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第三章正弦交流电路 3 1正弦交流电的基本概念一 电量的分类 把电流 电压 电动势等统称为电量 恒定量 直流 时变量 周期性时变量 非周期性时变量 正弦量 非正弦周期时变量 二 正弦量和正弦交流电路 正弦量 随时间按正弦规律变化的电压和电流 正弦交流电路 所有激励和响应都为同频正弦量的电路三 正弦交流电的一般表达式和波形图 注意 写正弦量的瞬时表达式或波形图时 要同时标明参考方向 仅当参变量im 确定后 正弦量才能被确定 所以被称为三要素 反映大小的量 反映初始值的量 反映交变快慢的量 正弦量完整变化一周所需要的时间 正弦量在单位时间内变化的周数 正弦量单位时间内变化的弧度数 周期与频率的关系 角频率与周期及频率的关系 工频 工业角频率 四 正弦量的三要素 正弦量任一瞬间的值 小写表示 瞬时值中的最大值 大写字母加注脚 从周期量做功与直流量做功等效的观点来定义的 大写字母表示 让周期电流i和直流电流i分别通过两个阻值相等的电阻r 如果在相同的时间t内 两个电阻消耗的能量相等 则称该直流电流i的值为周期电流i的有效值 对于正弦电流 因 所以正弦电流的有效值为 同理 正弦电压的有效值为 任一瞬间电角度 时的起始相位 注 1 计时起点不同 不同 但相同 注意 初相位在主值范围内 通过波形图要能确定瞬时表达式 幅值 纵轴 角频率 横轴初相位 离原点最近的 由负向正过渡的零点所对应的 t的相反数 不同正弦量只要频率相同 就可讨论其相位差 不同频率没有相位差 幅度 已知 频率 初相位 a 如果相位差为 180 或 180 称为两波形反相 例 1 复数表达式 欧拉公式 补充 关于复数的复习 复数加 减运算 复数的运算 2 复数乘 除法运算 3 2正弦量的相量表示法 一 旋转因子和旋转矢量 旋转因子 ej t模为 幅角为 t的复数 为常数 幅角随时间t的增加 以 的速率匀速增加 t 2 3 2 2 时 ej t 1 j 1 j 1 旋转矢量aej t设a ej 则 aej t ej ej t ej t 正弦量具有幅值 频率及初相位三个基本特征量 表示一个正弦量就要将这三要素表示出来 表示一个正弦量可以多种方式 这也正是分析和计算交流电路的工具 三角函数表示法 2 正弦波形图示法 见右图 二 正弦量的几种表示方法 概念 一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示 矢量长度 矢量与横轴夹角 初相位 3 旋转矢量表示法 i y x o o t 正弦量用旋转矢量来表示 长度 振幅起始位置与x轴夹角 初相随时间逆时针匀速旋转的角速度 角频率 相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具 把随时间变化的正弦量用复数表示出来 把三角计算变为复数的代数运算 要点 代表正弦量的矢量可以用复数来表示 从而使正弦量的运算归结为复数的运算 4 相量表示法 三 用相量来表示正弦量1 相量的引出 根据欧拉公式 一个复指数函数 可以写成 实部是余弦量虚部是正弦量 则 正弦量可以用上述形式复数函数描述 正弦量可以用上述形式复数函数描述 取复数函数的虚部 复指数函数中的一个复常数 复常数定义为正弦量的相量 记为 相量的表示 为 最大值 相量 为 有效值 相量 相量是一个复数 注意 1 相量可以代表一个正弦量 但不等于该正弦量 2 相量中含振幅 或有效值 和初相位 但不含三要素之一的角频率 2 相量图相量在复平面上的几何表示 称为相量图 相量图显示出同频正弦量之间的相位关系 注意 只有同频正弦量才能在同一相量图表示 适用平行四边形或三角形法则 3 相量法正弦交流电路中的分析解题方法 相量图法 相量解析法 例1 已知瞬时值 求相量 求 例2 已知相量 求瞬时值 计算相量的相位角时 要注意所在象限 例 四 关于90 算子的讨论 