华工高数作业本第八章答案.pdf

院 系 班级 姓 名 作业编号 第八章 重积分 作业作业 9 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 1 利用二重积分的性质 比较下列积分的大小 1 2 d D xy 与 3 d D xy a D 是由直线及0 0 yx1 yx所围成的闭区域 b D 是由圆周所围成的闭区域 2 1 2 22 yx 解 a 因为在区域内部有 23 1 xyxyxy 从而 2 d D xy 大 b 因为在区域内部有 23 1 xyxyxy 从而 3 d D xy 大 2 e d xy D 与 2 ed xy D a D 是矩形闭区域 10 10 yx b D 是矩形闭区域 10 01 yx 解 a 因为在区域内部有 2 02 1 xyxy xyxyee 0d xy D e 大 3 ln 1 dxyzv 与 2 ln 1 dxyzv 其中 是由三个坐标面与 平面1 zyx所围成的闭区域 解 因为在区域内部有 1 12 0ln 11xyzexyz 从而 2 0ln 1ln1xyzxyz 因此ln 1 dxyzv 大 1 高等数学 同步作业册 2 利用积分的性质 估计下列各积分的值 1 d D Ixy xy 其中 D 是矩形闭区域 10 10 yx 解 因为在区域内部有 1 2 xy xyD 1 因此02I 2 222 ln 1 dIxyz v 其中 为球体 1 222 zyx 解 因为在区域内部有 222 4 1ln 1 ln2 3 xyzV 因此 4 0l 3 In2 3 d L Ixys 其中 L 为圆周位于第一象限的部分 1 22 yx 解 因为在曲线上积分 不妨设cos sin 2cossin2sin2 4 xt ytxyttt 2s L 因此2 22 2I 4 222 1 dIS xyz 其中 为柱面被平面1 22 yx1 0 zz所截下 的部分 解 因为在曲面上积分 从而 222 11 1 2xyz 2S 因此2I qpqqxyppxy 解 曲线方程联立 得 22 22 2 qp pxpqxqxypq 作图知 原式 22 22 2 2222 2 2 223 qy pqpqq pqpqyp p pqqyyp dydxdypq qp 5 求由四个平面1 1 0 0 yxyx所围柱体被平面0 z及632 zyx 所截得的立体的体积 解 四个平面1 1 0 0 yxyx决定的区域 D 为 01 01xy 在区域 D 内部 6236230zxy 从而所截得的立体的体积 y dx 11 00 623623 D Vxy dvdyx 1 0 7 53 2 y dy 6 化下列二次积分为极坐标系下的二次积分 1 11 00 d dyf x yx 11 cossin242 000 4 ncos sincos sinrdrdf rrrdrdf rrrdr 1 00 cos sidf rr 4 院 系 班级 姓 名 作业编号 2 23 22 0 d d x x yfxyy 2 3sin 0 4 cos sindf rrr dr 7 利用极坐标计算下列积分 1 22 ed xy D 其中 D 是由圆周所围成的闭区域 4 22 yx 解 D 是圆周 即4 22 yx02 02r 从而 2222 22 2 4 0 00 1 ed21 2 xyrr D de rdree 2 d D xy 其中是由圆所围成的闭区域 Dyxyx 22 解 D 是圆周 22 xyx y围成 知其为 3 0cossin2sin 44 r 4 从而原式 2sin 3 4 4 2 0 4 cossindrd2sin 4 D rrd r dr 3 4 42 4 0 4 148 3 1 2sin2sin 3433 4 2 2 dtdt 2 3 d D y D 是xyx 与 2222 byxa 0 0 ba 所 确定的闭区域 解 D 是圆环的关于原点对称的两部分 arb arctanarctan 与 arctanarctan 从而原式 arctanarctan 22 arctanarctan sindrdsinsin bb Da rrdr drdr dr a 33 arctanarctan arctanarctan coscos0 33 bb aa rr 由对称性更简单 因为 x yDxyD 对称点的积分微元反号 4 dx D 其中 D 是介于两圆和之间的闭区域 xyx2 22 xyx4 22 解 D 介于两圆之间 可知2cos4cos 22 r 5 高等数学 