2006年全国高中数学联赛江苏赛区复赛.pdf

中 等 数 学 2 0 0 6年全国高中数学联赛江苏赛 区复赛 第 一 试 一 选择题 每小题 6分 共 3 6分 1 若 一2 l 1 I l 似 一1 l 2对 R恒成立 则实数 口的个数为 A 0 B I c 2 D 无数个 2 已知 A B C 内接 于单 位 圆 则长 为 咖 A s i n B s i n C的三条线段 A 能构成一个三角形 其 面积大于 1 A B C面积的去 二 B 能构成一个三角形 其面积等于 1 A B C面积的去 二 C 能构成一个 三角形 其面积小于 A B C面积的去 D 不一定能构成三角形 3 已 知 a J9 0 号 且 s l 2 a c 0 s a J9 则 a与 一定满足 A a卢 c a J9 吾 D a 吾 4 设 口 n 凡 2 n 1 2 贝 q 在 数列 口 中 A 有无穷多个质数 B 有且只有有限多个质数 C 有无穷多个平方数 t LA e D LE 2 又 A D B B F E A B D E 所以 A B DC O B E F t 1 肋E F 2 即 E F 2 肋 故 2 B D A A E A C C E 5 A C 证法 2 在 m A B C中 因为 B C 2 A C 所以 A B A C 2 B C 2 A C 2 2 A C 2 A C 作 D E 上衄 垂足为 因 A D平分 B A C 所以 DE DC B C一肋 2 A C一肋 又 c 有 D E B D 即 2 A C一 一 Ac 一 Ac 解得 B D 5 A C 故 A B 2 肋 4 5 A C 2 5 A C 5 A C 1 5 设青 蛙依次到达 的点为 瞄 X l 1 整个过程跳过的路径的长度为 S I 一 I I 一恐 I I 0 0 6 一 I 对于每一个点 五 进出各一次 所以 置 在上式 中出现 2 次 另一方面 上式中每一个被加项 I 置 一置 I 在 展开时 大者取 号 小者取 一 号 所以 整个式 子在展开计算时 取 号之点和取 一 之点各有 2 0 0 6个 假定称 1 2 1 0 0 B 为上半区 1 0 0 4 1 0 0 5 2 0 0 6 为下半区 如果使上半区各点在计算过程 中两次均取 一 号 下半区各点两次均取 号 于 是 有 S 2 1 0 0 4 1 0 0 5 2 0 0 6 一 2 1 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 事实上 只要每次跳动都是从上半区跳到下半 区 或从下半区跳到上半区 则上半区各点将取 一 号 下半区各点将取 号 显然这样的跳动方案有 很多 这一过程所跳过的路径长度恰为 2 l 0 0 3 2 所以 青蛙所能跳过的全部路径的最大长度是 2 1 0 0 B 2 李耀文提供 维普资讯 2 O O 7年第 2 期 D 有且只有有限多个平方数 5 若 口 b C N 且 2 9口 3 0b 31 C 3 6 6 则 口 b C A 1 0 B 1 2 C l 4 D l 6 6 小明与小华做游戏 记分规则如下 开 始每人记分牌上都是 1 分 以后每赢一次 就 将自己的记分牌上的分数乘以 3 游戏结束 后 小明的得分减去小华的得分恰好为 6 7 5 的正整数倍 则小明至少比小华多赢 次 A 1 5 B 2 o C 2 5 D 3 0 二 填空题 每小题 9 分 共 5 4分 7 不等式 一 2 一 2 一 3 0的解 集是 8 若直线 Y 是曲线Y 一 3 x 的切线 则实数 P的值为 9 已知函数 f 3 x一 1 1 1 2 3 若函数 Y g 的图像与 函数 Y 厂 1 的 图像关 于 直线 Y 对称 则 g 1 1 的值是 1 0 四面体 A B C D中 A B C D 6 A C A D B C B D 5 则内切球半径 r 的值是 1 1 已 知口 o 詈 则s in 口 一 2 s in a 的最大值为 1 2 集合 1 1 2 1 2 4 1 中删除一个元 