八年级上三角形的初步认识.doc

八年级上三角形的初步认识一选择题（共6小题）1（2009无锡模拟）如图所示，ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上，且AP=，BQ=BC，CR=CA，已知阴影PQR的面积是19cm2，则ABC的面积是（）A38B42.8C45.6D47.52（2013台州）已知A1B1C1，A2B2C2的周长相等，现有两个判断：若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则A1B1C1A2B2C2；若A1=A2，B1=B2，则A1B1C1A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A正确，错误B错误，正确C，都错误D，都正确3（2013河北模拟）四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：ACBD；BC=DE；DBC=DAB；AB=BE=AE其中命题一定成立的是（）ABCD4（2012重庆模拟）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ以下五个结论：AD=BE；PQAE；EQ=DP；AOB=60；当C为AE中点时，SBPQ：SCDE=1：3其中恒成立的结论有（）ABCD5（2012高邮市校级模拟）如图，在直角三角形ABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC下列判断正确的有（）ABEDCE；BE=EC；BEEC；EC=DEA1个B2个C3个D4个6（2011北碚区校级模拟）如图，分别以RtABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边ABD和ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若BAC=30，下列结论：DBFEFA；AD=AE；EFAC；AD=4AG；AOG与EOG的面积比为1：4其中正确结论的序号是（）ABCD填空题（共9小题）7（2013贺州）如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若ABC的面积是1，那么A1B1C1的面积8（2012眉山）在ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是9（2012犍为县模拟）某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有个三角形出现10（2012青羊区一模）如图，对面积为s的ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1顺次连接A2、B2、C2，得到A2B2C2，记其面积为S2；按此规律继续下去，可得到AnBnCn，则其面积Sn=11（2012张家口一模）如图，ABC的面积为1分别倍长AB，BC，CA得到A1B1C1再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到A2B2C2按此规律，倍长n次后得到的AnBnCn的面积为12（2012宿迁模拟）如图，已知P为ABC内一点，过P点分别作直线平行于ABC的各边，形成小三角形的面积S1、S2、S3分别为4、9、16，则ABC的面积为13（2012拱墅区二模）已知ABC中，A=在图（1）中B、C的角平分线交于点O1，则可计算得BO1C=90+；在图（2）中，设B、C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则BO2C=；请你猜想，当B、C同时n等分时，（n1）条等分角线分别对应交于O1、O2，On1，如图（3），则BOn1C=（用含n和的代数式表示）14（2011南关区二模）如图，在ABC中，A=ABC与ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC与A1CD的平分线相交于点A2，得A2；A2009BC与A2009CD的平分线相交于点A2010，得A2010，则A2010=15（2013上城区校级模拟）如图，已知ABCDCEHEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，若DQK的面积为2，则图中三个阴影部分的面积和为三解答题（共10小题）16（2013涪陵区校级模拟）如图，ADE的顶点D在ABC的BC边上，且ABD=ADB，BAD=CAE，AC=AE求证：BC=DE17（2013成都校级模拟）如图，点C是线段AB上除A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BEC，连结AE交DC于M，连结BD交CE于N，AE与BD交于F（1）求证：AE=BD；（2）连结MN，仔细观察MNC的形状，猜想MNC是什么三角形？说出你的猜想，并加以证明18（2013秋广州校级期中）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60，BDC=120，BD=DC探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1）如图1，ABC是周长为9的等边三角形，则AMN的周长Q=；（2）如图2，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时=；（3）点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明 19（2008杭州）如图，在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F（1）证明：CAE=CBF；（2）证明：AE=BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记ABC和ABG的面积分别为SABC和SABG，如果存在点P，能使得SABC=SABG，求ACB的取值范围20如图，ABC中，ABC=ACB=80，D、E分别是AB、AC上的点，DCA=30，EBA=20，求BED的度数21（2004四川）在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）22（2005扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分）在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=ADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题23（2006绍兴）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：ABC、A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