双心的四边形.docx

双心的四边形双心的四边形,也称为cyclic-inscriptable四边形,是一个四面双心的多边形。的内接圆半径,外接圆半径,抵消连接的方程(1)(凯西戴维斯;Durege 1861;1861年,页109 - 110,约翰逊1929;失去1965;1971年柯立芝,p。46;萨拉查2006)。发现这种关系有时被称为大惊小怪的问题。除了(2)(3)(拜尔1987)是semiperimeter,(4)的区域的双心的四边形(5)(6)在哪里和对角线的长度(Ivanoff拜尔1960;1960年,p . 124)。参双心的三角形所有的三角形都是双心的。,拥有一个内接圆和一个外接圆。这是不一定的情况多边形有四个或更多。的内接圆半径和外接圆半径一个三角形连接的在哪里之间的距离吗内心和外心(柯立芝1971年,p . 45)。参见:双心的多边形一个多边形有一个外接圆(触摸每个顶点)和一个内接圆每一方(切)。所有三角形双心的有(1)在哪里是外接圆半径,是内接圆半径,是中心的分离。为双心的四边形,因此有时被称为大惊小怪的问题,圈满足(2)(Dorrie 1965,1965年萨拉查),或者在另一种形式,(3)(凯西戴维斯;Durege 1861;1861年,页109 - 110,约翰逊1929;Dorrie 1965)。如果周围的圈子里允许连续切线内接圆而关闭多边形上的一个起点外接圆,然后对所有点外接圆,结果被称为彭色列的系.参彭色列的系如果一个站彭色列横向构造两个给定圆锥部分关闭一个原点,是因任何位置的起源点。具体来说,拥有一椭圆在另一个,如果存在一个circuminscribed(同时上外和内限制)百分度,然后上任意一点的边界外椭圆的顶点吗circuminscribed百分度。如果二次曲线作为一个圆(凯西1888,页1888 - 1888),然后一个多边形的内心和外心(和截线将因此关闭的)被称为双心的多边形.令人惊讶的是,这个问题是同构的盖尔芬德的问题(王1994)。两面的多边形,对角线是并行的限制点两个圆的,而对于一个odd-sided多边形,对面的线路连接的顶点的接触点是并行的限制点.反相了两个中的哪一个极限点给两个同心圆。然而,-gonal双方成为圆形的弧线在这个过程中,所以这种简单反演不提供自动定理证明(发生在吗施泰纳的系,例如)。小题大做(1792)公式不仅对派生而来双心的四边形,而且双心的五角大楼,六角,七边形,八角一样,斯坦纳(大惊小怪1792;雅可比1823;施泰纳1827;Dorrie 1965,p . 192)。Chaundy(1923)系展出、4、5、6、7、8、9、10、12、14、16、18、20、错误的表达式为其他值(Kerawala 1947)。Richelot派生的表达式。事实上,有一个相关的一般解析表达式外接圆半径,内接圆半径,抵消之间外心和内心双心的多边形。鉴于,定义(1)(2)(3)注意,因为,是积极的数量与,.现在我们(4)(5)和定义椭圆模量通过(6)然后的条件gon双心的是(7)在哪里是一个雅可比椭圆函数和是一个第一类完全椭圆积分(1830年Richelot Kerawala 1830)。Kerawala(1947)能够建立简单的显式形式的许多系不通过椭圆函数的使用。对上面的两个圆画报中,内圈上的切线可以由解决(8)在哪里(9)(10)(11)内圆的半径,内圈的抵消,外圆上的特定位置,是角切发生的内部圈子。以点积和简化了(12)这是解决的时候在这一点上,这条线的延伸相交外圆又可以找到使用的标准方程环线交叉口.度的相关的代数方程,为4,1、2、3、4、6、8、9、12、15、16日,21日,24日,24日,32岁,36岁,(OEISA002348;Kerawala 1947)。让质因数分解的被写成(13)然后一般是由(14)在下列表达式中,写作(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)Kerawala后(1947),和(31)(32)后Richelot(1830)。一个双心的三角方程(),即。,任何三角形,可以被写成(33)(34)(35)(36)(1830年Richelot),或(37)(施泰纳1827;f . Gabriel-Marie 1912年,页497 - 501,Kerawala 1947;Altshiller-Court 1952年,页85 - 87,威尔斯1992)。后者有时也称为三角形欧拉公式.