同步作业册 从而原式 4cos 22 24 2cos 22 1 cosdrdcos648 cos 3 D rrdr dr d 2 4 112112 3 1 cos7 334 2 d 2 8 用适当的坐标计算下列积分 1 22 d D xy 其中是由直线Dxy axy ay ay3 所围成的闭区域 0 a 解 作图知由直角坐标表达方便 D3 aya yaxy 22 d D xy 3 333 222 3 yaa ay aa yya dyxydxaydy 3 4 4 4444 34444 1322182 9 123121232 a a yya ayaaaaa 4 1 2 222d D Rxy 其中是由圆周所围成的闭区域 DRxyx 22 解 由表达式由极坐标表达方便 D0cos 22 rR 原式 cos 22 222233 00 2 2 drdsin1 3 R D Rr rdRr rdrRd 2 333 0 222 sin 323323 3 4 9 RdR R 3 d D xy D 111 22 yx 解 先作坐标轴平移 再用极坐标 1cos 1sin 01 02uxrvyrddudvrdrdr r 原式 1 dudv D uvuv 21 2 00 sincoscossin1drrrd 2 2 2 00 11111 sincoscossinsinsincos 432832 d 4 22 22 d D xy ab D 1 2 2 2 2 b y a x 6 院 系 班级 姓 名 作业编号 解 用广义极坐标cos sin 01 02xarybrdabrdrdr 原式 1 21 3 00 0 2 2 33 r drrdr 7 高等数学 同步作业册 作业作业 11 三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算 1 试将三重积分 df x y zv 化为三次积分 其中积分区域 分别为 1 由双曲抛物面zxy 及平面0 01 zyx所围的闭区域 df x y zv 11 000 xyx dxdyf x y z dz 2 由曲面及所围的闭区域 22 2yxz 2 2xz df x y zv 22 22 212cos 00 1 sin cos sin r r drdrf rrz dz 2 计算下列三重积分 1 3 1 d 1 v xyz 其中 为平面0 0 0 zyx 1 zyx所围 成的四面体 解 分析边界作图知为 01 01xyx 01zxy 原式 11111 32 00000 1111 1 24 1 x yxx dxdydzdxdy xyzxy 1 0 1111ln25 242121 x dx x 6 2 23d d d xy zx y z 其中是由曲面 zxy 与平面0 1 zxyx所围的闭 区域 解 分析边界作图知为 01 0 xyx 0zxy 原式 111 235612 000000 11 428264 xyxx dx dyxy z dzdx x y dyx dx 1 3 d d dxz x y z 其中 是由平面0 1 zyyx及抛物柱面 2 zx 所围的 闭区域 解 分析边界作图知为 01 0yxy 2 0zx 原式 2 111 56 000000 11 212 yyx dy dxxzdzdy x dxy dy 1 84 8 院 系 班级 姓 名 作业编号 3 利用柱面坐标计算下列三重积分 1 其中是曲面和平面 22 ed xy v 1 22 yx1 0 zz所围成的闭区域 解 原式 222 1 21121 000000 11 21 2 rrr drdr edzderdre e 2 其中 是曲面dz v 22 2yxz 及所围成的闭区域 22 yxz 解 原式 2 2 212 00 r r drdrzdz 1 21 24246 000 1117 22 2246 r drrdrrrr 12 3 22 dxyv 其中 是曲面 2 1 22 yxz 和平面2 z所围成的闭区域 解 原式 2 222 2 1 00 2r drdrr dz 2 22 3246 000 111 22 22123 drrdrrr 16 4 32 dxxyv 其中 是曲面和平面所围成 的闭区域 1 1 22 yx2 0 zz 解 先作坐标轴平移 再用柱坐标 cos 1sin 01 02 02uxrvyrdvdudvdzrdrd dzrz z 原式 1 2 3 u1dudvdz u v 212 2 33 000 coscossin1drrrrdr d 21 434232 