多米诺骨牌与数学归纳法_数学归纳法教学之我见_王家林.pdf

新 3 卷 第2期 8199 年 1 2月 深 圳 教 育学院学 报 JO UNL RAOFSHENHZNEE D U CTA IO NC OL LEGE V 0 1 3 Oe C N 0 2 19 98 多米诺骨牌与数学归纳法 数学 归纳法教学之我见 王家林 摘要本文将数学归纳法 与多米诺骨牌游戏类比 形象地解释了数学归纳 法的原理 达到了化难为易的目的 将运用数学归纳 法 的技巧 归纳为一个 凑 字 使数学归纳 法的证题思路具体化 关键词中学数学教育数学归纳 法多米诺骨牌 数学归纳法作为一个重要的数学方法 它的依据是自然数的皮亚诺公理中的归纳 公 理 高级中学代数教材只介绍 了数学归纳法的具体方法和步骤 对其根据未作任何说明 更缺少适当的铺垫 令广大初学者颇感困难 因此 数学归纳法既是高中数学的一个重点 也是难点 由于学生对数学归纳法的原理理解不透 导致在运用数学归纳法时无所适从 只能简单照搬教材中例题的方法和步骤 于是有的学生在证 明归纳递推时 只 是将归纳假 设中的 K简单地改为K l 无任何实质性的推导 以为完成了规定的程序便大功告成了 为了突出重点 突破难点 笔者在实际教学中 精心设计新课 引入 将多米诺骨牌与 数学归纳法联系起来 形象地解释了数学归纳法的递推原理 在讲述数学归纳法的应用时 将数学归纳法的证题技巧归纳为一个 凑 字 取得了较好的教学效果 一 卜面将具体做法 简述如 一 卜 1 关 于数 学归纳法原理的教学 设想有一组从左 至 右一字排列的无穷的多米诺骨牌 如卜图 依次编号为 1 2 3 KK l 在玩这组多米诺骨牌游戏时 应当满足如下两个条件 l 由左 至 右推倒第一块骨 牌 2 如果第 K 块骨牌向右倒下 那 么第K l 块骨牌一定随之向右倒下 牌间距离小于牌 第 2期王家林 多米诺骨牌与数学归纳法 高 这里 KEN 才能完成这个游戏 即保证全部骨牌自左至右倒下 上述两个条件缺一不 可 缺少条件 l 骨牌一块也不能倒下 缺少条件 2 游戏将中止于某一块骨牌 也就是说 条件 l 是完成游戏的前提 即基础 条件 2 使游戏能通过依次递推一直 进行下去 以此游戏帮助学生理解数学归纳法原理中的归纳基础 l 和 归纳递推 2 分别有何 作用 既形象又生动 使深奥枯燥的数学原理与简明有趣的数学游戏有机地装合起来 寓 教于乐 事半功倍 学生初学数学归纳法原理时 往往不能理解 既然 l 中已验证 n n 时命题成立 为什么 2 中假 设 n k 时命题成立 需强调 k妻n 0 而不是 k n 0 l 呢 为此 可摆一组 由左至右 一字排列的多米诺骨牌如下图 让其满足如下两个条件 口口 口谬 口 一 口口 n o 1 no 2kk l l 自左向右推倒第 n 块 2 如果第 k块 自左向右倒下 那么第 k 1块也一定随之自 左 向右倒下 k n 0 l 那么 这组骨牌能全部倒下来吗 不一定 因为只要第 n 块与第 n 0 l 块间 的距离大于骨牌的高 就只能倒下第n 0块 其余都不能倒下 游戏终止的根源是 不能保证第n 0 l块倒下 因为在 2 中 k不能取到 n 有了如上一些讨论 学生能够很快地理解数学归纳法的原理 从而为下面学习其应用 打下 了扎实的理论基础 2 关 于数学归纳法的应用的教学 数学归纳法作为数学学科特有的推理方法 有其固定的方法和步骤 初学者往往对归 纳递推的证明感到困难 为此 我们将归纳递推的证明技巧总结为 二凑 即 一凑假 设 二凑结论 一凑假设 即将 n k 1的情形凑成 nk时的情形 以便于利用归纳假设 三凑结论 即将 利用归纳假设后所得结果凑 成 n二k l 时的结论 完成由 n k 成立到 n k 1 也成立的转化 从而证明归纳递推 举例说明如下 例1 用数学归纳 法证明 尸 一y n Z N 能被 y整除 高级中学课本 代 数 下册 P120 例 2 证明 l 略 2 假设当 n一k koN 时 尸k 一y Zk 能被 x y 整除 那么 x 2 k l 一 k l 2 Zk 一y Z y Z k x Z 燮尘竺 2yZk 一y Z yZk 一凑假设 46 深圳教育学院学报 1998 一一一一一份 一一 一一一一 一 一一 一 xZ xZk 一y Z k xZ 一 yZ y Z k 例2 用数学归纳法证明 卜 六 贡 洁 2 一 告 N 且 2 高级 中学课本 代数 下册 1 P2 5 第 6题第2 小题 一尸 假设当 n二k k 2 时 不等式成立 即 l 证 l 一l 爪 一 2 之 J l 十一二 卜Z 人 那么 l 十 ll 二 r 2艺32 毛 一上一 k乙 k l 2 l k 一 2 l 一 卜人 l 1 而 而 二凑结论 1l 户千 卜 k 伟 2 氏 k l 2 口碑 妇 币石了 n N I 略 2 假设 n k k N 时不等式成立 那么 卜lx 号 迈币 二凑结论 怡 喘 俪 喘 揣湍箭痴 澎瓮 Zk 2 俩而 币又 巧 一 撰毕组 杯不高 二不石百 即 n二k l时 不等式也成立 根据数学归纳法原理 由以上三例可以看出 有