对于一个双心的四边形(),连接半径和偏移量的方程(38)(Kerawala 1947)扩展(39)凯西(戴维斯;Durege;1888年,页109 - 110;1912 f . Gabriel-Marie,页。321年和814 - 816年,约翰逊1929;失去1965)。这个也可以写(40)(41)(1827年Steiner),或(42)(Richelot 1830)。双心的关系五角大楼()是(43)(施泰纳1827)或(44)(Richelot 1830)。许多不同形式给出(45)(46)(47)(48)(49)和(50)(Kerawala 1947)。为,(51)(施泰纳1827),(52)(Richelot 1830),(53)或(54)(Kerawala 1947)。为,(55)(1823年雅可比,Kerawala 1823)为,(56)(Kerawala 1947),也可以书面形式(57)(1830年Richelot,雅可比1830)。施泰纳(1827)给出的方程包含至少一个印刷错误。为,(58)为,(59)(Richelot)。为,(60)(Richelot)。为,(61)为,(62)(Kerawala 1947)或(63)(Richelot 1830)。尔(1878)给出了一个算法寻找近似解与连系。下表给出了近似固定的关系.错误6810参见:黄金矩形给定一个矩形在双方的比率,黄金比例这样定义分区原来的吗矩形成一个广场和新矩形结果在一个新的矩形在双方的比率。这样一个矩形被称为黄金矩形。欧几里得使用下面的建筑构造。画出广场,叫的中点的,所以。现在画一段,长度(1)和构建这个长度。现在完成矩形,这是金(2)将黄金矩形划分为连续点广场躺在一个对数螺线(井1991年,p . 39;利维奥1991,p . 119),有时被称为黄金螺旋线.螺旋不是切在这些点,然而,但经过他们相交邻边,正如上文所述。如果原始广场的左上角是定位在(0,0),螺旋的中心发生在这个职位(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)和螺旋的参数是由(12)(13)(14)(15)参见黄金比例黄金比例,也被称为神圣的比例,黄金分割,或黄金分割,是一个数量的比率时经常遇到距离等简单的几何数据五角大楼,五角星形,十边形和十二面体。它是表示,有时.的名称“”(黄金比例共轭)和“”(更大的数量Knott)有时也使用(),尽管这种用法并不一定推荐。“黄金分割”一词(在德国,金色Schnitt或der goldene施尼特)似乎第一次已经被马丁使用欧姆在1835年的第二版教材死Reine Elementar-Mathematik(利维奥2002年,p . 6)。第一个知道如何使用这个词在1875年詹姆斯苏利的英语文章第九套广播体操的美学大英百科全书。符号(“”)显然是第一次使用20世纪初由马克巴尔纪念希腊雕刻家菲迪亚斯(ca。公元前490430年),他的艺术历史学家声称大量使用了黄金比例在他的作品中(利维奥2002,pp。5 - 6)。同样,替代符号是一个希腊多美的缩写,意思是“削减”。在第一季插曲”破坏”(2005)的电视犯罪剧NUMB3RS,数学天才查理epp提到黄金比例在吉萨金字塔,在雅典帕台农神庙。同样,小说中人物罗伯特兰登达芬奇密码类似这样的声明(布朗2003年,页93 - 95)。然而,黄金比例的意义的说法出现在艺术、建筑、雕塑、解剖学、等等,往往是大大夸大了。有惊人的连接持续的分数和欧几里得算法为计算最大公约数两个整数.给定一个矩形在双方的比率,被定义为独特的号码吗这样分区原来的矩形成一个广场和新矩形正如上文所述的新结果矩形也有双方的比率(即。,这样上面的黄色矩形相似)。这样一个矩形被称为黄金矩形,将一个连续点黄金矩形成广场躺在一个对数螺线,给图称为旋转的广场.基于上述定义,它可以立即看到(1)给(2)欧几里得ca。公元前300年的一个等价定义通过定义它的所谓“极端和平均比率”一条线段,即。,这样(3)为线段如上图(利维奥2002年,页3 - 4)。插入,(4)结算分母给(5)这是完全相同的公式获得以上(顺便意味着是一个代数数度2。)使用二次方程并采取积极的迹象(自图是这样定义的)的精确值,即(6)(7)(OEISA001622)。质数出现在连续数字的十进制扩张(从第一个)被称为phi-primes.明显的误解的区别一个确切的数量和近似值,小说中的人物罗伯特兰登达芬奇密码错误定义了黄金比例精确到1.618(布朗2003年,页93 - 95)。