00 2cossincos2cossincosdrrrrd r 1 2 535243 00 1111 2cossincoscossincos 5523 rrrr d 2 2 0 24 1 sinsin 55 d 9 高等数学 同步作业册 4 利用球面坐标计算下列三重积分 1 222d xyz v 其中是球面所围成的闭区域 2222 Rzyx 解 cos sin sinsin cosxyz 2 sin 0 02 0dvd d dR 原式 2 244 00 0000 1 sin2sincos 42 R R ddddRR 4 2 其中dz v 是由不等式 Rzzyx2 222 0 R 22 yxz 所 确定的闭区域 解 cos sin sinsin cosxyz 2 sin 02cos 02 0 4 dvd d dR 原式 2cos2cos 2 44 24 0 0000 cossin cossin2 4 RR dddd 4 4 4546 0 0 87 8coscoscos 66 4 RdR R 3 222 1dxyz v 其中 是不等式 1 222 zyx 22 yxz 所 确定的闭区域 解 cos sin sinsin cosxyz 2 sin 01 02 0 4 dvd d d 原式 21 42 2222 4 0 0000 1sin2coscossindddttd t 22 2 00 1 cos4sin422 2222 883216 ttt dt 5 选取适当的坐标计算下列三重积分 1 dxy v 其中是柱面及平面 1 22 yx1 0 zz 0 0 yx所围成 的在第一卦限内的闭区域 解 用柱坐标 1 cos sin 01 0 01 2 xryrdvrdrd dzrz 原式 111 2222 3 00000 0 sin1 sincossincos 88 drdr rrdzdrdr 10 院 系 班级 姓 名 作业编号 2 222d xyz v 其中 是球面所围的闭区域 zzyx 222 解 用球坐标cos sin sinsin cosxyz 2 sin 0cos 02 0 2 dvd d d 原式 cos2 22 2452 0 0000 sincossincos 210 dddd 10 d 3 22 xy v 其中 是由曲面及平面所围的闭 区域 254 222 yxz 5 z 解 用柱坐标 5 cos sin 02 02 5 2 xryrdvrdrd dzrrz 原式 2 2252 23445 5 0000 2 551 2528 242 r drdrr dzrrdrrr 4 222 2 e xyz a dxv 其中 是球面所围的在第一卦限内的闭 区域 2222 azyx 解 用球坐标cos sin sinsin cosxyz 2 sin 0 0 0 22 dvd d da 原式 2 2 22 2 000 cos sinsin a a dded 22 22 222 2 22 0 00000 1sinsin2 cossin 2224 ttaa aa ddte dtat de 2 2 22 2 4 0 0 88 a tta aa a tee dta 5 222 222 e xyz abc v d 其中 是椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 所围成的闭区域 解 用广义球坐标cos sin sinsin cosxaybzc 2 sin 01 02 0dvabcd d d 原式 21 2 000 sinddeabcd 1 2 0 0 2cos42abcdeeabc 11 高等数学 同步作业册 作业作业 12 重积分的应用重积分的应用 1 球心在原点 半径为R的球体 在其上任意一点的体密度与该点到球心的距离成 正比 求这球体的质量 解 设球面的方程为 2222 xyzR 球的密度为 22 kxyz 2 则球体的质量为 222 dvkxyz dv 2 3 000 sin R ddkd 34 0 0 2cos R kd k R 2 求球体的质心 这里假设球体内各点处的密度等于该点到坐 标原点的距离的平方 azzyx2 222 解 由对称性 质心应该在 z 轴上 可设为 0 0 0 z 222 z Mz xyz dv 2 cos2 2 4 000 sincos a ddd 5 2 657652 0 0 2 cos2cos2 2sincos 557 aaa d 35 222 Mxyz dv 2 cos2 2 3 000 sin a ddd 