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2 3 2抛物线的简单几何性质 1 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点叫做抛物线的焦点 直线叫做抛物线的准线 复习与巩固 你还知道抛物线的标准方程还有哪些不同的形式吗 2 抛物线的标准方程 x 0 y r 关于x轴对称 对称轴又叫抛物线的轴 讲授新课 1 范围 2 对称性 3 顶点 e 1 pf x0 p 2 通径的长度 2p 4 离心率 抛物线上的点m到焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 用e表示 5 焦半径 6 通径 其他各种形式类比可得 见下表 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的e 1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 p越大 开口越开阔 本质是成比例地放大 特别注意 例题讲解 例1 已知抛物线关于轴对称 它的顶点在坐标原点 并且过点m 求它的标准方程 想一想 方法探究 具体步骤有同学们给出 答案 变式练习 答 这时 直线与抛物线只有一个公共点 解得 于是 当且时 方程 有2个解 从而 方程组 有两个解 这时 直线与抛物线有2个公共点 由即 解得 于是 当时 方程没有实数解 从而方程组 没有解 这时 直线与抛物线没有公共点 综上可得 当时 直线与抛物线只有一个公共点 当时 直线与抛物线有两个公共点 当时 直线与抛物线没有公共点 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 相交 一个交点 计算判别式 总结 巩固与练习 1 过抛物线的焦点 作倾斜角为的直线 则被抛物线截得的弦长为 3 抛物线上的点到直线的距离的最小值是 16 下面是最近两年几个省份的高考试题 请同学们做一下看看你的实力吧 1 2009年山东卷 文 10 设斜率为2的直线过抛物线的焦点 且和轴交于点若的面积为4 则抛物线方程为 a 高考欣赏 a 3 2008年山东卷 理 22 如图 设抛物线方程为为直线上任意一点 过引抛物线的切线 切点分别为 1 求证 三点的横坐标成等差数列 2 已知当点的坐标为时 求此时抛物线的方程 3 是否存在点 使得点c关直线的对称点在抛物线上 其中 点c满足 为坐标原点
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