的腿金三角(一个等腰三角形与一个顶角的)在一个基地和黄金比例,事实上,这是毕达哥拉斯所使用的方法来构造。的比例外接圆半径的的长度十边形也,(8)二等分(示意图)戴高乐主义者交叉也给了一个黄金比例(加德纳1961,p . 1961)。精确的三角函数公式包括(9)(10)(11)黄金比例的系列(12)(b .洛神葵)。另一个迷人的斐波纳契数给出的系列(13)一个表示的嵌套的激进是(14)(利维奥2002年,p . 2002)。这是等效的递归方程(15)与,给.是“坏的”实数为合理近似,因为它吗连分数表示(16)(17)(OEISA000012威廉姆斯,1979年,p . 52;Steinhaus指出1979,p。45,利维奥2002,p . 84)尽可能最小的术语(1)在每个无穷多的分母,因此给的收敛,收敛速度慢于其他连分数。特别是,的收敛给出的二次递归方程(18)与,解决方案(19)在哪里是th斐波纳契数。这给前几的收敛为1、2,3/2,5/3,8/5,13/8,21/13,34/21,(OEISA000045和A000045),这是很好的为0,0,0,1,1、2、2、2、3、3、4、4、5、5、5、(OEISA114540小数位数,分别。作为一个结果,(20)1753年作为第一证明了苏格兰数学家罗伯特Simson(威尔斯1986年,p . 1986;利维奥62,p . 101)。黄金比例也满足递归关系(21)采取给出了特殊情况(22)治疗(21)作为线性递归方程(23)在,设置和,解决了(24)像预期的那样。黄金比例的权力也满足(25)在哪里是一个斐波纳契数(井1986年,39页)。的正弦涉及某些复杂的数字给特别简单的答案,例如(26)(27)(d霍利,珀耳斯。通讯)。在上图中,三人三角形可以内接在矩形任意长宽比的这样的三个直角三角形地区平等除以吗和黄金比例。然后(28)(29)(30)这都是平等的。反过来也是如此,即如果邻边的矩形划分在任何比和连接以同样的方式,如果这三个外三角形的面积都是平等的,分裂的双方在黄金比例(dj刘易斯,珀耳斯。通讯,2009年6月11日)。的替换系统(31)(32)给了(33)引起序列(34)(OEISA003849)。在这里,零发生在位置1,3,4,6,8,9,11,12日(OEISA000201),那些发生在位置2、5、7、10、13、15、18日(OEISA001950)。这些都是互补的比蒂序列生成的和。这个序列也有很多联系斐波纳契数。这是策划2(mod)以上复发的阴谋.我们的连分数人们用和让的收敛分母表示, .,。从上面的图中,我们可以看到的连分式的规律性意味着是一组数字测量0其连分数序列收敛到不Khinchin常数或者是莱维常数.黄金比例了恩格尔扩张1、2、5、6、13、16日,16日,38岁,48岁,58岁的104年,(OEISA028259).Steinhaus指出(1999年,49页)认为的分布部分零件的所跨越的时间间隔0, .,1,指出,他们比预期更均匀分布由于机会(例如,接近一个equidistributed序列)。特别是,空区间的数量,2,仅仅是一个0,0,0,0,0,0,1,0 2 0,1,1,0,2,2,(OEISA036414)。的值垃圾箱的留空然后由1,2,3,4,5,6、8、10、13、16日,21日,34岁,55岁,89年,144年(OEISA036415)。Steinhaus指出(1983)讲话中高度均匀分布有其根源连分数为.序列的,电源部分零件,在那里是小数部分,是equidistributed几乎所有实数,黄金比例是一个例外。萨勒姆表明的集合Pisot数字是封闭的,最小的聚点集(Le Lionnais 1983)。参见斐波纳契数斐波那契序列的数字是数字定义的线性递归方程(1)与。由于定义(1),这是传统的定义.斐波那契数字,2,1,1,2,3,5,8,13,21日(OEISA000045).斐波纳契数列可以被看作是一个特定的情况下斐波那契多项式与.斐波纳契数的实现Wolfram语言作为斐波那契n。斐波那契数字也是一个卢卡斯序列,是同伴卢卡斯的数字(满足相同的递归方程).上面的漫画(2005年修订)显示了一个非传统体育斐波那契数列的应用(左两个面板)。(右边的面板而不是应用佩兰序列).13炒版本3 2,21岁,1,1、8、5(OEISA117540)的第一个八个斐波纳契数显示为一个被谋杀的博物馆馆长雅克留下的线索尚尼亚在d布朗的小说达芬奇密码(布朗2003年,页43岁,60 - 61和189 - 192年)。