j和 j 可以表示为 可见 设有两个同频率的正弦电压 五 用相量法求正弦量的和与差 所以 两个同频率正弦量和的相量等于这两个正弦量的相量和 可得 基尔霍夫定律的相量形式 则 几个同频率正弦量求和可以简化为它们的相量求和 对于正弦交流电路满足 即 瞬时值和相量满足基尔霍夫定律 有效值不满足 i1 i2 i3 0 例 求i i1 i2 解 相量图 3 3电阻元件上的正弦稳态响应 一 电压电流关系 取关联参考方向时 u ri 设 i imsin t i 则 u ri rimsin t i umsin t u 结论 1 电阻的电压有效值与电流有效值仍然满足欧姆定律 ur rir 电阻的电压ur与电流ir同相位 即 u i 电阻的电压ur与电流ir同频率 瞬时电压和瞬时电流 2 r中的电压相量与电流相量 设电阻电流相量为 故电阻电压 电流的相量形式仍满足欧姆定律 二 电阻元件上的功率 瞬时功率功率是时间的函数 关联时的瞬时功率都可表示为 瞬时功率 这说明电阻元件上能量转换的 不可逆性 因此电阻是一个耗能元件 它包含一个恒定分量和一个变化分量 变化的频率是电源频率的两倍 2 平均功率 有功功率 p 一个周期内的平均值 大写 p ui u ir i2r u2 r 3 4理想电感元件上的正弦稳态响应 一 电压电流关系 1 l中的瞬时电流与电压 基本关系式 结论 a 电感电压 电流有效值的关系为 ul lil b 电感电压超前电流90 即 u i 90 定义xl l 称为感抗 具有与电阻相同的量纲 单位是欧姆 感抗的大小反映了电感对正弦电流抵抗能力的强弱 2 l中的电流相量与电压相量 强调 感抗 xl l 是频率的函数 是电感电压 电流有效值之间的比 且只对正弦波有效 不是瞬时值或相量的比 二 电感电路中的功率 1 瞬时功率p 电感中激励源是正弦量时 功率也按正弦规律变化 但频率是电源频率的两倍 其幅值是电流与电压有效值的乘积 储存能量 释放能量 可逆的能量转换过程 p为正弦波 频率加倍 2 平均功率p 有功功率 结论 纯电感不消耗能量 只和电源进行能量交换 能量的吞吐 从波形图看 功率大于零的面积等于小于零的面积 3 无功功率q q的单位 乏 千乏 var kvar q的定义 电感瞬时功率所能达到的最大值 用以衡量电感电路中能量交换的规模 瞬时功率的幅值 例 一电感交流电路 l 100mh f 50hz 1 已知 a 求电压 1 已知 求电流 并画相量图 1 由题知感抗为xl l 2 50 0 1 31 4 则由相量形式的欧姆定律知 2 电流为 电流为 相量图分别为 1 亦可根据电感元件电流 电压瞬时值关系用解析法计算 1 中电感元件的有功功率为 电感元件的无功功率为 3 5理想电容元件上的正弦稳态响应 一 电压电流关系 1 c中的瞬时电流与电压 基本关系式 设 则 结论 a 电容电压 电流有效值的关系为ic cuc b 电容电压滞后电流90 即 u i 90 其单位也是欧姆 则 2 c中的电流相量与电压相量 设 则 强调 容抗 xc 1 c 是频率的函数 是电容电压 电流有效值之间的比 且只对正弦波有效 不是瞬时值或相量的比 二 理想电容元件上的功率 1 瞬时功率 电容中激励源是正弦量时 功率也按正弦规律变化 但频率是电源频率的两倍 其幅值是电流与电压有效值的乘积 i u 2 平均功率p 结论 纯电容不消耗能量 只和电源进行能量交换 能量的吞吐 从波形图看 功率大于零的面积等于小于零的面积 瞬时功率达到的最大值 吞吐规模 3 无功功率q 单位 var 乏 例 求电容电路中的电流 瞬时值 i领先于u90 电流有效值 单一参数正弦交流电路的分析计算小结 电路参数 电路图 正方向 复数阻抗 电压 电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率 r i u 设 则 u i同相 0 l i u c i u 设 则 设 则 u领先i90 u落后i90 0 0 基本关系 1 