从高考试题看空间距离与角的向量坐标求法.pdf

20 08年 第 一 期 高考研究中 小学教学 高中版 潺 麟 从高考试题看空间距离与角 的向量 几 坐标求法 安徽省五河县刘集中学 刘瑞美 用空间向量的坐标方法探求空间几何问题 是 高中数学新课标教材选修模块中的一大改革亮点 随着高中数学新课程标准的全面推行 对 空间几何 教学内容进行了大刀阔斧的改革 采用传统的综合 法与向量法相结合 并以向量法为主在新课程选修 一 中 此 法是书中重点介绍的必修内容 这充分体 现了向量 的工具性 为认真贯彻落实新课程标准的 实施 全面推进新课程标准的发展 近两年在全国各 地的高考试题中都出现了能用向量法探求的空间距 离与角的问题 用 向量法解决空间几何问题可分为 三步即向量表示 向量运算 回归几何如何在解题 时正确使用向量坐标法 体现新课标的精神 下面结 合近两年的高考试题和新课标高中人教版选修教 材具体谈一谈空 间距离与角的向量的坐标求法 不 知当否 请予指正 一 有关空间距离问题 距离问题包括两点间 的距离 点 到直线的距离 点到平面的距离 异面直线间的距 离以及其他可以转 化成如土几类距离的问题 如平行的线线 线 面 面面 的距离等下面重点介绍高考中经常出现的两类距离 两异面直线间的距离和点到平面间的距离 两异面直线间的距离 而 而 而 而 苗 而 点到平面的距离 设平面的一个法向量为 点是平面外一 点 且 一争 尸 则点 尸到平面 的距离为 二 采用类似上面方 法 可证 二 有关 空间角的问题 空间中的角主要包括两异面直线所成的角 直 线 与平面所成的角 两个半平面所成的二面角 这三类 角也是近年来高考命题的一个热点问题 特别是随着 新课标教材的普遍使用 重视对通性通法的考查 这 三类角显得更为重要 两异面直线所成的角 设 是异面直线 和 是直线 上的点 和 是直线 上的点 则异面直线 所成 的角 店 亩 履 而 于 二 一 店 面 于斌而 二 器 器 于是有 设 是 异面直 线向量满足 土 土 点 分别是 直线 仁任意一点 则异面直线 乙之间 的 距离 证 明如图 设异面直线 的公垂线段为 过点作直线的平行线澎 过点作交丫 于点 则 店而 连结 则 履厅 二 而 乙 直线与平面所成的角 设平面的一个法向量为 直线尸 尸 与平面 所 成的角为 则 若 耐 是一个锐角 则直线与平 面 所成的角 母 一 可 若 耐 是一个钝角 则直线尸 尸 与平 面 所成的角 户可 一 粤 一 一 一 一 尹矛 叭 阳 于是有 一一争 叽 一一争 坛 二 不万爪哥万甲乓 乓 万 川 I 扫 学数今 融 版 卜 二面角 已知二面角 一一月 分别是平面和平面 刀的一个法向量 设二面角 一一 口的大小为 规定 感鉴忆 若两法向量 的指向互异 则角 二 月 即从二面角内部某点出发向两个半平面 作法向童时 一个指 向两平面的 内部 一个指向两平 面的外部如 图 高考研究 年 第 一 期 试 则斌 二 二 设四棱锥 一 叭 二 一 一 设刀 则动 的体积为叭 则有 二 专 与丽 砧 凡 砧 店 斌 窟 耐 前 而直三棱柱 一 的体积玖 为 砚 二 气 斌 二 合 油动斌 图图 若两法向量 的指向一致 则角 二二一 旅 几 即从二面角内部某一点 出发向两个半 平面作法向量时 两法向量都分别指向两平面的内部 或都指向两平面的外部 如 图 三 典型例题分析 一甜一 又已知叭矶 二 一 故今 二 于 解得 二 子 即 于 队 产 一 一 一 一 一 一 厂 二二介 下货探 从而朋 二 亨 滩 二 一 一 亨 议 二 是异面直线与的公垂线的一个方向 例年全国高 考重庆卷理题如图 在 直三棱柱一通鱿 中 二 乙滩刀 二 如 丑 二 点 分别在 上 且 一 四棱 锥 一 与直三棱柱的 体积之比为 飞飞飞餐 餐 向量 贝 一一 二 动 二 二 一一 了 二 二 二 一 尹 图 了 堆 二 一 八 今 刀刀 异面直线与几肠的距离 二 一万下了一 求异面直线与的距离 若 二 万 求二面角 一 一 的平面 角的正切值 分析根据题中的条件建立适 当的坐标系 确定 好相应的点的坐标是用向量的坐标法的关键 本题的 第一问是求两异面直线与 的距离 关键是要 求出两异面直线 的公垂线上的一个方 向向量的坐标 进而利用公式求出两异面直线之间的距离 第二问的关键是求出两个半平面和 拭 的法向量的夹角 利用 两法向量与平面的指向关系 确定二面角与法向量夹角的关系 求出二面角的正切 值 解 以 点为坐标原点口建立空间直角坐标 系 一 华 如图 则 则斌 荫 一 一 一 鱼 一 止亘 厂骊 一 由易知 当召 二 万时 万 一 八 阳 气 了动 二 一 气 或 二 万 可 万 三 气 设 二 了 是平面 的一个法向量 宕 一一 叮 汤 产 冲 一一一一 动斌 自几月 护廿 的 刁 男 一 了 一令 年第 一 期高考研究 一 中 小学数矛 高中版 二 一 二一 争 一 令 取 一 万 一 根据已知可得平面的一个法向量几 由于 两平面的两个法向量指 向互 异 