，C=Cl求证：ABCA1B1C1（请你将下列证明过程补充完整）证明：分别过点B，B1作BDCA于D，B1D1C1A1于D1则BDC=B1D1C1=90，BC=B1C1，C=C1，BCDB1C1D1，BD=B1D1（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论24（2009本溪）在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC=90，则BCE=度；（2）设BAC=，BCE=如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论25（2009青海）请阅读，完成证明和填空九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且NOC=60度请证明：NOC=60度（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=，且DON=度（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=，且EON=度（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论请大胆猜测，用一句话概括你的发现：八年级上三角形的初步认识参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1（2009无锡模拟）如图所示，ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上，且AP=，BQ=BC，CR=CA，已知阴影PQR的面积是19cm2，则ABC的面积是（）A38B42.8C45.6D47.5考点：三角形的面积；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：通过求出QPR的面积和ABC面积的比，即可求出ABC的面积解答：解：过P作PMBC于M，过A作ANBC于NBMPBNAPM：AN=BP：BA=2：3设ABC的面积为S，则SBQP=BQPM=（BC）（AN）=BCAN=S同理可得出：SQRC=S，同理，过P作PEAC于E，过B作BFAC于F则SAPR=SS阴影=SSBQPSQRCSAPR=S=19ABC的面积S=12195=45.6故选C点评：已知部分求整体，可通过求得部分占整体的比重来求出整体的值2（2013台州）已知A1B1C1，A2B2C2的周长相等，现有两个判断：若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则A1B1C1A2B2C2；若A1=A2，B1=B2，则A1B1C1A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A正确，错误B错误，正确C，都错误D，都正确考点：全等三角形的判定菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据SSS即可推出A1B1C1A2B2C2，判断正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断解答：解：A1B1C1，A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，B1C1=B2C2，A1B1C1A2B2C2（SSS），正确；A1=A2，B1=B2，A1B1C1A2B2C2A1B1C1，A2B2C2的周长相等，A1B1C1A2B2C2正确；故选：D点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等3（2013河北模拟）四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：ACBD；BC=DE；DBC=DAB；AB=BE=AE其中命题一定成立的是（）ABCD考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项是否正确即可解答：解：AB=AE，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，AC不垂直于BD，错误；利用边角边定理可证得ADEABC，那么BC=DE，正确；由ADEABC可得ADE=ACB，那么A，B，C，D四点共圆，DBC=DAC=DAB，正确；ABE不一定是等边三角形，那么不一定正确；正确，故选B点评：此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边三角形的三边相等4（2012重庆模拟）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ以下五个结论：AD=BE；PQAE；EQ=DP；AOB=60；当C为AE中点时，SBPQ：SCDE=1：3其中恒成立的结论有（）ABCD考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：根据等边三角形性质得出AB=BC=AC，DC=CE=DE，BCA=DCE=EDC=DEC=60，推出ACD=BCE，根据SAS证ACDBCE，即可推出；根据ASA证DPCEQC，推出CP=CQ，证三角形CPQ是等边三角形，即可推出；根据等边三角形性质和平角定义即可判断求出P、Q分别是BC和BE中点，推出BPQ的面积等于BCE面积的，推出BCE和CDE的面积相等，即可判断解答：解：等边ABC和等边DCE，BC=AC，DE=DC=CE，DEC=BCA=DCE=60，ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE，CBE=DAC，AD=BE，正确；ACB=DCE=60，BCD=60，等边DCE，EDC=60=BCD，BCDE，CBE=DEO，AOB=DAC+BEC=BEC+DEO=DEC=60，正确；ACDBCE，ADC=BEC，在DPC和EQC中，DPCEQC，EQ=DP，正确；CP=CQ，BCD=60，CPQ是等边三角形，PQC=60=DCE，PQAE，正确；当C为AE中点时，BCA=DEC=60，P是AD中点，CP=DE=AB，即P是BC中点，同理Q是BE的中点，也是DC中点，即PQ是BCE的中位线，PQAC，BPQBCE，=，当C为AE中点，等边ABC和等边DCE，BDAE，即DCE的边CE上的高和BCE的边CE上的高相等，DEC的面积等于BCE的面积，SBPQ：SCDE=1：4，错误正确的有故选B点评：本题综合考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的运用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型比较好，有一定的代表性5（2012高邮市校级模拟）如图，在直角三角形ABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC下列判断正确的有（）ABEDCE；BE=EC；BEEC；EC=DEA1个B2个C3个D4个考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并求出BAE=CDE=135，然后利用“边角边”证明ABE和DCE全等，从而判断出小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC，从而判断出小题正确；根据全等三角形对应角相等可得AEB=DEC，然后推出BEC=AED，从而判断出小题正确；根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，用DE表示出AD，然后得到AB、AC，再根据勾股定理用DE与EC表示出BC，整理即可得解，从而判断出小题正确解答：解：AC=2AB，点D是AC的中点，CD=AC=AB，ADE是等腰直角三角形，AE=DE，BAE=90+45=135，CDE=18045=135，BAE=CDE，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS），故小题正确；BE=EC，AEB=DEC，故小题正确；AEB+BED=90，DEC+BED=90，BEEC，故小题正确；ADE是等腰直角三角形，AD=DE，AC=2AB，点D是AC的中点，AB=DE，AC=2DE，在RtABC中，BC2=AB2+AC2=（DE）2+（2DE）2=10DE2，BE=EC，BEEC，BC2=BE2+EC2=2EC2，2EC2=10DE2，解得EC=DE，故小题正确，综上所述，判断正确的有共4个故选D点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据ADE是等腰直角三角形推出AE=DE，BAE=CDE=135是解题的关键，也是解决本题的突破口6（2011北碚区校级模拟）如图，分别以RtABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边ABD和ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若BAC=30，下列结论：DBFEFA；AD=AE；EFAC；AD=4AG；AOG与EOG的面积比为1：4其中正确结论的序号是（）ABCD考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；等边三角形的性质；特殊角的三角函数值菁优网版权所有专题：压轴题分析：若BAC=30，AB=2AC，由于ABD、ACE都是等边三角形，显然ADAE，而DBF和EFA中，DBF=AFO=60，易证得FAE、DFB都是直角，且F是AB中点，由此证得两个三角形全等，可得DF=EA，进而可证得DFGAGE，即AF=2AG，AD=4AG，运用排除法即可得到D选项是正确的解答：解：RtABC中，若BAC=30，设BC=2，则AC=2，AB=4；AF=2，AE=2，BAC+OAE=30+60=90，即EFA是直角三角形，tanAEF=，即AEF=30，EF平分AEC，根据等边三角形三线合一的性质知：EFAC，且O是AC的中点；（故正确）F是AB的中点，AF=BF；根据等边三角形三线合一的性质知：DFAB，BAC=30，AFO=90BAC=60，即DBF=AFE=60；FAE=30+60=90=BFD，DBFEFA，故正确；在RtABC中，ABAC，AB=AD，AC=AE，ADAE，故错误；由的全等三角形知：DF=EA，又DFG=EAG=90，DGF=EGA，DFGEAG，即AG=GF，AD=2AF=4AG，故正确；由知：G是AF中点，由已知设AB=4，可以求出：EO=3，AO=，SEOG=OE（OA）=3=；又SAOG=AGAOsin30=1=，故AOG与EOG的面积比为1：3，故错误；因此正确的结论是：，故选：D点评：此题主要考查的是直角三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定以及图形面积的求法，难度适中二填空题（共9小题）7（2013贺州）如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若ABC的面积是1，那么A1B1C1的面积7考点：三角形的面积菁优网版权所有专题：压轴题分析：连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出ABB1，A1AB1的面积，从而求出A1BB1的面积，同理可求B1CC1的面积，A1AC1的面积，然后相加即可得解解答：解：如图，连接AB1，BC1，CA1，A、B分别是线段A1B，B1C的中点，SABB1=SABC=1，SA1AB1=SABB1=1，SA1BB1=SA1AB1+SABB1=1+1=2，同理：SB1CC1=2，SA1AC1=2，A1B1C1的面积=SA1BB1+SB1CC1+SA1AC1+SABC=2+2+2+1=7故答案为：7点评：本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键8（2012眉山）在ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是1AD4考点：三角形三边关系；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明ABD和ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解解答：解：如图，延长AD到E，使DE=AD，AD是BC边上的中线，BD=CD，在ABD和ECD中，ABDECD（SAS），CE=AB，AB=5，AC=3，53AE5+3，即2AE8，1AD4故答案为：1AD4点评：本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键9（2012犍为县模拟）某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有0或3或4或8个三角形出现考点：三角形菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据三角形的概念以及平面内四个点的位置关系，此题应分情况考虑：当四个点共线时，不能作出三角形；当三个点共线，第四个点不在这条直线上时，能够画出3个三角形；若4个点能构成凹四边形，则能画出4个三角形；当任意的三个点不共线时，则能够画出8个三角形解答：解：当四个点共线时，不能作出三角形；当三个点共线，第四个点不在这条直线上时，能够画出3个三角形；若4个点能构成凹四边形，则能画出4个三角形；当任意的三个点不共线时，则能够画出8个三角形0或3或4或8点评：考查了平面内点的位置关系以及三角形的概念10（2012青羊区一模）如图，对面积为s的ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1顺次连接A2、B2、C2，得到A2B2C2，记其面积为S2；按此规律继续下去，可得到AnBnCn，则其面积Sn