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浅谈正规子群的判定条件2010年2月第29卷第2期绵阳师范学院JournalofMianyangNormalUniversFeb.2010Vo1.29No.2浅谈正规子群的判定条件陈惠汝,蓝新华(1.黄冈师范学院数学与信息科学学院,湖北黄州438000;2.贺州学院数学系,广西贺州542800)摘要:正规子群的判定在群论中具有重要的实际意义,判断子群是否为正规子群有多种方法.该文在已有正规子群判定结论和方法的基础上,从正规子群的定义出发给出了几个新的.rv_Lif-群的判定条件,使得正规子群的判定简单易行.关键词:群;子群;正规子群中图分类号:0171文献标识码:A文章编号:1672-612x(2010)02-0022-03正规子群是群论中非常重要的子群,也叫不变子群.它在研究群可解性,同构分类等方面扮演着尤为重要的角色.对于群G,如何确定子群日为G的正规子群对于判定G是否可解起到关键作用.所以讨论子群成为正规子群的条件也显得非常的重要,文献.对其作了一定的探讨.本文在此基础上从正规子群的定义出发,给出了子群成为正规子群的若干条件.已有的简单结论列出如下:(1)群G的两个平凡子群e与G都是G的正规子群;(2)交换群的任一子群都是正规子群;(3)群G的中心C(G)是G的正规子群,且C(G)的任一子群也是G的正规子群;(4)两个正规子群的交(积)仍为正规子群;(5)群G的指数为2的子群必是G的正规子群;(6)n次交错群是n次对称群的正规子群下面给出正规子群的一些判别条件:定理1JG为任意的群,日为G任一子群,那么以下四个条件是等价的:(1)gH=月奢,VgG;(2)g月一=H,VgG;(3)g/-/g-1H,VgG;(4)ghg_.H,VgG;hH定理2设日是群G中给定阶的唯一子群,则日是G的正规子群.证明任取gG,固定g,于是g如是G的子群.设样H=n,于是#(gHg)=n.由题设,gHg=日,则日是G的正规子群.定理3设是群G的子群,且的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集.则是c的一个正规子群.证明aH?bH=cH,故aebeaHbH:cH.因abcH,故abH=cH.VaG,aliaH=aaH=,所以aliaealiaH=H,即aliaeH,故是的一个正规子群.推论I-8J设是群G的子群,若G关于H的左(右)陪集对子集乘法构成群.则是G的正规子群定理4一个群G的可以写成ab-2ab形式的元素称为换位子,则所有的有限个换位子的乘积作成的集(有限个换位子的乘积作为元素)C是G的一个正规子群.证明e=eeee,故eC,即C非空.有限个换位子的乘积与有限个换位子的乘积还是有限个换位子的乘积,故C关于G的乘法是封闭的.因为(abab)=6a-1ba,于是换位子的逆还是换位子.所以有限个换位子的乘积的逆还是有限个换位子的乘积,故VcC,有CC.因此,C是G的子群.收稿日期:2009.11-30作者简介:陈惠汝(1978一),女,讲师,主要研究方向:基础数学.第2期陈惠汝等:浅谈正规子群的判定条件?23?VcC,gG,由于g_.cgcC,所以(gcgc)cC,故gcgC,g_.cgC,即C是G的正规子群.定理5设为群G的子群,为G中满足条件aH=Ha的所有元素a作成的集,则是的正规子群.证明因为H是G的子群,Vh日,hH=Hh=H,于是有h日k.V口,bK,即aH=Ha,bH=Hb,于是有:(口6)H=口(bH)=n(Hb)=(an)b=H(ab),即abIt.由于aH=HaHa=口-1日口因此K是G的子群.由于日是的子群,并且V0K,有aH=Ha,所以日是的正规子群.定理6设是群G的正规子群,日是G的任意子群,则日n是日的正规子群.证明日n日且Hn是非空的.Vx,YHnk,YH,Y=H,xyN,-1E日,_.J7v=HnN,_.HnN,所以n是日的子群.VHnN,hH,=xhH,h_.xh=危一xhEHnN,即日n是日的正规子群.引理19设日,K是群G的两个有限子群,则#()=葛定理7.设G使一个有限群且IGl=pokok-p2k2km,其中p(i=0,1,2,m)为互不相同的素数,又设是G的一个子群且fI=p:k2k,如果P>k0=l,2,m),则是c的一个正规子群.定理8设P,q是两个不同的素数,G是pg阶群,P<q,则G的q阶子群是正规子群.证明设是G的q阶子群,因为q是素数,故日是循环群.设H=(口),于是口的阶为g.假定日不是的正规子群jG,使岳日,记X-1似,b和口的阶相同,于是K:(6)也是q阶子群.因为日n是日与的子群,由拉格朗日定理,日nK的阶为1或g.若n的阶为q,则=,这与6矛盾,P)i:l#(HfqK)=l,由引理知存()=q.但脒G,而#(HK)=q>Pq=#G,所以矛盾.因此,日是G的正规子群.定理9m设G是任意的群,日为G的任一子群,子集N(H)=G/xH=Hx叫做在G的正规化子,则(1)日是(日)的正规子群;(2)是G的正规子群当且仅当()=G.