(初中二年级数学)勾股定理证法.pdf

勾股定理证法 勾股定理 是一个历史悠久而重要的定理 是代数方法解答几何 问题的工具之一 各大文明古国均有勾股定理的应用记载 在中国勾 股定理又称 商高定理 在西方 又称 毕达哥拉斯定理 勾股定 理形式简洁 自古吸引了众多数学家 数学爱好者 甚至总统的研究 论证 据说到目前为止 证法有 400 种之多 初中二年级开始学习勾股定理 开始了数学上数形结合思想的认 识 为后续的函数等内容作基础 以下列举初二学生常见的几种证法 可供课余了解 加深对勾股定理的认识 证法 1 做 8 个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b 斜 边长为 c 再做三个边长分别为 a b c 的正方形 把它们像上图那 样拼成两个正方形 从图上可以看到 这两个正方形的边长都是 a b 所以面积相等 即 得 b ab a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a abcabba 2 1 4 2 1 4 222 222 cba 证法 2 以 a b 为直角边 以 c 为斜边做四个全等的直角三角形 则每个直 角三角形的面积等于 把这四个直角三角形拼成如图所示形状 使 A E B 三点在一条直线上 B F C 三点在一条直线上 C G D 三点在一条直线上 Rt HAE Rt EBF AHE BEF AEH AHE 90 AEH BEF 90 HEF 180 90 90 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形 它的面积等于 c2 Rt GDH Rt HAE HGD EHA HGD GHD 90 EHA GHD 90 又 GHE 90 DHA 90 90 180 ABCD 是一个边长为 a b 的正方形 它的面积等于 ab 2 1 2ba DG C F A H E B a b c a b c a b c a b c 2 2 2 1 4cabba 222 cba 证法 3 以 a b 为直角边 b a 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形 则每个直角三角形的面积等于 把这四个直角三角形拼成如图 所示形状 Rt DAH Rt ABE HDA EAB HAD HAD 90 EAB HAD 90 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 它的面积等于 c2 EF FG GH HE b a HEF 90 EFGH 是一个边长为 b a 的正方形 它的面积等于 ab 2 1 2ab b a c G D A C B F EH 2 2 2 1 4cabab 222 cba a ba b c c AB C D E 证法 4 以 a b 为直角边 以 c 为斜边作两个全等的直角三角形 则每个直 角三角形的面积等于 把这两个直角三角形拼成如图所示形状 使 A E B 三点在一条直线上 Rt EAD Rt CBE ADE BEC AED ADE 90 AED BEC 90 DEC 180 90 90 DEC 是一个等腰直角三角形 它的面积等于 又 DAE 90 EBC 90 AD BC ABCD 是一个直角梯形 它的面积等于 ab 2 1 2 2 1 c 2 2 1 ba 2 2 2 1 2 1 2 2 1 cabba 222 cba P H G F E D C BA a b c a b c ab c a b c 证法 5 做四个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b 斜 边长为 c 把它们拼成如图那样的一个多边形 使 D E F 在一条直 线上 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P D E F 在一条直线上 且 Rt GEF Rt EBD EGF BED EGF GEF 90 BED GEF 90 BEG 180 90 90 又 AB BE EG GA c ABEG 是一个边长为 c 的正方形 ABC CBE 90 Rt ABC Rt EBD ABC EBD EBD CBE 90 即 CBD 90 又 BDE 90 BCP 90 BC BD a BDPC 是一个边长为 a 的正方形同理 HPFG 是一个边长为 b 的正方 形设多边形 GHCBE 的面积为 S 则 得 2 1 2 2 2 ab S b a abSc 2 1 2 2 222 cba 证法 6 做三个边长分别为 a b c 的正方形 把它们拼成如图所示形状 使 H C B 三点在一条直线上 连结 BF CD 过 C 作 CL DE 交 AB 于点 M 交 DE 于点 L AF AC AB AD FAB GAD FAB GAD FAB 的面积等于 GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半 矩形 ADLM 的面积 同理可证 矩形 MLEB 的面积 正方形 ADEB 的面积 矩形 ADLM 的面积 矩形 MLEB 的面积 即 2 a 2 b 222 bac 222 cba c b a c b a AB C D E F G H M L K 2 2 1 a 证法 7 应用相似三角形 证法简洁 如图 在 Rt ABC 中 设直角边 AC BC 的长度分别为 a b 斜边 AB 的长为 c 过点 C 作 CD AB 垂足是 D 在 ADC 和 ACB 中 ADC ACB 90 CAD BAC ADC ACB AD AC AC AB 即 同理可证 CDB ACB 从而有 即 ABADAC 2 ABBDBC 2 222 ABABDBADBCAC 222 cba ABD C a c b 证法 8 应用相似三角形 发证法 如图 在 Rt ABC 中 设直角边 AC BC 的长度分别为 a b 斜边 AB 的长为 c 过点 C 作 CD AB 垂足是 D 假设 即假设 则由 可知 或者 即 AD AC AC AB 或者 BD BC BC AB 在 ADC 和 ACB 中 A A 若 AD AC AC AB 则 ADC ACB 在 CDB 和 ACB 中 B B 若 BD BC BC AB 则 CDB ACB 又 ACB 90 AD