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河南农业大学20092010学年第一学期线性代数（工科）考试试卷（A卷）题号一二三四总分分数 得分评卷人一、 判断下列命题，对的在括号内打，错的打（每小题2分，共20分）（ ）1若阶方阵可逆，则可逆，且 （ ）2若阶方阵的秩，则其伴随矩阵（ ）3初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵也都是可逆矩阵 （ ）4若维向量线性无关，线性无关，则也线性无关 （ ）5若是的基础解系，则也是其基础解系（ ）6实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的（ ）7实对称矩阵一定与对角矩阵相似 （ ）8若阶方阵满足，则（ ）9非齐次线性方程组有惟一解时，方程的个数必等于未知量的个数（ ）10阶实对称矩阵合同的充要条件是有相同的秩得分评卷人二、填空题（每空2分，共20分）1若是五阶行列式中带有负号的一项，则 2设为3阶方阵，且，则 33阶方阵的特征值为，则的特征值为 ， 4向量，的内积 5若二次型正定，则满足 6二次型的秩为 ，符号差为 7设为4阶方阵，且各行元素之和都是，则必有一个特征值为 ，必有特征向量为 院、部 班 级 姓名 学号 课头号 座号 密线得分评卷人三、计算题（每小题8分，共48分）1求三阶行列式2讨论向量组的线性相关性3求矩阵的逆矩阵4求非齐次线性方程组的通解 5用正交变换将二次型化为标准形（要求写出正交变换矩阵）6设矩阵，且，求的值及矩阵的特征值得分评卷人四、证明题（每小题6分，共12分）1设阶方阵满足：，证明：可逆2 设是阶正交矩阵，且，证明：一定有特征值河南农业大学20092010学年第一学期 线性代数 （工科）参考答案（A卷）一、判断题（每小题2分，共20分）题号12345678910对错二、填空题（每空2分，共20分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 3 1 7. 4 三、计算题（每小题8分，共48分）1. 解： 2. 解： 故向量组线性相关 .解：由于 则 .解：由于则从而原方程组有无穷多解 令可得特解为：取为自由未知量，令，可得导出组的基础解系为： 故原方程组的通解为： .解：二次型的矩阵为： 由得特征值为：当时，解得基础解系为：；当时，解得基础解系为：；当时，解得基础解系为： 将单位化即得正交矩阵为：即通过正交变换将二次型化为标准形： .解： 即 解得 有相同的特征值 由得： 即为的特征值 四、证明题（每小题6分，共12
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