=19nS考点：三角形的面积菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：连接A1C，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍的规律，利用规律求延长第n次后的面积解答：解：连接A1C；AA1C=3ABC=3，AA1C1=2AA1C=6，所以A1B1C1=63+1=19；同理得A2B2C2=1919=361；A3B3C3=36119=6859，A4B4C4=685919=130321，A5B5C5=13032119=2476099，从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到AnBnCn，则其面积Sn=19nS点评：本题的关键是作辅助线，连接A1C，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍的规律，利用规律求延长第n次后的面积11（2012张家口一模）如图，ABC的面积为1分别倍长AB，BC，CA得到A1B1C1再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到A2B2C2按此规律，倍长n次后得到的AnBnCn的面积为7n考点：三角形的面积菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后A1B1C1的面积是ABC的面积的7倍，依此类推写出即可解答：解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，A1BC、A1B1C、AB1C、AB1C1、ABC1、A1BC1、ABC的面积都相等，所以，SA1B1C1=7SABC，同理SA2B2C2=7SA1B1C1，=72SABC，依此类推，SAnBnCn=7nSABC，ABC的面积为1，SAnBnCn=7n故答案为：7n点评：本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键12（2012宿迁模拟）如图，已知P为ABC内一点，过P点分别作直线平行于ABC的各边，形成小三角形的面积S1、S2、S3分别为4、9、16，则ABC的面积为81考点：三角形的面积；相似三角形的性质菁优网版权所有专题：应用题；压轴题分析：由题意证明S1、S2两个三角形相似对应边得比DP：PE=2：3，则DP：DE=2：5，DPGADE，能求出ADE的面积为25，同理可求DE：HF=5：4，可以求出DE：BC的值为5：9，则ABC的面积就能求出来了解答：解：由已知可得GDE=KPE，GPD=KEP，GDPKPE，DP：PE=2：3，DP：DE=2：5，由题意可知DGPDAE，SDGP：SDAE=DP2：DE2=4：25，SDAE=25，S四边形AGPK=SDAES1S2=12，同理可得DE：HF=5：4，DE：BC=（2+3）：（2+4+3）=5：9，SDAE：SABC=25：81，ABC的面积=81点评：本题考查的是灵活运用相似三角形的性质13（2012拱墅区二模）已知ABC中，A=在图（1）中B、C的角平分线交于点O1，则可计算得BO1C=90+；在图（2）中，设B、C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则BO2C=60+；请你猜想，当B、C同时n等分时，（n1）条等分角线分别对应交于O1、O2，On1，如图（3），则BOn1C=+（用含n和的代数式表示）考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：根据三角形的内角和等于180用表示出（ABC+ACB），再根据三等分的定义求出（O2BC+O2CB），在O2BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；根据三角形的内角和等于180用表示出（ABC+ACB），再根据n等分的定义求出（On1BC+On1CB），在On1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解解答：解：在ABC中，A=，ABC+ACB=180，O2B和O2C分别是B、C的三等分线，O2BC+O2CB=（ABC+ACB）=（180）=120；BO2C=180（O2BC+O2CB）=180（120）=60+；在ABC中，A=，ABC+ACB=180，On1B和On1C分别是B、C的n等分线，On1BC+On1CB=（ABC+ACB）=（180）=BOn1C=180（On1BC+On1CB）=180（）=+故答案为：60+；+点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键14（2011南关区二模）如图，在ABC中，A=ABC与ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC与A1CD的平分线相交于点A2，得A2；A2009BC与A2009CD的平分线相交于点A2010，得A2010，则A2010=考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知A1=A=，A2=A1=，依此类推可知A2010的度数解答：解：ABC与ACD的平分线交于点A1，A1=180ACDACBABC=180（ABC+A）（180AABC）ABC=A=；同理可得A2=A1=，A2010=点评：本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义15（2013上城区校级模拟）如图，已知ABCDCEHEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，若DQK的面积为2，则图中三个阴影部分的面积和为26考点：全等三角形的性质；平行线分线段成比例菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：根据全等三角形对应角相等，可以证明ACDEHF，再根据全等三角形对应边相等BC=CE=EF，然后利用平行线分线段成比例定理求出HF=3PC，KE=2PC，所以PC=DK，设DQK的边DK为x，DK边上的高为h，表示出DQK的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积解答：解：ABCDCEHEF，ACB=DEC=HFE，BC=CE=EF，ACDEHF，KE=2PC，HF=3PC，又DK=DEKE=3PC2PC=PC，DQKCQP（相似比为1）设DQK的边DK为x，DK边上的高为h，则xh=2，整理得xh=4，SBPC=x2h=xh=4，S四边形CEKQ=3x2h2=3xh2=342=122=10，SEFH=3x2h=3xh=12，三个阴影部分面积的和为：4+10+12=26故应填26点评：本题主要利用全等三角形的性质，找出阴影部分的图形边的关系和三角形的面积公式的解题的关键三解答题（共10小题）16（2013涪陵区校级模拟）如图，ADE的顶