(最新)压缩后的：直角三角形(1)勾股定理.ppt

勾股定理与它的逆定理的证明 1 反证法 用反证法证题的一般步骤 1 假设 先假设命题的结论不成立 2 归谬 从这个假设出发 应用正确的推论方法 得出与定义 公理 已证定理或已知条件相矛盾的结果 3 结论 由矛盾的结果判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 你可要结识 反证法 这个新朋友噢 反证法是一种重要的数学证明方法 在解决某些问题时常常会有出人意料的作用 2 等边三角形的判定 定理1 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 定理2 三个角都相等的三角形是等边三角形 定义 三个角边都相等的三角形是等边三角形 3 直角三角形的性质 定理1 在直角三角形中 如果有一个锐角等于300 那么它所对的直角边等于斜边的一半 如何证明 线段的倍 分 问题 D B G A F H E D C 直角三角形的一个角等于30度 斜边长为4 用四个这样的直角三角形拼成如图所示的图案 求正方形EFGH的边长 4 2 2 练习 课本13页第2题 解 BC AC A 300 AB 10m 已知 BC AB 2 10 2 5 又 CB1 AB BCB1 900 600 300 BB1 BC 2 5 2 2 5 AB1 AB BB1 10 2 5 7 5 B1C1 AB1 2 7 5 2 3 75 练习 课本21页第2题 A C B E 30m xm 1 52m 3 解 DE CB 垂足为E A 30 DE CA 30m 2x x 30 设BE xm 根据题意可得 DB 2xm D 3x 900 x 300 练习 课本22页第3题 定理2 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么它所对的锐角等于300 直角三角形的性质定理的逆定理 1 如图 1 四边形ABCD是一张正方形纸片 E F分别是AB CD的中点 沿着过点D的折痕将A角翻折 使得A落在EF上 折痕交AE于点G 那么 ADG等于多少度 你能证明你的结论吗 3 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 反之 在一个三角形中 当两边的平方和等于第三边的平方时 这个三角形是直角三角形 你能证明吗 如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 已知 如图 1 在 ABC中 AC2 BC2 AB2 求证 ABC是直角三角形 方法一 度量法 方法二 证明 分析 由边的关系推出角是90度 是不容易的 如果能借助于 ABC与一个直角三角形全等 导出 A 90 即可 逆定理的证明 证明 作Rt A B C 使 C 900 A C AC B C BC 如图 则 已知 如图 1 在 ABC中 AC2 BC2 AB2 求证 ABC是直角三角形 A C 2 B C 2 A B 2 勾股定理 AC2 BC2 AB2 已知 A C AC B C BC 作图 AB2 A B 2 等式性质 AB A B 等式性质 ABC A B C SSS A A 900 全等三角形的对应边 ABC是直角三角形 直角三角形定义 4 勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 这是判定直角三角形的根据之一 在 ABC中 AC2 BC2 AB2 已知 ABC是直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 应用1 下列选项的各组数中 能构成的是直角三角形的三边 A0 3 0 4 0 5B6 7 8C15 20 30D6 11 21 点评 先去掉D答案 再利用两条较短边的平方和能否等于最长边的平方 验一次即可 证明 BD CD BC 10cm 已知 BD 5cm 等式性质 AD2 BD2 122 52 169 AB2 D 在 ABD中 ABC是直角三角形 AB AC 等式性质 应用2课本21页第1题 在 ABC中 AB 13cm BC 10cm BC边上的中线AD 12cm 求证AB AC 13 12 5 BD CD 应用3课本22页第4题 有一块三角形空地 它的三边分别长45m 60m 70m 已知60m长的边线为南北向 是否有一条边线为东西向 60m 又 45 60 70 所以没有一条边线为东西向 这三条边不能组成直角三角形 所以没有一条边线与60米的线垂直 4 命题与逆命题 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 观察上面两个命题 它们的条件与结论之间有怎样的关系 与同伴交流 命题与逆命题 如果两个角是对顶角 那么它们相等 如果两个角相等 那么它们是对顶角 如果小明患了肺炎 那么他一定会发烧 如果小明发烧 那么他一定患了肺炎 三角形中相等的边所对的角相等 三角形中相等的角所对的边相等 再观察下面三组命题的条件和结论之间也有类似的关系吗 与同伴进行交流 命题与逆命题 在两个命题中 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么这两个命题称为互逆命题 