在第一季插曲”破坏”(2005)的电视犯罪剧NUMB3RS数学天才查理epp提到,斐波那契数列在晶体的结构以及星系的螺旋和一只鹦鹉螺壳。在本赛季4集“杰作”(2008)的cbs电台犯罪剧“犯罪心理”,联邦调查局特工的行为分析单元是面对一个连环杀手使用斐波那契序列来确定受害者的数量为每个他的杀人事件。在这节课中,字符里德博士也注意到杀戮躺在图上的位置黄金螺旋线,将螺旋的中心允许里德确定凶手的行动基地的位置。上面的图显示了前511斐波那契序列用二进制表示,揭示了一个有趣的模式的空心三角形(2003佩吉)。一系列碎片形的白色三角形出现在底部边缘,部分是由于这一事实的二进制表示以0。许多其他类似的属性存在。斐波纳契数给对兔子的数量几个月后一对单开始繁殖(和新生的兔子被假定两个月大时开始繁殖),作为第一次描述了达芬奇的比萨(也称为斐波那契)在他的书中书籍算盘。开普勒也描述了斐波纳契数列(开普勒井1966;1966年,页。61 - 62年和65年)。斐波那契写道:他的工作之前,斐波纳契数已经讨论了印度学者如Gopla(1135年以前)和Hemachandra(c . 1150)曾长期感兴趣的形成从一个节拍和节奏模式二打笔记或音节。这种节奏的数量节拍完全是,因此这些学者都提到了数字1,2,3,5,8,13,21日明确(Knuth 1997,p . 1997)。斐波纳契数小于10的数字,6、11、16、20、25、30、35岁,39岁,44岁的(OEISA072353)。为,2,数字的小数位数2,209,209,2090,208988,2089877,20898764,(OEISA068070)。可以看到,数字定居产生的初始字符串208987640249978733769这个数字对应的小数位数(OEISA097348),是黄金比例。这是事实的任意次幂函数,的小数位数是由.斐波那契数,都是squareful为12日报道,18日,24日,25日,30日,36岁,42岁,48岁,50岁,54岁,56岁,60岁,66年,、372、375、372、375(OEISA037917),squarefree为、2、3、4、5、7,8,9,10,11日13日(OEISA037918).和对所有,至少有一个这样。没有squareful斐波纳契数是已知的.连续的斐波纳契数的比率方法的黄金比例作为趋于无穷时,就像1753年第一次证明了苏格兰数学家罗伯特Simson(威尔斯1986年,p . 1986)。备用斐波纳契数的比率是给定的的收敛来,在那里是黄金比例,据说连续测量分数之间的转叶的茎植物(叶序):对榆树林登,1/3山毛榉和淡褐色,橡树和苹果的2/5,3/8的白杨树和玫瑰,5/13,柳树、杏仁等。(1969年Coxeter球和Coxeter 1969)。斐波那契数字有时被称作松果数字(帕帕斯1989,p . 1989)。斐波纳契数列的角色在植物学有时被称为路德维希定律(Szymkiewicz 1928;井1986,p . 66;Steinhaus指出1999,p . 299)。然而,植物学家库克建议谨慎在植物学和斐波那契序列之间的相关性(彼得森2006)。方程()是一个线性递归方程(2)所以的封闭形式是由(3)在哪里和的根。在这里,所以方程变成了(4)已根(5)因此由封闭的形式(6)这就是所谓的比奈斐波纳契数的公式(威尔斯1986年,p . 1986)。另一个封闭的形式是(7)(8)在哪里是最近的整数的函数(威尔斯1986年,p . 1986)。使用方程(7)的定义可以扩展到负整数根据(9)更普遍的是,斐波纳契数列可以扩展一个实数通过(10)正如上面绘制的。斐波那契函数0和无限的负面价值的方法对于所有的负整数,给出的解决方案(11)在哪里是黄金比例。最初的几根是0,(OEISA089260), .另一个递归关系斐波纳契数的(12)在哪里是层功能和是黄金比例。这个表达式遵循从一般递归关系(13)为。(情况是非常,而情况基本上是卡西尼号的身份因此等于.)另一个有趣的行列式身份之前的定义随着矩阵除了位置为0和为(即。,沿着superdiagonal和副斜杆)。然后(14)(美国马克洛夫)。的生成函数斐波纳契数的(15)(16)(17)通过插入,这给好奇的加法树上面了,(18)所以(19)(利维奥2002年,页106 - 107)。之和(20)(OEISA079586)被称为互惠的斐波纳契常数.