素 后 余下元素的乘积恰好是完全平 方数 三 解答题 每小题 2 o分 共 6 0分 1 3 已知函数 厂 一 2 x 4 令 N 若 不 等 式 蚤 恒 成 立 求 实 数 的 取值范围 1 4 已知点 A 口 b 抛物线 C Y 2 p x 口 O b O 口 2 p 过点 A作直线z 交抛物线 c于点P Q 如果 以线段 P Q为直径的圆过抛物线 C的顶 点 求直线 Z 的方程 1 5 已知正方体 A B C D Al Bl Cl Dl 的棱 长为 1 E F分别是棱A B B C上的动点 且 A E B F 求直线 A E与 C F所成角的最小 值 用反三角 函数表示 加试 一 5 0 分 已知四边形 A B C D是圆内接 四边形 直线 A C 肋 相交于点 P 并且 面 CB 设 E为A c的中点 求证 二 5 O分 设 口 b C为正 数 记 d为 口一6 b c 2 C 一口 中的最 J 数 1 求证 存在 O s i n a s i n l9 得 s i n a s i n l9 故 a l9 又 a 号 时 3 嘲 号 一 l9 詈 即 fl 2 所 以 一定是合数 从而排除选项 A B 又因当 n 2时 n 2 n 2 n 2 1 2 2 r I 1 n 1 故只有当 n 1 时 n 是完全平方数 5 B 由2 9 a 3 0 b 3 1 c 3 6 6 n b c N 得 2 9 n b c 3 6 6 3 1 n b c 所 以 1 1 n b c 1 3 6 B 设小明赢了 m次 小华赢了 n次 由题设得 3 一3 6 7 5 k k N 即3 3 一 一1 3 5 j 故 3 一 一1 是 2 5 的倍数 则 ra i n m n 2 0 二 7 一1 U 3 由 一2 x一3 x 1 一3 O 得 3或 一1 3 满足不等式 当 一1 时 只有 一I 满足不等式 8 1 或 孚 设切点为 r n m 则由切点在该曲线上得 m m 一 3 m 矾 从而 lrn满足 m 0 或I n 2 3 m P 1 又切线 Y x 的斜率为 1 在曲线上切点处的斜 率亦为 1 故 1 3 m2 6 m P 联立式 解得 P 1 联立式 解得 p 1 3 m 导 9 3 Y 厂 的图像 向左移一个 单位 得 Y 厂 1 的图像 Y 的图像与 Y 厂 的 图像关于直线 对称 厂 1 的图像与 Y g 的图像也关于直线 Y 对称 所 以 Y 的图像向下平移一个单位得 Y g 的图像 即 g 一1 所 以 g 1 1 1 1 一 1 需 一 1 导 1 0 警 设 C D的中点为E 在 A B E中 AE B E r二 4 EH 所以 B E h 且 也是四面 体A B e D的高 又 四 面 体 的 四 个 面 相 等 故 r h 警 1 1 因为 s i n a一 l9 2 s i n a l9 3 s i n a c 0 8 c 0 8 a s i n 由柯西不等式得 上式 丽而 在 号 a 时 s i n a一 2 s i n a 取最大值 1 2 1 2 1 由 2 k 2 k 2 k 一1 乘积可化为 2 4 2 3 1 2 2 2 1 1 4 3 1 2 2 5 2 3 1 2 1 1 3 1 1 2 1 故删除元素 1 2 1 三 13 因 一 2 1 n 1 1 4 n 3 n l 由 妥 a a l 得 维普资讯 2 O O 7 年第 2 期 3 l n 一 o 显然 0 O 1 当 no 则 O n O 矛盾 所以 d0时 因为 d I 0 由式 n 随 n增大而减少 当 n 1 时 1 取 最 大 值 导 故 n 5 1 4 如果直线 z 过原点 显然满足要求 此时方 程为 如果直线 z 不过原点 设其方程为 m r一6 d 又设 P y 1 Q 2 y 2 则 D P 上0 Q 甘 l 2 l y 2 0 因为 y 2 l 2 2 所以 l y 2 一 4 p 由 方 程 组 m 一 消 去 得 由 方 程 组 消 去 得 厂 2 一 2 2 p