其中一个命题称为另一个命题的逆命题 你能写出命题 如果两个有理数相等 那么它们的平方相等 的逆命题吗 它们都是真命题吗 想一想 一个命题是真命题 它逆命题是真命题还是假命题 定理与逆定理 一个命题是真命题 它逆命题却不一定是真命题 我们已经学习了一些互逆的定理 如 勾股定理及其逆定理 两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直线平行 想一想 互逆命题与互逆定理有何关系 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它是一个定理 这两个定理称为互逆定理 其中一个定理称另一个定理的逆定理 说出下列命题的逆命题 并判断每对命题的真假 四边形是多边形 两直线平行 同旁内角互补 如果ab 0 那么a 0 b 0 应用2课本18页第1题 5 直角三角形的全等 一般三角形全等证明方法 1 边边边简称 SSS 2 两边夹角简称 SAS 3 两角夹边简称 ASA 4 两角及对边简称 AAS 问题 边边角 SSA 如果其中一边所对的角是直角呢 HL 定理 在两个直角三角形中 直角所对的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 应用格式 在RT ABC和RT DEF中 B E 90 AB DE AC DF RT ABC RT DEF HL 1 用三角尺作角平分线 再过点M作OA的垂线 垂足为M 如图 在已知 AOB的两边OA OB上分别取点M N 使OM ON 过点N作OB的垂线 垂足为N 两垂线交于点P 那么射线OP就是 AOB的平分线 请你证明OP平分 AOB P 先把它转化为一个纯数学问题 做射线OP 做一做 课本23页 已知 AOB中 M N为OA OB边上的点 且OM ON PM OA PN OB 求证 OP平分 AOB 证明 在Rt MOP与Rt NOP中 Rt MOP Rt NOP OEP OFP 90 OM ON OP OP HL 应用2 课本23页议一议 已知 ACB DBA 90 添加什么条件使得 ABC BAD 添加AC DB或AD BC O 添加OA OB或OC OD 添加 CAB DBA CBA DAB HL AAS 练一练 课本24页 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等两条直角边对应相等的两个直角三角形全等一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 判断下列命题的真假 并说明理由 课本24页知识技能1 1 已知 如图 D是 ABC的BC边上的中点 DE AC DF AB 垂足分别为E F 且DE DF 求证 ABC是等腰三角形 分析 要证明 ABC是等腰三角形 就需要证明AB AC 进而需要证明 B C所在的 BDF CDE 而 BDF CDE的条件 从而需要证明 B C BD CD DF DE均为已知 因此 ABC是等腰三角形可证 老师期望 请将证明过程规范化书写出来 课本24页第2题 2 已知 如图 AB CD DE AC BF AC 垂足分别为E F DE BF 求证 1 AE AF 2 AB CD C 25页联系拓广3 在三角形ABC中 C 90 B 30 按如下方法可把这个三角形分成三个全等的小三角形先将B对折到点A 再沿AD对折 1 第一次对折可得到那些等量关系 2 证明 ACD AED 3 上述方法能否将任意直角三角形分成三个全等的三角形 课本22页第5题 3 如图 正四棱柱的底面边长为5cm 侧棱长为8cm 一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物 那么它需要爬行的最短路径是多少 解 如下图 将四棱柱的侧面展开 连结AC1 AC 10cm CC1 8cm 已知 提示 对于空间图形需要动手操作 将其转化为平面图形来解决 答 蚂蚁需要爬行的最短路径是cm 梦想成真 1 如图 单位 英尺 在一个长方体的房间里 一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处 苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处 试问 蜘蛛为了捕获苍蝇 需要爬行的最短距离是多少 练一练 在等腰三角形ABC中 ACB 90 直线DE经过点C AD DE BE DE 垂足为D E 求证 AD CE 小结 1 直角三角形全等判定 HL 2 命题的真假如何判定 回味无穷 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理 pythagorastheorem 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 命题与逆命题在两个命题中 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么这两个命题称为互逆命题 其中一个命题称为另一个命题的逆命题 定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它是一个定理 这两个定理称为互逆定理 其中一个定