如图5，设三个元件J1，J2，J3正常工作的可靠性分别为r1,r2,r3。J1J2J3 当J1，J2并联后与J3串联，此时所得线路正常工作的可靠性是。（答案：） 当J1，J2串联后与J3并联，此时所得线路正常工作的可靠性是_。图5（答案： ）注：2001年全国高考新课程卷：用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1，N2。当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作。当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作。已知元件A、B、C正常工作的可靠性依次为0.80，0.90，0.90。分别求系统N1、N2正常工作的可靠性P1、P2。此题即为问题2、3的特例。二、问题的复合由于有上面三个基本问题作为铺垫，同学们对此类问题的求解有了一定的基础，他们碰到原问题后不会再感到茫然，而且可以很快地找到解决问题的金钥匙。解：设J1、J2构成的系统为；J3、J4、J5构成的系统为；系统、系统与J6复合成系统。则由问题1知：P()=r1r2；由问题3知：P()= r3r5+r4r5r3r4r5。再有问题2知：线路正常工作的可靠性P()=1（1r1r2）（1r3r5r4r5r3r4r5）（1r6）三、问题的变式在此基础上，我们还可对原问题进一步探索：变式1：现有三个相同的元件，每个元件的可靠性均为r，试问由这三个元件可以组成多少种不同的线路连接，并确定哪个系统可靠性最强？请归纳结论。（结论：让元件尽可能多采用并联方式有助于提高系统可靠性。）1/21/31/41/51/6ABCDE变式2：电路中五个方框处均为保险匣，框内数字为通电时保险丝被烧断的概率。求通电后不断路的概率？解：设以A、B、C、D、E为各处保险丝被烧断的事件。A、B、C构成系统；D、E构成系统。在系统中：在系统中：图6变式3：用2n个相同元件组成一个系统，有两种不同的联结方式。第一种是先串联后并联，如图（）第二种是先并联后串联，如图（）。如果各元件是否能正常工作是独立的，每个元件能正常工作的概率都是r，问两个系统哪一个更可靠？解