l 6 一d 0 由韦达定理得 l y 2 2 p l 6一d 一4 p 所以 m 故所求方程为 如一 a一2 p 一2 0 由于 一 4 p O 所以 一2 p d一6 r 1 0 即方程 的常数项为负 从而 判别式大于 0 方程 一定 有解 y 2 故方程 符合题意 1 5 解 法 1 如 图 1 延长 D c到点 G 使 得C O 他 联 结 C G F G 由题 意知 I C I G A l E 到 c F所 成 的 角 等 于 F C G 图 l 令 衄 C G O 1 则有 C F 1 一 c l G 厢 C F F G 两 在 C F G中 由余弦定理得 c o s G 务 一 一 一 2 i j 1 1 1 1 一 F C G取得最小值就是 o 0 s F C G取得最大 值 亦即 s 1 1 1 一 取得最小值 利用等式 1 d 2 1 b 1 一n 6 d 6 得 s 1 一 1 一 1 一 x 2 x 一 丢 寻 所以 当 时 s 取得最小值 因此 c 0 s G 了 4 即 V 一 L F C l G a 删 4 故A E 与C F 所 成的 最小角 为a 删 4 此 时 分别为棱船 B C的中点 解法 2 前面同上 得到 s 1 1 1 一 则 2 x 2 一1 2 2 x一1 一X X一1 一1 2 2 x一1 一 1 令 S 0 得 去 所以 当 时 s 取最小值 以下与解法 1 同 加试 一 由托勒密定理得 4 B C D A D B C A C 1 1 0 因 仙 c D A D B C 肛 E C 所 以 2 4 B CD 2 A E 1 1 1 2 EC B D 即 4 B C D 肛 B D EC B D 在 C 与 x 砌中 因为 A B D EC D A B C D E C B D 所以 x C I X脚 从而 C E D 髓I z 维普资讯 3 2 中 等 数 学 同理 A E B D C B 则 A E B D C B 1 8 o 一 B A D 1 8 o 一 C E D A E D 即 E P平分 B E D 因此 由角平分线定理侍两B P 二 1 由 d的定义知 d 口一6 d b c d c o 将这三个不等式相加得 3 d 口一6 b c c 一口 2 a 2 b C 2 一2 o 3 2 b c 一2 c a 2 b c o 且 d b c 故 5 d一 口 b C 2 5 b c 一 a 2 b C 2 5 b c 一 2 b c 一6 一C 2 一66 c 3 c 2 O 所 以 若 b 则 a 2 b 且 d 口 一6 故 5 d 一 a 2 b c 5 口一6 一 a 2 b C 2 4 a 2 一l O a b 4 6 一c 2 2 口一2 b 2 a b 一c 2 O 此 时 也 有 为 证 明 取 6 字 则 d 旦 此时 有 C2 a 2 C 2 字 n c 3 a c 5 d 3 a c 由 此 可 见 对于 任意 正 数 2 b c 2 了 1 一 n 2 一 n c 所 以 只 要c n 与已知条件相违 因此 必有一个 A 不含 口 不妨设 n A 若含 的集合大于或等于 5 个 那么 由已知条件得知 A 与这 5 个集合各有一 个公共元 此元当然不等于 n 而且这 5个元互不 相同 若相同 则这个公共元是 2 个含 n的集合的公 共元 于是 这两个集合就有 2个公共元 又与已知 条件相违 从而 C a r d A 5 矛盾 所以 含 口的集 合小于或等于 4 个 另一方面 因为 C a r d Al C a r d A 2 C a r d A 4n 所以 每个元恰好属于 4 个集合 不妨设含有元 6的集合为A A A A 由上 述的结论可知 C a I d A l UA 2 UA 3 UA 3 4 1 1 3 如果 n 1 3 那么 存在元 c A U A UA U A 设含 c的集合为A 5 则 A 5不是 A I A 2 A 3 A 因而 不含 b 而 A 与 A A A A 各有一个公共 元 当然不是