定理10设s是群G的子群,把.s的共轭子群gSg记作.s,即Sg:gSg,则=.s是G的正规子群.证明子群的交仍是子群,故是G的子群.由定义,VG,VgG,sES使=gsg.对V口G,bEN要iIEaba-.S,VgEG.取g1=口g.由定义知,bSgl即存在s.s使b=glsgl.于是,aba一=ag曙0:gsg.从而aba_得正是G的正规子群.定理1l设A.A:A是G的正规子群的升链,则A=u.A是G的正规子群.证明首先证明是G的子群.显然非空.V,YA,存在idZ使A,YA,.不妨设i,则AAj,xyA,cA.得证运算在A上封闭.又任意A,存在iZ使A,有A.得证A.所以,A是G的子群.VG,口A,存在Z使0A.因是G的正规子群,必有血A.而A,故口.得证A是G的正规子群.参考文献:1胡冠章,王殿军.应用近世代数M.北京:清华大学出版社,2006:67692齐晓梅,乔凤珠.近世代数基础M.北京:教育科学出版社,2006:106.?24?绵阳师范学院(自然科学版)第29卷3赵焱清.近世代数M.杭州:浙江大学出版社,2005:7882.4刘绍学.近世代数基础M.北京:高等教育出版社,1999:28.5黄淑英.近世代数研究生试题选解M.北京:农村读物出版社,1988:1122.6王欣欣.浅谈正规子群的判别方法J.陇东学院,2008,19(2):1415.7王娜儿.判定正规子群的若干条件及方法J.中国水运,20o9,9(1):265266.8胡冠章,王殿军.应用近世代数M.北京:清华大学出版社,2006:71.93陈传概,孙伟.近世代数及其应用M.北京:北京邮电大学出版社,2001:149.10郝秀梅.子群是正规子群的一个充分条件J.菏泽师专,1996,18(2):54.DiscriminantConditionforNormalSubgroupCHENHui.ru.LANXinhua(1.CollegeofMathematicsandInformationScience,HuanggangNormalUniversity,Huangzhou,Hubei438000;2.DepartmentofMathematics,HezhouUniversity,Hezhou,Guangxi542800)Abstract:Thejudgrnentofnormalsubgroupisofimportantpracticalsignificanceinthegrouptheory.Therearevariousmethodstojudgewhetherasubgroupisnormalsubgroupornot.Basedontheexistedconclusionandmethodsforthedeterminationofnormalsubgroups,thispaperpresentsseveralnewmethodsbyusingthedefini-donofnormalsubgroup.Keywords:group;subgroup;normalsubgroup(上接第14页)参考文献:1浙江省教育学会中学数学教学分会.高中数学奥林匹克竞赛教程M.杭州:浙江教育出版社,2006.2徐森林,薛春华.数学分析M.北京:清华大学出版社,2007.3A.C.M.VanRoolj,W.H.Schikhof.Asecondcourseonrealfunctions.Combfidge:Combridgeuniversitypress.1982:154汪兆林.中国中学数学教材研究文集M.海南:南海出版公司,1995.5叶军.数学奥林匹克教程M3.长沙:湖南师范大学出版社,2003.6KennethH.Rosen.数论及应用(英文版第五版)M.北京:机械工业出版社,2003.7邱淦悌.高等数学M.福建:厦门大学出版社,2007.8同济大学应用数学系主编.高等数学(第六版)M.北京:高等教育出版社,2008.9张奠宙,张广祥.中学代数研究M.北京:高等教育出版社,2006.1O陈传理,张同君.竞赛数学教程M.北京:高等教育出版社,2001.ElementaryProofandApplicationofNewtonidentitiesHUXiaoping(SchoolofMathematicsandComputerScience,MianyangNormalUniversity,Mianyang,Sichuan621000)Abstract:Newtonidentitiesareveryimportantconstanttypesinelementarymathematics.CleverandflexibleapplicationofNewtonidentitiesandtheinferencescanSolveeffectivelysomeofthedifficultproblems.Thispaper,basedontheprimaryevid