尤里Matiyasevich(1970)表明,存在一个多项式在,和许多其他变量,拥有的财产敌我识别存在整数,这样。这导致了第十的不可能的证据希尔伯特的问题(存在一个通用的解决方法丢番图方程1970年由茱莉亚罗宾逊和马丁戴维斯?)(里德1997,p . 1997)。斐波那契数给出了多种方式多米诺骨牌盖一个棋盘,如上面图中所示(Dickau)。选择的多种方式集(包括空集)从数字1、2、没有挑选两个连续的数字。的数量的方法挑选一套(包括空集)从数字1、2、没有选择两个连续的数字(1和现在连续)是什么,在那里是一个卢卡斯数量.没有得到连续两个正面的概率扔一个硬币是(Honsberger 1985,页120 - 122)。斐波纳契数列也相关数量的方法抛硬币可以这样没有三个连续的正面或反面。理想的的数量元栅栏偏序集是斐波纳契数.给定一个电阻网络的1 -电阻,每个增量地连接在前面的电阻串联或并联,然后净阻力有理数最大可能的分母.给出了斐波纳契数的第二类切比雪夫多项式通过(21)和身份包括(22)(23)(24)(25)有很多特殊的代数恒等式涉及斐波那契数列,包括(26)(27)(28)(29)(30)(31)(Brousseau 1972),加泰罗尼亚的身份(32)d Ocagne的身份(33)和Gelin-Cesaro身份(34)让在(32)给卡西尼号的身份(35)有时也称为Simson的公式,因为它也发现了Simson(Coxeter和格雷策1967,41页;Coxeter 1969年,页165 - 168,Petkovek et al . 1996年12页)。约翰逊(2003)给出了非常普遍的身份(36)适用于任意整数,与和许多其他身份遵循特殊的情况。斐波纳契数列遵守否定公式(37)加法公式(38)在哪里是一个卢卡斯数量,减法公式(39)基本的身份(40)结合关系(41)继任者的关系(42)二倍角公式(43)多元视角复发(44)多角度的公式(45)(46)(47)(48)(49)(48)只有),扩展(50)(答:Mihailovs珀耳斯。通讯,2003年1月24日)、产品扩张(51)和(52)广场扩张,(53)和权力的扩张(54)Honsberger(1985,第107页)给出了一般关系(55)(56)(57)在的情况下,然后和奇怪的,(58)同样的,对甚至,(59)让给出了身份(60)(61)(62)总和公式为包括(63)(64)(井1986,p . 63),后者显示了浅的对角线”帕斯卡三角形斐波纳契数列求和(帕帕斯1989)。额外的身份可以找到整个斐波那契季刊。47个广义身份列表由哈尔顿(1965)。的卢卡斯数量,(65)(66)(67)(68)(Honsberger 1985,页111 - 113)。一个不同寻常的身份(69)(Honsberger 1985,页118 - 119),可以推广到(70)约翰逊(2003)。这也是事实(71)为奇怪的,(72)为甚至(Freitag 1996)。从()比连续的条件是(73)(74)(75)(76)(77)也就是前几的连分数为黄金比例。因此,(78)另一个迷人的黄金比例给出的系列(79)人(1990)指出,好奇的事实为,1,给1,1,2,3,5,8,13,21岁,34岁,55岁,然后继续91、149(OEISA005181).产品的第一斐波纳契数列和添加1,2,给出了序列2、2、3、7日31日,241年,(OEISA052449)。其中,2,2、3、7,31日,241年,3121年(OEISA053413),即。,1,2,3,4,5,6,7,8,22日,28日(OEISA053408).斐波纳契数列的最后一个数字重复序列的周期60。最后两个数字重复300年,1500年最后三个,最后四等等之间的斐波纳契数的数量和要么是1或2(威尔斯1986年,p . 1986)。采查罗派生的有限的资金(80)(81)(Honsberger 1985,页109 - 110)。斐波纳契数列满足电力复发(82)在哪里是一个Fibonomial系数的倒数之和(83)卷积(84)的部分分式分解(85)在哪里(86)(87)(88)和求和公式(89)在哪里(90)无限的资金包括(91)克拉克(1995)(92)(93)在哪里是黄金比例(威尔斯1986年,p . 1986)。为,敌我识别(威尔斯1986年,p . 1986)。敌我识别分为一个奇怪的的次数。(迈克尔1964;Honsberger 1985,页1964 - 132)。