南阳师范抽象代数试卷06级.pdf

南阳师范学院南阳师范学院 数学与应用数学数学与应用数学 信息与计算科学信息与计算科学 2007 2008 学年第二学期数学与统计学院学年第二学期数学与统计学院 06 级级 专业 近世代数 期终试卷 专业 近世代数 期终试卷 A 一 判断题 每小题 1 分 共 10 分 正确的 打 错误的打 1 循环群的同态象也是循环群 2 一个群中两个子群的交与并均为子群 3 对于集合 A B 总有 ABAB 4 任何群中阶有限的元素所成的集合构成原群的一个子群 5 任何群均与其商群同态 6 任何群中指数为 2 的子群必为正规子群 7 有理数域 Q 的自同构只有恒等自同构 8 在群 G 中 HG aHbH aHbH a b c 则 9 在同构的意义下 n 阶循环环是唯一的 10 n 个元素的集合上 M 上可以定义 n 种不同的代数运算 二 单项选择题 每小题 2 分 共 20 分 1 设为群G的元素 则除了A 外 其他元素的阶一定相同 A B C D abc 1 b ab 1 cac a 2 下列集合中 A 是整数加群的子群 A B 2 n n Z 21nn Z C D 2 n n Z 2 n nZ 3 下列集合中 B 不是非零有理数乘法群的子群 Q A Q B 1 C 1 1 D 212 2 2 1 2 2 4 5 阶有限群的子群个数为 B A 0 B 2 C 1 D 5 5 设R为环 a bR 下列集合中 D 一定是R的理想 A aRar rR B Rara rR aRbarb a bR C D RaRrat r tR 6 每一个有限群都和一个 D 群同构 A 交换群 B 对称群 C 变换群 D 置换群 7 实数集合R的下列子集合中 D 作成整环但不作成域 C 作成域 A 非负实数集合 B 奇数集合 C 有理数集合 D 偶数集合 8 设H为有限群G的子群 Ga 下列结论不一定正确的是 D A 1 aHa G B 1 aHa H C H整除 D GaHHa 9 15 阶循环群的生成元个数是 A 5 B 2 C 15 D 8 10 环R的中心未必是环R的一个 D A 子群 B 子环 C 交换子环 D 理想 三 填空题 每小题 2 分 共 14 分 1 设 n 为 一 个 正 整 数 则 n 阶 循 环 群 均 与 nn UZn或 或 次单位 根群 或模n剩余类加群同构 无限循环群均与Z 或整数加群 同构 2 置换 14 273 的阶为 6 3 Gauss 整环 Z i 1 i的全部单位为 4 设 R 是整数集合 则 R 对于运算b 1 ababa baba 作成一个 环 交换环 其中 1 为零元素 a的负元素为 1 a 5 除环的特征只能为 素数或无限 或零 6 整数环是主理想整环 唯一分解整环 有单位元整环 且12 30 6 7 在四元数除环中 元素k23aij 的逆元素为 1 14 2 3ij k 题号 一 二 三 四 五 总分 分数 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 学院 专业 年级 班 姓名 学号 装 订 线 1 四 证明题 每小题 7 分 共 28 分 1 设 H 和 K 是群 G 的两个正规子群 且二者的交为 证明 H 和 K 的元素相乘时必可交换 e 证明 aH bK 1111 aba bababa ba b 1 11 ababK a ba bH 11 2 分 11 11 abaK ba bH 11 b 11 a be 所以 因此abaHK ab 所以abba 5 分 2 证明 实数加群R 不能与实数乘群 R 同构 证明 如果有理加群R 与非零有理乘法群同构 即存在同构映射 R RR 0 1 则 a 2 分 设1 则 2 22222 1 aaaaa a 与 2 a R 矛盾 5 分 证明二 如果有理加群R 与非零有理乘法群同构 则存在同构映射 R RR 2 分 于是 aR 2 22222 aaaaa a 0 与 是满设矛盾 此时 RR R 5 分 证明三 如果有理加群R 与非零有理乘法群同构 则存在同构映射 R RR RR 2 分 中存在2阶元素 1 但是 中所有非零元素的阶无限 与同构映射下 不改变元素的阶矛盾 5 分 3 设 R 有单位元素 a bR 证明 如果 且在 R 中 有 逆元素 则 abab 1 a ba 1 a ab 证明 由于 在 R 中有逆元素 并且 1 1 1 1 1 1abbababab 1 所以b 1 1 a 1 1 1ba 于是 1 abba baabab 即1 从而 4 证明 在有单位元素的整环 5 5 Ziabi a b Z中 1 3 是它的不可约元素 但不是素元 2 6 在 5 Zi中不能唯一分解 证明 1 易见 5 5 Ziabi a b Z的单位只有 1 和 1 1 分 如果 3 存在真因子5 5 xyiZ i 则存在真因子 使得3 22 于是 9 22 1 9 1 9 22 但是 所以3 但是 5 Zi 222 5xy 中 满足3 的元素 不存在 所以 3 不存在真 因子 即 3 是不可约元素 1 分 但是3 15 15 i i3 不整除1i 5 和1i 5 所以 3 不是素元素 2 分 2 62 3 15 15ii 易见2 3 15 15 i 与 i没有相伴关系 其中 222 2 2 3 9 15 15 6ii 2 并且不存在元素5 5 xyiZ 222 52xy 或i 满足3 即2 3 15 15 i 与 i均为不可约元素 所以2 315 15i i均为不可约元素 所以 6 的分解式不唯一 3 分 注 2 中只要说明仿 1 可以证明 2 315 15i i均为不可约元素即可 得分 评卷人 学院 专业 年级 班 姓名 学号 装 订 线 2 五 计算与讨论题 每小题 7 分 共 28 分 1 举例说明 1 一个群 G 的正规子群的正规子群不一定是 G 的正规子群 2 存在着这样的一类群 G 其正规子群的正规子群仍然是原群的 正规子群 请举出两类这种群例 解 1 如中 4 S 1 34 HKN S 4 NS 4 1 12 34 13 24 14 23 12 那么易 知 且 但不成立 4 分 4 HNH 2 存在着这样的一类 Hamilton 群和交换群 3 分 2 在群的同态映射下 一个元素与其象的阶是否一定相等 在同 构 映射下如何 解 1 在群的同态映射下 一个元素与其象的阶未必相等 1 1 x x 为偶数 为奇数 1 1 GZGGGx 则 是一个同态映射 但是1 1 1 1 1 1 GG 1 2 又如 0 1 2 3 GZG GGxxx G 则 是一个同态映射 但是2 2 G 2 2 2 3 5 分 2 在群的同构映射下 一个元素与其象的阶相等 事实上 设 aG a maan 则 mmm aeG amaaeen m 反之 nnn eaaeaem 4 n 于是 m n 3 5 分 3 偶数环 R 的有哪些素理想 4R 0 2 Rpp 为 4N 满足4 是否为域 解 1 偶数环 R 的素理想有 素数 3 分 2 假设存在偶数环 R 的理想N 是否为 R 的极大理 想 则存在 所以 xkkZ 2N 于是 R2NRN 4是 R 的极大理想 2 分 3 不是域 因为存在零因子 2 20 4R 2 分 或 3 18 不是域 因为不存在单位元素 2 分 4 给定剩余类环Z 1 给出它的所有的零因子元素 可逆元素 2 计算它的全部的子环及其特征 解 1 18 Z 的零因子元素有 2 3 4 6 8 9 10 12 14 15 16 可逆元素有 5 7 11 13 17 1 2 3 6 9