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常见三角函数 基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesin =y/r角的对边比斜边余弦函数Cosinecos =x/r角的邻边比斜边 正切函数Tangenttan =y/x角的对边比邻边余切函数Cotangentcot =x/y角的邻边比对边正割函数Secantsec =r/x角的斜边比邻边余割函数Cosecantcsc =r/y角的斜边比对边同角三角函数关系式 平方关系sin2()+cos2()=1 cos(2)=cos2()-sin2()=1- 2sin2()=2cos2()-1 sin(2)=2sin()cos() tan()+1=1/cos() 2sin()=1-cos(2) cot()+1=1/sin() 积的关系sin=tancos cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=tancsc csc=seccot倒数关系tan cot1 sin csc1 cos sec1商的关系sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec诱导公式 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 k是整数sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot sec（2k+）=sec csc（2k+）=csc公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec(+)=-sec csc(+)=-csc公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec(-)=sec csc(-)=-csc公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec(-)=-sec csc(-)=csc公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot sec(2-)=sec csc(2-)=-csc公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sec(/2+)=-csc csc(/2+)=sec sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sec(/2-)=csc csc(/2-)=sec sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sec(3/2+)=csc csc(3/2+)=-sec sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sec(3/2-)=-csc csc(3/2-)=-sec诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则） sincostancotseccsc2k+sincostancotseccsc(1/2)k-cossincottancscsec(1/2)k+cos-sin-cot-tan-cscseck-sin-cos-tan-cot-seccsck+-sin-costancot-sec-csc(3/2)k-cos-sincottan-csc-sec(3/2)k+-cossin-cot-tancsc-sec2k-sincos-tan-cotsec-csc-sincos-tan-cotsec-csc定名法则 90的奇数倍+的三角函数，其绝对值与三角函数的绝对值互为余函数。90的偶数倍+的三角函数与的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变” 定号法则 将看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限” 2在K/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全正二正弦，三正切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。） 比如:90+。定名：90是90的奇数倍，所以应取余函数；定号：将看做锐角，那么90+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90+)=cos , cos(90+)-sin 这个非常神奇，屡试不爽 还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90+)，90的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将看做锐角，那么90+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90+)=cos 三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=k+/2（kz) 对称中心：(k，0）（kz) y=cosx 对称轴：x=k（kz) 对称中心：（k+/2，0）(kz) y=tanx 对称轴：无 对称中心：（k，0）(kz) 两角和与差的三角函数cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 和差化积公式sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 积化和差公式sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 倍角公式sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos²-sin²=2cos²-1=1-2sin² tan(2)=2tan/(1-tan²) cot(2)=(cot²-1)/(2cot) sec(2)=sec²/(1-tan²) csc(2)=1/2*seccsc 三倍角公式sin(3) = 3sin-4sin³ = 4sinsin(60+)sin(60-) cos(3) = 4cos³-3cos = 4coscos(60+)cos(60-) tan(3) = (3tan-tan³)/(1-3tan²) = tantan(/3+)tan(/3-) cot(3)=(cot³-3cot)/(3cot-1) n倍角公式sin(n)=ncos(n-1)sin-C(n,3)cos(n-3)sin3+C(n,5)cos(n-5)sin5- cos(n)=cosn-C(n,2)cos(n-2)sin2+C(n,4)cos(n-4)sin4- 半角公式sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin cot(/2)=(1+cos)/(1-cos)=(1+cos)/sin=sin/(1-cos) sec(/2)=(2sec/(sec+1) csc(/2)=(2sec/(sec-1) 辅助角公式Asin+Bcos=(A²+B²)sin(+arctan(B/A) Asin+Bcos=(A²+B²)cos(-arctan(A/B) 万能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan²(a/2) cos(a)= (1-tan²(a/2)/(1+tan²(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan²(a/2) 降幂公式sin²=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos²=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan²=(1-cos(2)/(1+cos(2) 三角和的三角函数sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)(1-tantan-tantan-tant 角的三角函数值 正弦余弦正切余切0010不存在/61/23/23/33/42/22/211/33/21/233/210不存在0幂级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn (n=0.) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n (n=0.) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,.cn.及a都是常数, 这种级数称为幂级数. 泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法 f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.+f(n)(a)/n!*(x-a)n+ 实用幂级数： ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+xn/n!+ ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-+(-1)(k-1)*(xk)/k (|x|1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+. (-x) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ (-x) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1) arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+(-1)(k-1)*(x2k-1)/(2k-1)!+ (-x) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+(-1)k*(x2k)/(2k)!+(-x) arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - (|x|1) arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + (|x|1) 在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。三角函数的性质定理三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。 