没有奇怪的斐波纳契数整除17(Honsberger 1985,页。132年和242年)。没有斐波纳契数永远是的形式或在哪里是一个质数(Honsberger 1985,p . 1985)。考虑到金额(94)(95)这是一个可伸缩的总和,所以(96)因此(97)(Honsberger 1985,页134 - 135)。使用比奈斐波纳契数的公式,它也遵循(98)在哪里(99)(100)所以(101)(102)(Honsberger 1985,pp。138年和242 - 243年)。的米林系列已经和(103)(Honsberger 1985,页135 - 137)。斐波那契数字完整的。事实上,把一个数字还是留下了完整的序列,尽管降两个数字不(Honsberger 1985年,页。1985年和123年)。下降两个术语的斐波纳契数列产生序列没有弱完成(Honsberger 1985,p . 1985)。然而,序列(104)是弱完成与任何有限的子序列,甚至删除(Graham 1964)。不是完整的,但是这样的。的副本是完整的.的讨论广场斐波纳契数列,看到科恩(1964 ab),证明的唯一的人平方数斐波那契数字1和(科恩1964 ab,1994)。明(1989)证明的唯一三角斐波那契数字是1,3,21岁,55。斐波那契,卢卡斯的数字没有常用术语除了1和3。唯一的立方斐波纳契数是1和8。(105)是一个毕达哥拉斯的三倍首次发现,雷恩(利维奥2002年,p . 2002)。(106)总是一个平方数(Honsberger 1985,p . 1985)。1975年,詹姆斯p琼斯表明斐波纳契数是正整数的值多项式(107)为高斯整数和(Le Lionnais 1983)。如果和是两个积极的整数间,然后和,不会发生超过斐波纳契数列(Honsberger 1985,页1985 - 105)。斐波纳契数列满足身份(108)在哪里是最大公约数.斐波纳契数的序列是周期模模量(墙1960)。这段时期被称为皮萨诺时期(扳手1969)。斐波那契数字模对小下面列表,连同他们的皮萨诺时期.斯隆(mod)23A0116551,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,38A0821151 1 2 0、2、2、1,0,1,1,2,0、2、2、1,46A0793431,1,2,3,1,0,1,1,2,3 - 1,0,1,1,2,520A0821161 1 2 3 0、3、3、1、4、0、4、4、3、2 0,624A0821171、1、2、3、5、2、1,3,4,1、5 0、5、5、4716A0821161、1、2、3、5、1、6 0,6、6、5、4、2、6、1、812A0793441、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1,0,1,1,2,参见:皮萨诺时期的顺序斐波纳契数是周期模模吗墙(1960)和(mod)是被称为皮萨诺的时期(扳手1969)。为,2,的值,是1、3、8、6、20、24日,16日,12日,24日,60岁,(OEISA001175).自,最后的数字重复周期60,1774年首次注意到拉格朗日(利维奥2002年,p . 2002)。最后两个数字与300重复,最后三段1500。1963年,盖勒发现最后四位数的最后五个时期。庭院随后显示,最后数字有一段时间的(利维奥2002年,页105 - 106)。皮萨诺时间的顺序,100,1000,因此60,300,1500,15000,150000,1500000,(OEISA096363).即使是(墙1960)。敌我识别对于一些整数1969年(富尔顿和莫里斯,扳手1969)。参见:金色的菱形一个金色的菱形是A菱形比的是谁的对角线,在那里是黄金比例.上面的半张角画报是由(1)(2)(3)(4)这就给了身份(5)(6)(7)使用的方程内接圆半径的菱形发现,金色的菱形的内径(8)(9)和地区(10)(11)的脸菱形hexecontahedron和菱形triacontahedron是金色的菱形。参见:菱形Hexecontahedron菱形hexecontahedron是60-faced多面体可以通过星状菱形triacontahedron通过将一个平面沿着每条边的垂直于这个平面对称边缘的谎言,和由这些飞机给hexecontahedron固体有界(Steinhaus指出1999)。