点D在ABC的BC边上，且ABD=ADB，BAD=CAE，AC=AE求证：BC=DE考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：求出AB=AD，BAC=DAE，根据SAS证ABCADE，推出BC=DE即可解答：证明：ABD=ADB，AB=AD，BAD=CAE，BAD+DAC=CAE+DAC，即BAC=DAE，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS），BC=DE点评：本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，关键是推出ABCADE17（2013成都校级模拟）如图，点C是线段AB上除A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BEC，连结AE交DC于M，连结BD交CE于N，AE与BD交于F（1）求证：AE=BD；（2）连结MN，仔细观察MNC的形状，猜想MNC是什么三角形？说出你的猜想，并加以证明考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）先由ACD和BCE是等边三角形，可知AC=DC，CE=CB，DCA=60，ECB=60，故可得出DCA+DCE=ECB+DCE，ACE=DCB，根据SAS定理可知ACEDCB，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由（1）中ACEDCB，可知CAM=CDN，再根据ACD=ECB=60，A、C、B三点共线可得出DCN=60，由全等三角形的判定定理可知，ACMDCN，故MC=NC，再根据MCN=60可知MCN为等边三角形解答：（1）证明：ACD和BCE是等边三角形，AC=DC，CE=CB，DCA=60，ECB=60，DCA=ECB=60，DCA+DCE=ECB+DCE，ACE=DCB，在ACE与DCB中，ACEDCB，AE=BD；（2）解：MNC是等边三角形理由如下：由（1）得，ACEDCB，CAM=CDN，ACD=ECB=60，而A、C、B三点共线，DCN=60，在ACM与DCN中，ACMDCN，MC=NC，MCN=60，MCN为等边三角形点评：本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键18（2013秋广州校级期中）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60，BDC=120，BD=DC探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1）如图1，ABC是周长为9的等边三角形，则AMN的周长Q=6；（2）如图2，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+CN=MN；此时=；（3）点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）构建全等三角形来实现线段的转换延长AC至E，使CE=BM，连接DE根据题意得到MBD=NCD=90，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB=CE，BD=DC，因此两三角形全等，那么DM=DE，BDM=CDE，EDN=BDCMDN=60三角形MDN和EDN中，有DM=DE，EDN=MDN=60，有一条公共边，因此两三角形全等，MN=NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE=CN+CE，因此NM=BM+CN可根据L的值确定与Q的值；（2）如果DM=DN，DMN=DNM，因为BD=DC，那么DBC=DCB=30，也就有MBD=NCD=60+30=90，直角三角形MBD、NCD中，因为BD=CD，DM=DN，根据HL定理，两三角形全等那么BM=NC，BMD=DNC=60，三角形NCD中，NDC=30，DN=2NC，在三角形DNM中，DM=DN，MDN=60，因此三角形DMN是个等边三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM，三角形AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB，三角形ABC的周长L=3AB，因此Q：L=2：3（3）如果DMDN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换延长AC至E，使CE=BM，连接DE（1）中我们已经得出，MBD=NCD=90，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB=CE，BD=DC，因此两三角形全等，那么DM=DE，BDM=CDE，EDN=BDCMDN=60三角形MDN和EDN中，有DM=DE，EDN=MDN=60，有一条公共边，因此两三角形全等，MN=NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE=CN+CE，因此NM=BM+CNQ与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的解答：（1）解：如图2，延长AC至E，使CE=BM，连接DE，BD=CD，且BDC=120，DBC=DCB=30，又ABC是等边三角形，MBD=NCD=90，在MBD与ECD中，MBDECD（SAS）DM=DE，BDM=CDEEDN=BDCMDN=60在MDN与EDN中，MDNEDN（SAS），MN=NE=NC+BM，AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+BM）=（AM+BM）+（AN+NC）=AB+AC=2AB，等边ABC的周长L=3AB=9，即AB=3，则Q=6；（2）解：如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN此时=；（3）猜想：（2）中的结论仍然成立，证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE，BD=CD，且BDC=120，DBC=DCB=30，又ABC是等边三角形，MBD=NCD=90，在MBD与ECD中，MBDECD（SAS）DM=DE，BDM=CDEEDN=BDCMDN=60在MDN与EDN中，MDNEDN（SAS），MN=NE=NC+BM，AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+BM）=（AM+BM）+（AN+NC）=AB+AC=2AB，等边ABC的周长L=3AB，=故答案为：（1）6；（2）BM+NC=MN；点评：此题考查了三角形全等的判定及性质，题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键19（2008杭州）如图，在等腰ABC中，C