正弦定理于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有： sinA / a = sinB / b = sinC/c 也可表示为： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 其中R是三角形的外接圆半径。 它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a 是通过 A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。 余弦定理对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有：c2=a2b22abcosC. 也可表示为： cosC=（a2b2c2）/ 2ab. 这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。 如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。 正切定理对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有： (a+b)/(a-b) = tan(A+B)/2/tan(A-B)/2 等差数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。 缩写 等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。 等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。 有关系：A（ab）/2 通项公式an=a1+(n-1)d an=Sn-S(n-1) (n2) an=kn+b(k,b为常数) 前n项和倒序相加法推导前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-1)d Sn=an+(an-d)+(an-2d)+an-(n-1)d 由+得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an) 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 Sn=(d/2)*n2+(a1-d/2)n 性质且任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1，k1,2,n 若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有 am+an=ap+aq S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Snk-S(n-1)k成等差数列，等等。 和（首项末项）项数2 项数（末项-首项）公差1 首项=2和项数-末项 末项=2和项数-首项 设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。 应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。 若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)0。 其于数学的中的应用，可举例： 快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个 算法不止一种，这里介绍用数列算 令等差数列首项a1=24（24为6的4倍），等差d=6,; 于是令an = 24+(n-1)*6=132 即可解出n=19 等比数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。 缩写 等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。 等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 有关系：G2ab；G(ab)(1/2) 注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。 通项公式an=a1q(n-1) an=Sn-S(n-1) (n2) 前n项和当q1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q1) 当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=na1 性质任意两项am，an的关系为an=amq(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n （4）等比中项：aqap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。 记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 性质： 若 m、n、p、qN*，且mn=pq，则aman=apaq； 在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G2=ab（G0）”. (5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-qn)/(1-q) 在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示A的n次方。 应用等比数列在生活中也是常常运用的。 如：银行有一种支付利息的方式-复利。 即把前一期的利息和本金价在一起算作本金， 再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。 按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q（n1） 若通项公式变形为an=a1/q*qn(nN*),当q0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*qx上的一群孤立的点。 （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-qn)/(1-q) =(a1-a1qn)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即A-Aqn) (前提：q不等于 1) 任意两项am，an的关系为an=amq(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n （4）等比中项：aqap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。 记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 等和数列定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 对一个数列，如果其任意的连续k（k2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列 性质必定是循环数列 练习1、下面一列整数中（每个字母或括号都代表一个整数），任意相临的3个整数的和都是20，则x+y+z=？ x，2，（），（），（），4，（），y，（），（），z 2、（2004年湖南省理科实验班联合招生考试数学卷第2试第三题） 圆周上放着120个正数（不一定是整数），今知其中任何相连的35个数的和都是200证明：这些数中的每一个数都不超过30（旁注：题目中“相连”即“相临”之意） 答案： 第1题 ：x=14,y=2,z=2 ，故：x+y+z=18 ；第2题 ：（120,35）=5 ，使5个数为一组，每7组的和是200，那么每组有 200/730 所以每一个数都不超过30。列的通项求法 一般有an=Sn-Sn-1 （n2） 累和法（an-an-1=. an-1 - an-2=. a2-a1=.将以上各项相加可得an）。 逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。 化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。 特别的在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n 2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn 即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列 不动点法（常用于分式的通项递推关系） 不动点法求数列通项 对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求 幂次数列表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 3 3 9 27 81 243 729 4 4 16 64 256 1024 5 5 25 125 625 6 6 36 216 1296 特殊数列的通项的写法1,2,3,4,5,6,7,8. -an=n 1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8.-an=1/n 2，4，6，8，10，12，14.-an=2n 1,3,5,7,9,11,13,15.-an=2n-1 -1,1,-1,1,-1,1,-1,1.-an=(-1)n 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1.-an=(-1)(n+1) 1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1.-an=(-1)(n+1)+1/2 1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0.-an=cos(n-1)/2=sinn/2 9,99,999,9999,99999,. -an=（10n)-1 1,11,111,1111,11111.-an=（10n)-1/9 衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn.-an=（10n)-1*n/9,n为1-9的整数 1，4，9，16，25，36，49，.-an=n2 1,2,4,8,16,32.-an=2(n-1) 数列前N项和公式的求法(一)1.等差数列: 通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 ak=ak+(n-k)d ak为第k项数 若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 2.等差数