因此一个菱形triacontahedron眺望。它似乎是第一个指出和说明了Unkelbach 20有限(1940)作为一个等边多面体边缘躺在飞机的对称和不渗透的凸多边形是谁的脸。令人惊奇的是,菱形hexecontahedron推断存在本质上是中央核心的准晶体聚合由慢凝固(平顶山1987)。菱形hexecontahedron中实现Wolfram语言作为PolyhedronData RhombicHexecontahedron 。这也是Wolfram | Alpha的标志计算知识引擎(Weisstein 2009)。的骨架菱形hexecontahedron的三角形的hexecontahedral图,如上图。的菱形hexecontahedron边缘的长度有表面积和体积给出的(1)(2)和惯性张量(3)特别是,菱形hexecontahedron可以通过扩展构造的每个菱形脸的长边菱形triacontahedron获得菱面体两侧的原始的一个因素黄金比例大,原中央菱形(Kabai 2002,p . 2002)。一个四面体10-compound,八面体5-compound,立方体5-compound,二十面体,十二面体,icosidodecahedron可以写在一个菱形hexecontahedron的顶点,如上图(e . Weisstein 12月24 - 27日)。菱形hexecontahedron的脸金色的菱形(Kabai 2002,p . 2002)。净上面的说明了菱形hexecontahedron(e佩吉,Jr .)。通讯,8月5日,2009)。20金色的菱面体可以组合在一起形成一个坚实的菱形hexecontahedron。参见:长方形瓷砖的数量方法找到一个subrectangle矩形可以计算通过计算的方法的数量右上角可以选择左下角为给定的。左下角的坐标,有右上角的角落,所以(1)(2)同样,多种方式的选择两行集的和行,给(3)(4)像以前一样。特定的瓷砖上面和矩形。参见:三角形瓷砖瓷砖任意三角形的平面(威尔斯1991年,p . 1991)。三角形的总数(包括反向的)在上面给出的数据(1)最初几个值是1,5、13、27日,48岁,78,118,170,235,315,411,525,658,812,988,1188,1413,1665,(OEISA002717).参见:矩形一个封闭的平面四边形两边的长度相等和,有四个直角。一个广场是一个堕落的矩形.的区域矩形的(1)和它的多边形对角线和的长度(2)一个矩形外接圆与外接圆半径(3)但内接圆只有在简并的情况下广场.许多重要的拓扑表面可以由矩形。粘合两对边一起没有扭曲了环面,给半捻后粘合两个相反的边缘了莫比乌斯带相反,粘合两双一起给一对半捻给边克莱因瓶,并给两双半捻了射影平面斯图尔特(1997)。菱形一个四边形与双两端平行各方都相同的长度,即。,一个等边三角形平行四边形。这个词有时使用菱形菱形,而是和一个菱形,有时也被称为钻石。一个菱形有时被称为一个菱形.的多边形对角线和菱形的垂直的并满足(1)对角线是张角有关通过(2)(3)的区域菱形是由(4)(5)(6)菱形是切向四边形与,所以有内接圆半径(7)(8)参见:四边形一个四边形,有时也被称为一个四角形或四边形(约翰逊1929年,p . 1929)是一个四面多边形。如果没有显式声明,所有四个多边形顶点通常采取在撒谎飞机。(如果不躺在一个点飞机四边形叫做斜四边形)。有三种拓扑类型的四边形(Wenninger 1983年,p . 50):凸四边形(图左),凹的四边形(中间图),和交叉四边形(或蝴蝶,或蝴蝶结;正确的图)。双方的四边形平行被称为梯形,而相反的对边平行的四边形叫做平行四边形.对于一个平面凸四边形(上图左),让两边的长度,semiperimeter,多边形对角线和。的多边形对角线是垂直的敌我识别.一个方程为边长的平方的总和(1)在哪里之间的连线的长度是中点的多边形对角线(凯西1888年,p . 22)。为双心的四边形,外接圆和内接圆满足(2)在哪里是外接圆半径,在内接圆半径,是中心的分离。给出任何5分一般在平面上的位置,四将形成一个凸四边形。这个结果是所谓的一个特例快乐的结局问题(霍夫曼1998年,页74 - 78)。有一个漂亮的平面凸四边形的面积公式的向量对应两个对角线。由向量代表的四边形,这样安排和对角线的向量和这样安排,和。然后(3)(4)在哪里是行列式和是一个二维叉积.有许多美丽的公式的平面凸四边形的面积和对角线长度,包括(5)(6)(拜尔1987,p . 