插值型求积公式的比较.docx

插值型求积公式的比较 信科1304 魏佳铭一、 问题引入在计算过程中要求I(f)=abfxdx根据Newton-Leibniz公式abfxdx=F(a)-F(b)可以计算得出但是在实际计算中存在原函数表达式复杂，求解困难；f(x)表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表等问题，使问题无法求解。二、方法引进为得出数值积分的算法，我们对其做离散化处理来简化问题，方便计算。若存在实数x1,x2.xn;A1,A2.An,且任取f(x)Ca,b都有abf(x)dxi=1nAif(xi)为一个数值求积公式。Ai称为求积系数，xi称为求积节点，而称 R(f)=abf(x)dx-i=1nAif(xi)为求积余项评价一个求积公式的优劣可以用求积余项说明，通常用与求积余项有关的所谓代数精度来评价求积余项。三、插值型求积公式插值型求积公式借助多项式插值函数来构造求积公式。常用的插值型求积公式有Newton-Cotes求积公式及Gauss求积公式。1. Newton-Cotes求积公式（1） n点的Newton-Cotes公式（等距节点求积公式）为了使插值型求积系数Ai计算更简单，将求积节点xi取为a,b上的等距节点 xi=a+i-1h, h=b-an-1,i=1,2,.n令积分变量x=a+th作变换，当xa,b时，有t0,n-1,于是有插值型求积公式的求积系数为Ai=abk=1，kinx-xkxi-xkdx 记Ci(n)=1n-10n-1k=1，kint-k+1i-kdt则有Ai=b-aCin,i=1,2,.n，易证i=1nCi(n)=1得abf(x)dx（b-a）i=1nCinf(xi)（2） 2点的Newton-Cotes公式（梯形公式）abf(x)dxb-a2(fa+f(b) 几何意义：用一条过两点的直线近似代替被积函数的曲线，从而用一个梯形 的面积来近似代替一个曲边梯形的面积。梯形公式余项 R1f=-b-a312f2m ma,b（3） 3点的Newton-Cotes公式（Simpson公式或抛物线公式）abf(x)dxb-a6fa+4fb+a2+fb几何意义：用通过A,B,C三点的抛物线代替y=f(x)所得曲边梯形的面积。 抛物线公式余项 R2f=-b-a52880f4m ma,b评价：n点Newton-Cotes公式，其特征是节点是等距的，这种特点使得求积公式便于构造，求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。n是偶数时，代数精度为n+1，n是奇数时，代数精度为n。Newton-Cotes求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的。求积节点数n越大，对应的求积公式精度越高。但当n8时，Cin有正有负，i=1nCin随n增大而增大，从而导致舍入误差增大。故n8时，Newton-Cotes公式是数值不稳定的。因而一般不用n8的Newton-Cotes公式来做定积分计算。从关于稳定性的分析可知，数值计算中应用低阶的Newton-Cotes公式。2. Gauss型求积公式设x0，x1，xn是n+1次正交多项式Pn+1（x）的n+1个零点，则插值型求积公式abpxf(x)dxk=0nAkf(xk),Ak=abp(x)i=0，iknx-xixk-xidx是Gauss型求积公式（1）Gauss型求积公式的构造1用待定系数法构造Gauss型求积公式2利用正交多项式构造Gauss型求积公式：1.以n+1次正交多项式的零点x0，x1，xn作为积分点2.用高斯点x0，x1，xn对f(x)作Lagrange插值多项式f(x)i=0nli(x)f(xi)代入积分式abpxf(x)dxabpx（i=0nli(x)f(xi)）dx=i=0n（abpxli(x)dx)f(xi)因此，求积系数为 Ai=abpxli(x)dx （i=0，1n）（2）Gauss型求积公式的求积余项由Gauss型求积公式的代数精度为2n-1及积分中值定理有Gauss求积余项为R（f）=abpxf(x)dx-k=0nAkfxk=fm2n2n！abpxwn2(x)dx ，ma,b（3）Gauss型求积公式的数值稳定性 用n+1个点x0，xn构造的插值型求积公式 abfxf(x)dxk=0nAkf(xk)的代数精度不超过2n+1。 Gauss公式是插值型求积公式中代数精度最高的，高斯求积公式的求积系数全是正的，且是稳定的算法。（2）常用的Gauss型求积公式 1Gauss-Legendre求积公式 -11f(x)dxk=1nAkf(xk)求积余项R(f)=22n+1n!42n+12n!3f2nm m（-1,1）Gauss-Legendre的优点：计算精度高；可计算无穷区间上的积分和奇异积分。Gauss-Legendre的缺点：需计算Gauss点和Gauss系数；增加节点时需重新计算。2Gauss-Chebyshev求积公式 -11f(x)1-x2dxk=1nAkf(xk) 求积余项R(f)=222n(2n)!f2nm m（-1,1）3Gauss-Laguerre求积公式 -11e-xf(x)dxk=1nAkf(xk) 求积余项R(f)=（n!）2(2n)!f2nm m（0，+）4Gauss-Hermite求积公式 -+e-x2f(x)dxk=1nAkf(xk) 求积余项R(f)=n!2n2n!f2n(m) m（-，+）评价：高斯型求积公式是插值型求积公式，其系数由高斯点唯一确定，且高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式，具有代数精度高，且总是收敛、稳定的优点。但当求积点数增加时，前面的函数值不能在后面利用。四、例题比较 用不同方法计算I=01sinxxdx，并作比较（1） 用Newton-Cotes公式1运用梯形公式I1-02f0+f1=121+sin10.920735492运用Simpson公式I1-06f0+4f12+f(1)=16(1+8sin12+sin1)0.94614588（2） 用Gauss公式 令x=(t+1)2, I=01sin(t+1)2t+1dt1用2个节点的Gauss公式 Isin12(-0.5773503+1)-0.5773503+1+sin12(0.5773503+1)0.5773503+1=0.94604112用3个节点的Gauss公式I0.5555556sin12(0.7745907+1)0.7745907+0.8888889sin120+1+0.5555556sin12(0.7745907+1)0.7745907=0.9460831算法比较：对Newton-Cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有三位有效数字，而用Gauss公式用了3个函数值，得到了7位有效数字。五、归纳总结 插值法是常见的求积分方法，解决了积分的计算问题，Newton-Cotes公式和Gauss型求积公式是两种不同的插值法。前者是等距节点下的求积公式，后者是非等距节点下的积分公式。Newton-Cotes公式是计算低阶积分的方法，而Gauss求积公式是计算高阶积分的方法。两种方法各有其优缺点。n点Newton-Cotes公式，其特征是节点是等距的，这种特点使得求积公式便