4 2 545542 0 0 2 cos2cos2 2sin 54520 aaa d 0 8 7 z a M z M 3 设均匀平面薄片为椭圆形闭区域 1 2 2 2 2 b y a x 求转动惯量 解 用广义极坐标 212 22223 000 1 cos21 sin 244 x D 3 Iy ddb rabrdrabdab 212 22223 000 1cos21 cos 244 y D 3 Ix dda rabrdra bda b 2222 4 Oxy D IxydIIabab 12 院 系 班级 姓 名 作业编号 4 设半径为R的球体内每一点密度的大小与该点到球心的距离成正比 求质量为M 非均匀球体对其直径的转动惯量 解 设球面的方程为 2222 xyzR 球的密度为 22 kxyz 2 则球体对其直径的转动惯量为 22222 xykxyz dv 2 6 533 0000 0 14 sin2coscos 36 R R k ddkdkk R 6 9 5 求面密度为常数 的均匀圆环形薄片 2222 rxyRz0 对位于轴上的 点处的单位质量的质点的引力 z 0 0 0Paa 解 设环域上点 0 x y处的单位面积产生的引力微元为 23 x yaG dr dFGd rrr r r 由对称性0 xy FF 3 3 2 22222 0 R zz DDr aG daG FdFdrdr xyara 222222 11 2 R r aG aG raRara 6 一均匀物体 密度 为常量 占有的闭区域 由曲面和平面 22 yxz 0 z ax ay 所围成 1 求物体的体积 2 求物体的质心 3 求物体关 于 z 轴的转动惯量 解 22 3 222 00 8 14 33 xyaaaaa aaaa a Vdxdydzdxxydyaxdx 4 a 由对称性 质心应该在 z 轴上 可设为 0 0 0 z z Mz dv 22 4422 000 22 xyaaaa aa dxdyzdzdxxyx ydy 35 426 6 0 25 2 3545 a aa axxdxa 2 0 7 15 z a M z V 22 2 2222 0 112 45 xyaaaa z aaaa 6 Idxdyxydzdxxydya 13 高等数学 同步作业册 第八章 重积分 测试题第八章 重积分 测试题 1 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论 1 设有空间闭区域 0 2222 1 zRzyxxyx 0 0 0 2222 2 zyxRzyxxyx 则有 D A 12 d4dx vx v B 12 d4dy vy v C 12 d4dz vz v D 12 d4dxyz vxyz v 2 设平面闭区域 ayxaxayxD ayxaxyxD 0 1 则 cos sin d d D xyxyx y A A 1 2cos sin d d D xy x y B 1 2d d D xy x y C 1 4cos sind D dxyxyx y D 0 3 设 f x y是有界闭区域 22 D xya2 上的连续函数 则当时 0a 2 1 d d D f x yx y a 得极限为 B A 不存在 B 等于 0 0 f C 等于 D 等于 1 1 f 1 0 f 2 选择适当的坐标系计算下列二重积分 1 cos dxy D 是由直线D 0 2 yx yx 所围成的区域 解 作图 分块积分 原式 12 422 0 42 cos dcos dcos cos y x DDy x xyxydyxy dxdxxy dy 14 院 系 班级 姓 名 作业编号 4242 00 44 cos2cos2 1 sin2sin21 22 yx y dyxdxyx 2 0 cos2 1 22 y y 2 2d y D 其中 D 是由 0 4 xxy 和xycos 所围成 解 作图 分块积分 原式 cos0 3322 22 0cos 4242 coscos 33 x x xx dxy dydxy dydxdx 233 42 1sin1sin45 sinsin2 333391 xx xx 2 d 3 22 max e xy D 其中 01 01 Dx yxy 原式 22222 1111 1 0 0101010 ee2e2ee yxx xyxxx dxdydydxdxdyxdxe 1 4 22 d D xy 其中 D 是由和2 2 yxyxyxycos 所围成的平面 区域 且 1 y 解 作图知xycos 