1987),Bretschneider的公式(7)(8)(柯立芝Ivanoff 1939;1939;1987年拜尔,p . 123)是semiperimeter,美丽的公式(9)(Bretschneider 1842;Strehlke柯立芝1842;1939;1987年拜尔,p . 123)。四边形的顶点的重心发生的交点bimedians(即。,行和加入对相反中点)(Honsberger 1995,36 - 37页)。此外,它是中点的线连接对角线的中点和(Honsberger 1995,pp。)。这四个角平分线一个四边形相交相邻的平分线在四concyclic点(Honsberger 1995,35页)。任何异己分子,相交四边形瓷砖飞机。有六个距离之间的关系,这四个点之间的四边形(1972年Weinberg):(10)这可能是最简单的派生通过设置的左侧Cayley-Menger行列式(11)等于0(对应于一个四面体卷0),从而使之间的关系距离顶点之间的平面四边形(Uspensky 1948,p . 1948)。是一种特殊的四边形循环四边形,一个圆可以限制,触动每一个多边形顶点。另一个特殊类型切向四边形,一个圆圈,镌刻每条边切线。一个四边形,循环和切向被称为双心的四边形.参见:磁盘覆盖问题给定一个单位圆,找到最小的半径所需平等的磁盘完全覆盖单位圆。最初几个这样的值(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)在这里,值8 9 10是由锥盘近似利用计算机实验获得的值(1962)。对于一个对称的安排(即5个磁盘问题),在那里是黄金比例。然而,而令人惊讶的是,半径可以稍微减少一般磁盘覆盖问题,对称性不是必需的,上面说明了这个配置(Friedman)。内维尔(1915)表明,价值等于,在那里和是解决方案(11)(12)(13)(14)这些解决方案可以找到完全一样(15)(16)在哪里(17)(18)是最小的积极的给定的多项式的根,表示的多项式的根订购的Wolfram语言。这给了(OEISA133077)完全一样(19)在上面的根是最小的积极多项式。也给出了,在那里是世界上最大的真正根源(20)最大化所有、受约束(21)(22)和(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(Bezdek 1983,1983)。让是最小的数量磁盘的半径需要盖一个磁盘,之比的极限区域的到区域磁盘是由(30)(OEISA0860891939年,创作1939年,Verblunsky)。参见:球面多边形一个封闭的几何图形表面上的球形成的是哪一个弧的大圈。球面多边形的泛化球面三角形。如果的总和吗弧度角球面上的多边形球的半径,那么区域是参见:蜂窝的常规的镶嵌组成的常规六边形(即。,一个六角网格).在一般情况下,蜂窝一词用来指镶嵌在尺寸为。在三维空间中唯一普通蜂窝,它由八个方块的会议多面体的顶点。唯一quasiregular蜂窝(与普通细胞和半正则顶点数据)每多面体的顶点周围八个四面体和六个正八面体并表示.球和Coxeter(1987)使用术语“海绵”固体可以参数化的整数,满足的方程可能的海绵是,.有许多半正则蜂窝,等中,每个多面体的顶点包括两个正八面体和四个cuboctahedra.参见:常规镶嵌考虑一个二维的镶嵌常规的-gons在每个多边形顶点。在飞机,(1)(2)所以镶嵌一个瓷砖的常规的多边形(二维)多面体(三维),或多面体(维度)称为镶嵌。镶嵌可以指定使用Schlafli象征.自我的分手相交多边形为简单多边形也被称为镶嵌(吸引et al . 1999),或者更正确,多边形镶嵌.具体有三个常规的镶嵌普通多边形组成的对称铺瓷砖。镶嵌平面上的两个或两个以上的凸定期多边形这样相同的多边形在同一顺序环绕多边形顶点被称为半正则镶嵌,或者有时阿基米德镶嵌。在平面上,有八个这样的镶嵌,说明以上(威廉姆斯Ghyka 1977年,页76 - 78;1979年,页。37-41;Steinhaus指出1999年,页78 - 82,威尔斯1991年,页226 - 227)。有14demiregular(或变形)镶嵌的有序组合的三个规律和八个半正则镶嵌(Critchlow 1970年,第67 - 62页;Ghyka 1977年,页78 - 80,威廉姆斯1979,p。43;Steinhaus指出1999年,页。79年和81 - 82年)。在三维空间中,a多面体能够