2009年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学)(安徽卷).pdf

1 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 数学 理科 试题数学 理科 试题 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 II 卷 3 至 4 页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意事项 1 答题前 务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的姓名 座位号 并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中姓名 座位号与本人姓名 座位号是否一致 务必在答题卡背面规 定的地方填写姓名和座位号后两位 2 答第 I 卷时 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动 用橡皮檫干净后 在选涂其他答案标号 3 答第 II 卷时 必须用直径 0 5 毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写 要求字体工整 笔 迹清晰 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出 确认后在用 0 5 毫米的黑色墨色签 字笔清楚 必须在标号所指示的答题区域作答 超出答题卡区域书写的答案无效 在试题 卷 草稿纸上答题无效 4 考试结束 务必将试题卷和答题卡一并上交 参考公式 S 表示底面积 h 表示底面的高 如果事件 A B 互斥 那么棱柱体积VSh P A B P A P B 棱锥体积 1 3 VSh 第 I 卷 选择题共 50 分 一 选择题 本大题 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 i 是虚数单位 若1 7 2 i abi a bR i 则乘积ab的值是 B A 15 B 3 C 3 D 15 2 若集合 21 21 3 0 3 x AxxBx x 则 A B 是 D A 1 123 2 xxx 或 B 23xx C 1 2 2 xx D 1 1 2 xx 1 q 10 x f xaba 的图像不过第二象限 C p x 1 q 2 xx D p a 1 q log 10 a f xxa 在 0 上为增函数 5 已知 n a为等差数列 1 a 3 a 5 a 105 246 aaa 99 以 n S表示 n a的前n项和 则使得 n S达到最大值的n是 B A 21 B 20 C 19 D 18 6 设a b 函数 2 yxaxb 的图像可能是 C 7 若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4 3 ykx 分为面积相等的两部分 则 k的值是 A A 7 3 B 3 7 C 4 3 D 3 4 8 已知函数 3sincos 0 f xxx yf x 的图像与直线2y 的两个相邻交 点的距离等于 则 f x的单调区间是 C A 5 1212 kkkZ B 511 1212 kkkZ C 36 kkkZ D 2 63 kkkZ 9 已知函数 f x在 R 上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程是 A A 21yx B yx C 32yx D 23yx 10 考察正方体 6 个面的中心 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙也从这 6 个点 中任意选两个点连成直线 则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 D A 1 75 B 2 75 C 3 75 D 4 75 3 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 5 5 分 共分 共 25252525 分 把答案填在答题卡的相应位置 分 把答案填在答题卡的相应位置 11 若随机变量X 2 则 P X 解答 1 2 12 以直角坐标系的原点为极点 x轴的正半轴为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单 位 已知直线的极坐标方程为 4 R 它与曲线 12cos 22sin x y 为参数 相交 于两点 A 和 B 则 AB 解答 14 13 程序框图 即算法流程图 如图所示 其输出结果是 解答 127 14 给定两个长度为 1 的平面向量OA uuu r 和OB uuu r 它们的夹角为120o 如图 所示 点 C 在以 O 为圆心的圆弧上变动 若 OCxOAyOB uuu ruuu ruuu r 其中 x yR 则xy 的最大值是 解答 2 15 对于四面体 ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 1相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面 2由顶点 A 作四面体的高 其垂足是 BCD 的三条高线的交点 3若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高 则这两条高所在的直线异面 4分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 5 最长棱必有某个端点 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 解答 1 4 5 4 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 6 6 小题 共小题 共 75757575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解解 答写在答题卡的指定区域内 答写在答题卡的指定区域内 16 本小题满分 本小题满分 12121212分 分 在 ABC 中 sin C A 1 sinB 1 3 I 求 sinA 的值 II 设 AC 6 求 ABC 的面积 16 本小题主要考查三角恒等变换 正弦定理 解三角形等有关知识 考查运算求解能力 本小题满分本小题满分 12121212 分分 解 I 由sin 1 CACA 知 2 CA 又 ABC 所以2 2 AB 即2 0 24 ABA 讨论 f x的单调性 19 本小题主要考查函数的定义域 利用导数等知识研究函数的单调性 考查分类讨论的思 想方法和运算求解的能力 本小题满分 12 分 解 f x的定义域是 0 2 22 22 1 axax fx xxx 设 2 2g xxax 二次方程 0g x 的判别式 2 8a 1当 2 80 0aa 即02 2a 都有 0fx 此时 f x在 0 上是增函数 2当 2 80 0aa 即2 2a 时 仅对2x 有 0fx 对其余的0 x 都有 0fx 此时 f x在 0 上也是增函数 3当 2 80 0aa 即2 2a 时 方程 0g x 有两个不同的实根 2 1 8 2 aa x 2 2 8 2 aa x 12 0 xx 上 00 cos sin 0 2 xayb 直线 2 l与直线 00 1 22 1 xy lxy ab 垂直 O 为坐标原点 直线 OP 的倾斜角为 直线 2 l的倾斜角 为 I 证明 点P是椭圆 22 22 1 xy ab 与直线 1 l的唯一交点 II 证明 tan tan tan 构成等比数列 20 本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程 直线和曲线的几何性质 等比数 列等基础知识 考查综合运用知识分析问题 解决问题的能力 本小题满分 13 分 解 I 方法一 由 00 22 1 xy xy ab 得 2 2 0 2 0 b yax x a y 代入椭圆 22 22 1 xy ab 得 2222 2 00 24222 000 21 1 0 b xb xb xx aa ya yy 将 0 0 cos sin xa yb 代入上式 得 222 2 coscos0 xaxa 从而cos xa 因此 方程组 22 22 00 22 1 1 xy ab xy xy ab 有唯一解 0 0 xx yy 即直线 1 l与椭圆有唯一交点P 方法二 显然 P 是椭圆与 1 l的交点 若 Q 111 cos sin 02ab 求 1 a的取值范围 21 本小题主要考查数列 数学归纳法和不等式的有关知识 考查推理论证 抽象概括 运算求解和探究能力 考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野 本小题满分 13 分 解 I 已知 1 a是奇数 假设21 k am 是奇数 其中m为正整数 则由递推关系得 2 1 3 1 1 4 k k a am m 是奇数 根据数学归纳法 对任何nN n a都是奇数 II 方法一 由 1 1 1 3 4 nnnn aaaa 知 1nn aa 当且仅当1 n a 另一方面 若01 k a 则 1 1 3 01 4 k a 则 2 1 33 3 4 k a 根据数学归纳法 11 01 01 33 nn aanNaanN 9 综合所述 对一切nN 都有 1nn aa 的充要条件是 1 01a 方法二 由 2 1 21 3 4 a