单一参数电路中的基本关系 小结 在正弦交流电路中 若正弦量用相量表示 电路参数用复数阻抗 表示 则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似 2 单一参数电路中复数形式的欧姆定律 电压 电流瞬时值的关系符合欧姆定律 克氏定律 3 简单正弦交流电路的关系 以r l电路为例 电流 电压相量符合相量形式的欧姆定律 克氏定律 r l 3 6复合参数支路上的正弦稳态响应 一 r l c串联电路 若 则 总电压与总电流的关系式 相量方程式 则 相量模型 令 则 即 r l c串联交流电路中的复数形式欧姆定律 二 阻抗 1 注 xl和xc总是正的 但x xl xc可正可负 2 z是一个复数参数 但并不是正弦交流量 上面不能加点 z在方程式中只是一个运算工具 结论 的模为电路总电压和总电流有效值之比 而 的幅角则为总电压和总电流的相位差 3 z和总电流 总电压的关系 4 z和电路性质的关系 5 阻抗 z 三角形 注 该图三边不能画箭头 三 r l c串联交流电路的相量图 先画出参考相量 相量表达式 4 阻抗三角形和电压三角形的关系 四 复阻抗的运算 1 复阻抗的串联 分压公式 2 复阻抗的并联 y1 y2 导纳 分流公式 导纳的概念 设 则 导纳适合于并联电路的计算 单位是西门子 s 1 据原电路图画出相量模型图 电路结构不变 2 根据相量模型列出相量方程式或画相量图 3 7一般正弦交流电路的解题步骤 3 用复数符号法或相量图求解 4 将结果变换成要求的形式 在正弦交流电路中 若正弦量用相量表示 电路参数用复数阻抗表示 则直流电路中介绍的基本定律 公式 分析方法都能用 具体步骤如下 例1 电路如图所示 已知r r1 r2 10 l 31 8mh c 318 f f 50hz u 10v 试求 1 并联支路端电压uab 2 总电流 xl 2 fl 10 解 z1 10 j10 z2 10 j10 例2已知 试求 解用相量表示 所以 已知 i1 10a uab 100v 则 求 a uo的读数 求 a uo的读数 已知 i1 10a uab 100v 3 8无源单口网络上的功率 一 瞬时功率 设电压 则电流为 二 平均功率p 有功功率 总电压 总电流 u与i的夹角 被称为功率因数角 1 有功功率p的大小不仅与电压 电流有效u i有关 还与u与i的相位差 有关 说明 2 功率因数角 实际就是阻抗角 感性电路与容性电路可通过功率因数角 的正负加以区分 纯电阻时 0 纯电感时 2 纯电容时 2 3 求有功功率可以用以下式子 1 p uicos 2 p uicos z i icos rei23 p p1 p2 p3 4 p pr1 pr2 pr3 在r l c串联的电路中 无功功率其大小为瞬时功率无功分量的最大值 三 无功功率q 通过无功功率可了解二端网与外电路之间的能量交换的规模大小 当q 0时 0 电压超前电流 为感性电路 当q 0时 0 电压滞后电流 为容性电路 q uisin 求无功功率可以用以下式子 1 q uisin 2 q uisin z i isin xi23 q q1 q2 q3 ql qc 单位 伏安 千伏安 注 s ui可用来衡量发电机可能提供的最大功率 额定电压 额定电流 视在功率 5 功率三角形 无功功率 有功功率 例1 电路如图所示 已知r r1 r2 10 l 31 8mh c 318 f f 50hz u 10v 试求 1 并联支路端电压uab xl 2 fl 10 解 z1 10 j10 z2 10 j10 2 求p q s及cos icos 10 0 5 1 5w s i 10 0 5 5va q isin 10 0 5 0 0var 有功功率 视在功率 无功功率 3 9功率因数的提高 一 功率因数低带来的不良影响1 输电耗能问题2 发电设备利用问题二 提高功率因数的方法在感性负载两端并联电容器 注意 1 并入电容器只是减小电源线上的电流