导数的几何意义PPT.ppt

3 1 3导数的几何意义 1 曲线的切线 如图 曲线C是函数y f x 的图象 P x0 y0 是曲线C上的任意一点 Q x0 x y0 y 为P邻近一点 PQ为C的割线 PM x轴 QM y轴 为PQ的倾斜角 P Q 割线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况 我们发现 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ有一个极限位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数平均变化率的极限 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 故曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线方程是 即 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 然后利用点斜式求切线方程 例2如图 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象 根据图象 请描述 比较 曲线在附近的变化情况 解 可用曲线h t 在t0 t1 t2处的切线刻画曲线h t 在上述三个时刻附近的变化情况 1 当t t0时 曲线h t 在t0处的切线l0平行于x轴 故在t t0附近曲线比较平坦 几乎没有升降 2 当t t1时 曲线h t 在t1处的切线l1的斜率h t1 0 故在t t1附近曲线下降 即函数h t 在t t1附近单调递减 t4 t3 3 当t t2时 曲线h t 在t2处的切线l2的斜率h t2 0 故在t t2附近曲线下降 即函数h t 在t t2附近也单调递减 例2 根据图象 请描述 比较 曲线在附近的变化情况 解 可用曲线h t 在t0 t1 t2处的切线刻画曲线h t 在上述三个时刻附近的变化情况 1 当t t0时 曲线h t 在t0处的切线l0平行于x轴 故在t t0附近曲线比较平坦 几乎没有升降 2 当t t1时 曲线h t 在t1处的切线l1的斜率h t1 0 故在t t1附近曲线下降 即函数h t 在t t1附近单调递减 3 当t t2时 曲线h t 在t2处的切线l2的斜率h t2 0 故在t t2附近曲线下降 即函数h t 在t t2附近也单调递减 从图可以看出 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度 这说明h t 曲线在l1附近比在l2附近下降得缓慢 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 什么是导函数 由函数f x 在x x0处求导数的过程可以看到 当x x0时 f x0 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的导函数 即 如何求函数y f x 的导数 例2 试求过点P 3 5 且与曲线y x 看一个例子 3 函数f x 在点x0处的导数就是导函数在x x0处的函数值 即 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一 小结 2 函数的导数 是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f x 的导函数 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限 它是一个常数 不是变数 弄清 函数f x 在点x0处的导数 导函数 导数 之间的区别与联系 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程