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文档简介

利用空间向量求空间角目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；一、复习回顾向量的有关知识： abO（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：二、知识讲解与典例分析知识点1：两直线所成的角（范围：）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a与b，那么直线a与b 所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为和，问题1： 当与的夹角不大于90时，异面直线a、b 所成的角与 和 的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90时，异面直线a、b 所成的角与 和的夹角的关系？ 结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系，则ABCA1B1C1xyZD ，即 和所成的角为总结: （1）与相等吗？（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？知识点2、直线与平面所成的角（范围：）（图1）思考：设平面的法向量为，则与的关系？（图2）据图分析可得：结论：例2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值.分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角ABCA1B1C1xyZD解：如图建立空间直角坐标系，则 设平面的法向量为由取，设和所成角为 和所成角的正弦值.知识点3：二面角（范围：）DCBAl方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中.结论：法向量法ll结论： 或 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例3、如图，是一直角梯形，面，求面与面所成二面角的余弦值.解：如图建立空间直角坐标系，则 易知面的法向量为 ， 设面的法向量为，则有 ，取，得， 即所求二面角的余弦值为.练习1：如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点求二面角的余弦值；xzABCDOFy解：取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系设平面的法向量为，令，得平面的一个法向量设平面的法向量为，令，得平面的一个法向量 , 所求的二面角的余弦值为。练习2: 如图2，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。AzyxDCBS图2解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，则S（0，0，）， A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0）， ，显然平面SBA的一个法向量为=(1，0，0)，设平面SCD的一个法向量为=(x，y，z)，则平面SCD
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