所以两平面法向量的夹角大小也就是二 面角 的平面角的大小 线所成的角是 晋求点到平 面的距离的关键 是求出平面的一个法向量的坐标 然后利用公式正确 求出结果即可 解略 而 亡 二 碑 日 侧可 从而 一 二 厅丁刃 业 丫丽 于是 称 月 二 一 月一 万 一二一 弓 以当 二 万时 二面角 一 一 的平面角的正 二 万 切值为 匕畏匕 一 点评 利用向童法求两条异面直线之间的距 离 关健是要找到两条异面直线公垂线的一个方向向量 利用法向量确定二面角大小的基本思想是根据 所求 得的法向量的坐标 确 定两法向量 的指向可以 以坐 标原点为起点 以两坐标对应的 点分别为终点 若两 法向童的指向互异 则它们 的夹角与二面角的大小相 等若两法向童的指向一致 则它们的夹角与二面角 的大小是互补的 另外 在用 坐标法解答此题时根本用不上点 分别在上 上 且 一 这两个条件 可能 是命题者为了降低试题的难度才加 上这两个条件的 本题主要考查考生对两异面直线之间距离概念 的理解和对二面角的平面角概念的理解 考查空间想 象能力和推理运算能力以及应用向童知 识解决数学 问题的能力考查对数形结合思想在解题中的应用掌 握程度以及用向量法解决空间几何问题三步曲 向量 表示 向蚤运算 回 归几何的掌握程度另外 如何根 据条件建立适当的空间直角坐标 系 正确确 定点的坐 标 也是本题的考查 内容之一 例 拓年全国高考湖 南卷理 题改编 已 知两个正四棱锥尸 一 与口 一 的高分别为 和 二 如图 证明口上平面 求异面直线口与所成角的余弦值 求点到平面训的距离 分析求两异面直线与所成的角 关键是 求两异面直线的方向向量 的夹角 但要注意两异面直 由题意知 四 边形是正方形 所 以 一 由知 尸 平面 故可分 别以直线 尸为 轴 轴 轴 建立空间直 角坐标系如 图 由题 设条件 相关各点的坐标 分别 为 尸 注 万 一 江 故讨 二一 项 一 对 项 一 设与所成的角为 于是 二 讨 可 二 刀点坐标为 一 万 对 二一 万 一 万 前 万一 设 二 是平面伽的一个法向量 对 对 二 得 瓜 十 里 本 二 得 月 一 万 所以点尸到平 万 一一 几 劣 取由 面的距离 二 一 前 月 点评当两向量的夹角为锐角或 直角 时 两向量 的夹角就是两异面直线的夹角当两向量的夹角为钝 角时 两向量夹角的补 角才是两异面直线的夹角 为 了避免出现两向量夹角余弦值为负数的情况 可在运 算时添上绝对值符号点到平面的距 离 是空间距离 的墓础 求直线到与它平行平面的距离的问题可由点 到平面距 离的知识来解决求两平行平面的距离 只 要求一个平面上一点到另一个平面的距 离 也 就是求 点到平面的距离 本题重点考查空间向量的概念与运算等基拙 知 识以及直线和 直线所成的角与 空间向量 所成角 的关 系 考查用向量法求点到平面的距离等知识 要求对向量法解决空间 几何问题的步骤有一个崭 一 二 中小学教矛 高中版 一 高考研究 年第 一 期 新的认识 同时考查 空间想像能力 逻样思维能 力 和 运算能力以及数形结合思想的应用 另外 鼓励 考生用不同的方法解决问题 培养 学生的创新精 神 例年全国高考湖北卷理题如图 在三棱锥 卜一通 中 一 底面 一 是 刀的中点 且 二 召 二 乙 阳 冬 品 一 一 一 一 一 求证平面 当角变化时 求直线与平面以所成 的角的取值范围 分析本题的第二问是求直线与平 面以所 成的角的取值范围 关键是求 出向量耐与平 面以 的法向量夹角的函数关系式 进而写出直线与平 面以 所成的角的函数关系式 通过角的变化情况 进一步求出直线与平面所成的角为沪的取值 范围 解略 又 蕊 晋 于 以点 为原点 以 所在的直线分 别为轴 轴 建立如图 所示的空间直角坐标 系 贝组 互 粤 卫 子尹确 行 一 一 一 叹 勺一 一 一 丫一 一 粤 噜 二 于是耐 二 夸 二 履 二 二 设直线与平面所成的角为沪 平面的 一个法向量为 二二 习 则由 窟 二 耐 衡 二 得 万万 一尧 于创 毛 于心口 可取一 又 一 争 一 争 叩 二耐 争 即直线与平面以所成的角的取值范围为 于 点评 本题解决问题的关健是如何 选择变量 不 同的变量得到不同的函数关系 再利用函数在定义域 内的值域来确定 范围 在解题过程中 要注意函数的 定义域 本小题主要考查直线与平面所成角的概念 函数 思想在解题中的应用 同时考查考生的推理运算能力 以及应用向量知识解决数学问题的能力 本题重点考 查空间向量的概念与运算等基础知识以及直线和 平 面所成的角与空间向量所 成角的关系 总之 从历年的考题变化看 以简单几何体为载 体的线面位里关系的论证 角与距 离的探求是常考 常新的热门话题 另外 开放性 研究性的试题注重 创新 体现了数学探究的精神 是近几年高考命题的 一个新热点而空间向量作为一种工具 越来越受到 命题者的青睐 在向量教学中 应注意提 高学生的 空间想象能力 加深时向量本质的认识 大力推进 高中新课程标准的发展 参考文献 衰智斌由动手操作上升到计算推理中学