三次样条插值法.pdf

8 三次样条插值 三次样条插值 问题的提出问题的提出 上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性 但光滑性较差 对于像高速飞机的机 翼形线 船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度 即有二阶连续导数 早期工程师制图时 把富有弹性的细长木条 所谓样条 用压铁固定在样点上 在其他地方让它自由弯曲 然后 画下长条的曲线 称为样条曲线 它实际上是由分段三次曲线并接而成 在连接点即样点上 要求二阶导数连续 从数学上加以概括就得到数学样条这一概念 下面我们讨论最常用的三 次样条函数 三次样条函数三次样条函数 定义定义 函数 2 baCxS 且在每个小区间 1 jj xx上是三次多项式 其中 bxxxa n L 10 是给定节点 则称 xS是节点 n xxx 10 L上的三次样条函数 若在节点 j x上给定函数值 1 0 njxfy jj L 并成立 1 0 njyxS jj L 则称 xS为三次样条插值函数 从定义知要求出 xS 在每个小区间 1 jj xx上要确定 4 个待定系数 共有n个小区 间 故应确定n4个参数 根据 xS在 ba上二阶导数连续 在节点 1 2 1 njxjL处应满足连续性条件 0 0 jj xSxS 0 0 jj S xS x 0 0 jj xSxS 共有33 n个条件 再加上 xS满足插值条件 1 0 njyxS jj L 共有24 n 个条件 因此还需要 2 个条件才能确定 xS 通常可在区间 ba端点 n xbxa 0 上各加一个条件 称为边界条件 可根据实际 问题的要求给定 常见的有以下三种 1 已知两端的一阶导数值 即 nn fxSfxS 00 2 两端的二阶导数已知 即 00 nn SxfSxf http i 其特殊情况 0 0 n xSxS 称为自然边界条件自然边界条件 3 当 xf是以 0 xxn 为周期的周期函数时 则要求 xS也是周期函数 这时边界 条件应满足 0 0 0 0 00 nn xSxSxSxS 0 0 0 n xSxS 而此时 n yy 0 这样确定的样条函数 xS 称为周期样条函数 三转角方程三转角方程 现在构造满足条件 1 0 njyxS jj L 及加上相应边界条件的三次样条函数 xS的表达式 若假定 x S 在节点 j x处的值为 1 0 njmxS jj L 则由分段三次埃尔米特 插值公式可得 0 n jjjj j S xyxmx 其中 x j x j 是插值基函数 显 然 表 达 式 中 xS及 x S 在 整 个 区 间 ba上 连 续 且 满 足 1 0 njyxS jj L 现需确定 1 0 njmjL 可利用 1 1 0 0 njxSxS jj L及某一 边界条件来确定 为了求出 j m 我们考虑 xS在 1 jj xx上的表达式 2 1 3 2 jjj j j xxhxx S xy h 1 3 1 2 2 j j jjj y k xxhxx j j jj m h xxxx 2 2 1 1 2 1 2 j j jj m h xxxx 这里 jjj xxh 1 对 xS求二次导数得 1 2 1 2 1 246426 j j jj j j jj m h xxx m h xxx xS 2 6 1 3 1 jj j jj yy h xxx 于是 624 0 1 2 1jj j j j j j j yy h m h m h xS 同理 可得 x S 在区间 1jj xx 上的表达式 j j jj j j jj m h xxx m h xxx xS 2 1 1 1 2 1 1 246426 2 6 1 2 1 1 jj j jj yy h xxx 及 642 0 1 2 11 1 1 jj j j j j j j yy h m h m h xS 由条件 1 2 1 0 0 njxSxS jj L 可得 1 1 1 1 111 2 1 j j j jj j j m h m hh m h 1 2 1 3 2 1 1 2 1 nj h yy h yy j jj j jj L 用 jj hh 11 1 除全式 并注意 1 1 jj j jj jj xxf h yy fy 上面方程可简化为 jjjjjj gmmm 11 2 1 2 1 njL 其中 1 1 1 1 1 nj hh h hh h jj j j jj j j L 1 1 3 11 njxxfxxfg jjjjjjj L 此方程是关于未知数 n mmm 10 L的1 n个方程 若加上边界条件 00 fm nn fm 则方程变为为只含 11 n mm L的1 n个方程 写成矩阵形式便是 1 2 3 2 1 1 22 3 22 1 20000 2000 00020 0002 00002 n n n nn m m m m m M L L LLLLLLL L L L nnn n fg g g g fg 11 2 3 2 011 M 如果边界条件为 00 nn SxfSxf 则得两个方程 0 010100 1 11 23 2 23 2 n nnnnnn h mmf x xfg h mmf xxfg 若边界条件为0 0 n xSxS 即满足自然边界条件 则得两端的方程为 01010 11 23 23 nnnnn mmf x xg mmf xxg 于是 用矩阵形式表为 0 111 22 111 1 210000 2000 02000 0002 00002 nnn nn m m m m m L L L LLLLLLLM L L n n g g g g g 1 2 1 0 M 如果边界条件为周期性条件 则得到 n mm 0 n n n n m hh m h m h 10 1 1 1 0 11 2 11 3 3 1 1 10 0 nn n xxf h xxf h 化简为 nnnnn gmmm 2 11 其中 10 1 10 1 n n n n n n hh h hh h 3 110nnnnn xxfxxfg 用矩阵形式表示为 n n nn nn m m m m 1 2 1 11 22 11 2000 2000 0002 0002 M L L LLLLLLL L L n n g g g g 1 2 1 M 上面得到的方程 每个方程都连系三个 jj mm 在力学上解释为细梁在 j x截面处的转角 故称为三转角方程 这些方程系数矩阵对角元素均为 2 非对角元素1 jj 故系数 矩阵具有强对角优势 方程组都有唯一解 可用追赶法求得解 1 0 njmjL 从而得 到 xS 三弯矩方程三弯矩方程 三次样条插值函数 xS可以有多种表达方法 有时用二阶导数值 jj MxS 1 0 njL 表示使用更方便 j M在力学上解释为细梁在 j x截面处的弯矩 并且得到 的弯矩与相邻两个弯矩有关 故称三弯矩方程 由于 xS在区间 1 jj xx上是三次多项式 故 x S 在 1 jj xx上是线性函数 可表 示为 j j j j j j h xx M h xx MxS 1 1 对 x S 积分两次并利用 jj yxS 及 11 jj yxS 可定出积分常数 于是得 j j j j j j h xx M h xx MxS 6 6 3 1 3 1 j jjj j j jjj j h xxhM y h xxhM y 66 2 1 1 1 2 1 1 0 njL 对 xS求导得 j j j j j j h xx M h xx MxS 2 2 2 1 2 1 j jj j jj h MM h yy 6 11 由此可求得 63 0 1 1 j jj j j j j j h yy M h M h xS 类似地可求出 xS在区间 1 jj xx上的表达式 从而得 36 0 1 11 1 1 j jj j j j j j h yy M h M h xS 利用 0 0 jj xSxS可得 1 2 1 2 11 njdMMM jjjjjj L 其中 jj 由前面所示 而 6 6 11 1 11 jjj jj jjjj j xxxf hh xxfxxf