没有用上 原式 2 22 63 224 11 4 33 y y yy dyxydxydy 2 754 1 761 2153105 yyy 5 2 d D yx D 00 222 RyRyxxRy 解 作图知 2 0 2 DyR yRxRy 分块积分区别处理较方便 原式 22 22 0 2 Ry R y R dyxyxy dx 0 2 2 22 000 2sincos RR y R dyxydxdrrrdr 15 高等数学 同步作业册 3342 4 00 12sincos 348 R RyR dydR 3 交换下列二次积分的次序 1 1 4 4 2 04 d d y y yf x yx 2 04 224 d x x dxf x yy 2 2 111 0 d d x x xf x yy 22 122 0010 d dd yy y yf x yxyf x y dx 3 2 1 133 2 0010 d dd d xx xf x yyxf x yy 13 2 0 d y y yf x y dx 4 将 d d D f x yx y 变为极坐标形式的二次积分 其中 D 由不等式和 所规定 0 0 yx 222322 4 yxayx 解 由cos0 sin00 2 xryr 2 22 3222 40sinxya x yra 从而 sin2 2 00 d dcos sin a D f x yx ydf rrrdr 5 计算 2 d D yx 其中 D 是矩形域 10 1 yx 解 作图 需要分块积分 原式 2 2 1111 22 1011 1 2 x x dxxy dydxyxdyxxdx 24 1 1 2435 00 22221 1 221 35351 xxdxxxx 1 5 6 计算 sin d d d yx x y z x 其中 由 0 0 2 yx yzxz 所围 解 作图或分析推理 得 0 0 0 22 xyxzx 原式 222 00000 sinsin 2 x xx yxyx dxdydzdxx dy xx 22 22 00 00 cos1cos11 coscos 424224 xxx xdxxdx 2 16 院 系 班级 姓 名 作业编号 7 将三次积分 222 2 13 222 00 dd y yxy y y dIyxf xyz z 变为柱坐标及球坐标 的形式 解 由上下限知 222 01 03yyyxyyzxy 2 从而由坐标转化公式可推出区域表达式 因此得出 在柱坐标下 sin3 22 000 dd r dIr rf rzz 在球坐标下 sin 222 sin 00 6 dd sin dIf 8 计算 222 ed xyz xzv 其中 222 14 0 xyzxyz0 0 解 由知 12 0 0 22 从而 原式 22 222 001 ddcossincossin de 4 22 001 dcossincossin dd 2 t t et 2 44 22 101 0 111 cossin2sind 2242 tt tee dt 2 4 24114 10 0 11 cosd425 2424 t eeeee 9 计算下列三重积分 1 222 222 ln 1 d 1 zxyz v xyz 是由球面所围成的闭区域 1 222 zyx 解 由于当时就有 x y z x yz 而积分微元 222 222 ln 1 d 1 zxyz v xyz 在对称点刚好反号 从而 222 222 ln 1 d 0 1 zxyz v xyz 2 其中 22 yz dv 是由 xOy 平面上曲线绕xy2 2 x轴旋转而成的曲面 与平面所围成的闭区域 5 x 解 曲线绕xy2 2 x轴旋转而成的曲面为 22 2yzx 与平面的交线为 5 x 22 10 5yzx 所围成的闭区域为 2 02 010 5 2 r rx 17 高等数学 同步作业册 2 210510 5 2223 000 2 d25 2 r r yzvdrdrr dxrd r 10 46 0 250 10 463 rr 10 求平面1 c z b y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积 解 平面为1 xy xyc zczz abab c 1 2222 00 11 x b aa D cccc Sdxdydx abab dy 2222 22 0 111 111 22 a ccxabccabc bdx abaababc 2 11 设 f x在 上连续 试证 a b 1 1 d d d b