Mathematica软件的绘图功能在高等数学教学中应用示例.pdf

Mathematica 软件的绘图功能在高等数学教学 中应用示例 刘兴元 何宜军 邵阳学院 理学与信息科学系 湖南 邵阳 422400 摘要 Mathematica 软件是专门进行数学计算的软件 其精华在于符号式运算处理与绘图 在高等数学教 学中引入 Mathematica 软件的绘图功能进行辅助教学 有利于增强教学内容的直观性 激发学生的学习兴趣 提高 学生解决问题的能力 关 键 词 Mathematica 软件 高等数学 绘图 中图分类号 G434文献标识码 A 收稿日期 2008 09 02 作者简介 刘兴元 1 9 6 3 男 湖南邵阳县人 邵阳学院副教授 文章编号 1672 7010 2008 04 0041 04 Application of Mathematica Software Drawing in Advanced Mathematics Teaching LIUXing yuan HE Yi jun Department of Science and Information Technology Shaoyang University 422000 China Abstract Mathematica Software is a suit of specialty maths computation software and the elite of mathematica are the symbolic operation and drawing Mathematica software Drawing is introduced to assistant teaching in advanced mathematics teaching and it is useful tostrengthen intuitional instruction raise students interest in studyand improve students abilityofsettlingproblems Key words Mathematica Advanced Mathematics Drawing 1 问题的提出 随着现代教育技术的发展和教学改革的不断深 入 在高等数学教学过程中 根据教学内容 适时地 进行教学改革 引入现代化的教学手段 提高高等数 学的教学水平 增强学生学习数学的兴趣和解决问 题的能力 已势在必行 为此 在高等数学部分章节 的教学中 我们引入 Mathematica 软件进行辅助教 学 对于 Mathematica 软件而言 数值计算仅是雕虫 小技 它的精华在于符号式的运算处理与绘图 Mathematica 软件可以方便地绘制一元和二元函数的 图形 而且直观清晰 立体感强 质量非常好 将 Mathematica 软件与高等数学教学有机的结合起来 有利于促进教学改革 加强学生对所学知识的理解 提高教学效果和教学质量 增强学生利用计算机解 决数学实际问题的能力 2 Mathematica 软件的绘图功能在高等教学 中的应用示例 图形能为重要的概念和关系提供洞察和形象的 表示 还可以揭示事物变化过程中的相互关系 在高 等数学教学中 描绘函数的图形是必不可少的内容 如一元函数微分学中函数的单调性 凹凸性研究 求 函数的单调区间 凹凸区间及函数图形的描绘等都 牵涉到函数的作图 如用传统的方法作图 既不准确 邵阳学院学报 自然科学版 Journal of Shaoyang University Natural Science Edition 第 5 卷第 4 期 2008 年 12 月 Vol 5 No 4 Dec 2008 也不直观 又浪费有限的教学时间 但若利用 Mathematica 软件来做图 既准确又快捷 特别是在空 间解析几何一章的教学中 要绘制空间曲线 空间曲 面的图形 及空间曲面所围成的空间区域的图形等 用手工作图是相当困难的 用 Mathematica 的绘图命 令可以快速做出其图形 借于直观图形可以帮助学 生加深对所学知识的理解 同时还可以激发学生的 学习兴趣 又如重积分及曲面积分的计算中 也要借 助于直观的几何图形来确定积分区域 下面以求空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 投 影 的 教 学 为 例 来 说 明 Mathematica 软件的绘图功能在高等数学教学中的应 用 我们都知道 设空间曲线 C 的一般方程为 F x y z 0 G x y z 0 1 从 1 中消去变量 z 所得的方程为 H x y 0 2 而 2 表示一个母线平行于 z 轴的柱面 这个柱 面必定包含曲线 C 以空间曲线 C 为准线 母线平行 于 z 轴 即垂直于 xoy 面 的柱面叫做曲线 C 关于 xoy 面的投影柱面 投影柱面与 xoy 面的交线叫做空 间曲线 C 在 xoy 面上的投影曲线 或简称为投影 故方程 2 必定包含投影柱面 而方程 H x y 0 z 0 3 所表示的曲线即是空间曲线 C 在 xoy 面上的投 影 同理 从方程组 1 中的消去变量 x 或变量 y 再 分别和 x 0 或 y 0 联立 我们就可以得到空间曲线 C 在 yoz 面上或 xoz 面上的投影的曲线方程 R y z 0 x 0 或 T x z 0 y 0 4 讲完上述内容及书中的例题后 发现学生对所 学的内容掌握不够 具体表现在本节的作业不能很 好地完成 在求重积分 求曲面的面积和求曲面积分 时 不能准确地确定积分区域 即空间图形的投影区 域 甚至出现错误 究其原因是学生缺乏空间想象 能力 对积分区域的确定原理和方法理解不够透彻 不能很好的绘制空间曲面 空间曲线与积分区域的 图形 鉴于此 我们引入 Mathematica 的软件 作出空 间曲面与空间曲线的图形 从直观上帮助学生理解 积分区域的确定方法 教学效果相当好 例 1 确定曲面 S1 z 3 2x2 y2和 S2 z x2 2y2的 交线 C 写出投影柱面方程和 C 在 xoy 面上的投影曲 线 及 S1 S2所围空间区域在 soy 上的投影区域 解 传统的教学中 解两个曲面方程组成的方程 组 消去变量 z 就得到投影柱面方程为 x2 y2 1 两 曲面的交线在 xoy 面上的投影曲线方程为 x2 y2 1 z 0 从而得到空间两曲面所围成的图形在 xoy 面上的投 影区域为 D x y x2 y2 1 但若要画出两曲面所围 成的空间图形 特别是确定两曲面的交线及画出交 线的图形并非易事 有的学生甚至会得出两曲面的 交线为圆形的错误结论 借助于 Mathematica 的绘图 功能 就能轻而易举地解决上述问题 在 Mathematica 的工作窗口中输入下列命令 g1 ParametricPlot3D r Cos u r Sin u 3 2r 2 Cos u 2 r 2 Sin u 2 r 0 1 u 0 2Pi DisplayFunction Identity g2 ParametricPlot3D r Cos u r Sin u r 2 Cos u 2 2r 2 Sin u 2 r 0 1 u 0 2Pi DisplayFunction Identity Show g1 g2 ViewPoint 1 1 1 DisplayFunction DisplayFunction 并运行就得到两曲面所围成的空间图形 如图 1 a 在 Mathematica 的工作窗口中接着输入命令 Shadow XShadow False YShadow False ZShadowP0sition 1 并运行就能得到两曲面所围成的空间图形在 xoy 面上投影区域 见图 1 b 它就是以空间两曲 面的交线 C 为准线的投影柱面 x2 y2 1 与 xoy 面的 交线 投影 x2 y2 1 z 0 在 xoy 面上所围的部分 x2 y2 1 在 Mathematica 的工作窗口中再输入命令 ParametricPlot3D Cos u Sin u Cos u 2 2 Sin u 2 RGBColor 1 0 0 u 0 2Pi 并运行该命令 就得到两曲面的交线的图形 见 图 1 c 命令中的选项 RGBColor 1 0 0 用于表明绘 制的曲线的颜色为红色 在 Mathematica 的工作窗口中再输入命令 Shadow XShadow False YShadow False ZShadowPosition 0 5 就得到了交线 C 在 xoy 面上的投影曲线 如图 1 d 邵阳学院学报 自然科学版 第 5 卷 42 例 2 作出锥面 x2 y2 z2 z 0 与柱面 x2 y2 x 相 交的图形 作出交线的图形并确定锥面被柱面截下 的部分在 xoy 面上的投影区域 解 显然过锥面与柱面交线 母线平行于 z 轴的 投影柱面方程为 x2 y2 x 在 Mathematica 的工作窗口 中输入命令 g1 ParametricPlot3D Sin u Cos v Sin u Sin v Sin u u 0 Pi v 0 2Pi DisplayFunction Identity g2 ParametricPlot3D Cos t 2 Cos t Sin t z t 0 2Pi z 0 1 2 DisplayFunction Identity Show g1 g2 ViewPoint 1 1 2 DisplayFunction DisplayFunction 图 1 b 图 1 c 图 1 两椭圆抛物面所围空间图形 交线及其投影图 图 1 d 图 2 c 图 2 b 图 2 a 图 2锥面与柱面相交图形 交线及投影图 刘兴元 何宜军 Mathematica 软件的绘图功能在高等数学教学中应用示例第 4 期 图 1 a 43 并运行就能得到两曲面相交的图形 如图 2 a 在 Mathematica 的 工作 窗 口中 接着 输 入 命 令 ParametricPlot3D Cos t 2 Cos t Sin t Cos t RGBColor 1 0 0 t Pi 2 Pi 2 ViewPoint 1 1 2 Ticks False 并运行就得到两曲面的交线的图形 如图 2 b 在 Mathematica 的工作窗口中再输入命令 Shadow XShadow False YShadow False ZShadowPosition 0 5 并运行就得到两曲面的交线在 xoy 面上的投 影 如图 2 c 通过上面两例的分析研究 我们对于空间曲线 的图形 以空间曲线为准线的柱面 即投影柱面 空 间曲线的投影 空间曲面所围成的空间图形的投影 区域有了一个明确的了解 这为后续内容的学习打 下了一个坚实的基础 例如 在二重积分的教学中 要求例 1 中两曲面所围成的空间图形的体积 通过 例 1 的讨论 借助直观的图形和二重积分的几何意 义 只要求下列二重积分 其中 D 为两曲面所围图形在 xoy 面上的投影区域 即 D x y x2 y2 1 又如 在重积分的应用教学中 要求例 2 中锥面被圆柱面截下的部分曲面 的面 积 或要求两曲面的交线的弧长 在曲面积分的教学 中要求某函数在 上的曲面积分等 只要