插值与数值积分.doc

大学数学实验作业插值与数值积分班级： 姓名： 学号： 日期： 目录【实验目的】3【实验内容】3【题目1】3【matlab求解】3【结果分析1】9【进一步对比】10【结果分析2】13【误差分析】14【本题总结】16【题目2】16【模型建立及求解】16【结果分析1：三种插值方法的比较】21【结果分析2：三种积分方法的比较以及理论分析】22【本题小结】23【题目3】23【模型建立及求解】24【结果分析】27【本题小结】27【实验心得、体会】28注：本实验作业脚本文件均以ex3_1_2形式命名，其中ex代表作业，3_1_2表示第三章第一题第二小题自编函数均以exf3_10_1形式命名，exf代表作业函数，3_10_1表示第三章第十题第一个自编函数。特殊函数，如lagr拉格朗日插值函数、simp辛普森函数除外。【实验目的】1掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析；2掌握用MATLAB及梯形公式、辛普森公式计算数值积分；3通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。【实验内容】【题目1】（课本习题第三章第1题第(2)小题）对于函数y=(1-x2)1/2, -1x1，在n个节点上（n不要太大，如511）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50100）。通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n，再作比较，由此作初步分析。【matlab求解】先对三种插值方法进行初步比较。对该函数，首先选取n=6,m=81，即选取6个间隔为0.4的节点，并将插值点间隔设为0.025，在MATLAB中分别用三种插值方法计算并作图，程序如下：%-作业题ex3_1脚本M文件源程序-clear;clc;clf;x0=-1:0.4:1; y0=(1-x0.2).(1/2); % 产生从-1到1的6个节点,间距0.4x=-1:0.025:1; % 产生81个插值点x,间距0.025;y=(1-x.2).(1/2); % 计算原函数在插值点的取值用于比较y1=lagr(x0,y0,x); % 计算拉格朗日插值y2=interp1(x0,y0,x); % 计算分段线性插值y3=spline(x0,y0,x); % 计算三次样条插值A=x;y;y1;y2;y3 % 输出数值表格结果，y：原函数值；y1：拉格朗日插值结果；y2：分段线性插值结果；y3：三次样条插值结果subplot(2,2,1),plot(x,y,k,x,y1,r), % 分块作图，为便于对比，原函数用黑色实线，拉格朗日插值曲线用红色实线xlabel(x)ylabel(y/y1)title(拉格朗日插值(n=6,m=81), % 加入X轴、Y轴标记和标题legend(原函数曲线,拉格朗日插值曲线), % 加入图例subplot(2,2,2),plot(x,y,k,x,y2,g), % 分块作图，为便于对比，原函数用黑色实线，分段线性插值曲线用绿色实线xlabel(x)ylabel(y/y2)title(分段线性插值(n=6,m=81), % 加入X轴、Y轴标记和标题legend(原函数曲线,分段线性插值曲线), % 加入图例subplot(2,2,3),plot(x,y,k,x,y3,b), % 分块作图，为便于对比，原函数用黑色实线，三次样条插值曲线用蓝色实线xlabel(x)ylabel(y/y3)title(三次样条插值(n=6,m=81), % 加入X轴、Y轴标记和标题legend(原函数曲线,三次样条插值曲线), % 加入图例subplot(2,2,4),plot(x,y,k,x,y1,r,x,y2,g,x,y3,b), % 分块作图，为便于对比，原函数用黑色实线，拉格朗日插值曲线用红色实线, 分段线性插值曲线用绿色实线，三次样条插值曲线用蓝色实线xlabel(x)ylabel(y)title(三种插值曲线(n=6,m=81), % 加入X轴、Y轴标记和标题legend(原函数曲线,三种插值曲线) % 加入图例%-作业题3_1拉格朗日插值函数 M文件源程序-function y=lagr(x0,y0,x)%函数输入：n个节点以数组x0，y0输入，m个插值点以数组x输入%函数输出：输出数组y为m个插值n=length(x0); m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end得到的结果如下面的表1和图1-图3所示：表1：三种插值方法的插值结果（n=6,m=81）点数插值点x原函数值y拉格朗日插值y1分段线性插值y2三次样条插值y31-1.000000.000000.000000.000000.000002-0.975000.222200.082620.050000.078173-0.950000.312250.159790.100000.151984-0.925000.379970.231760.150000.221565-0.900000.435890.298790.200000.287056-0.875000.484120.361110.250000.348567-0.850000.526780.418980.300000.406238-0.825000.565130.472620.350000.460189-0.800000.600000.522250.400000.5105610-0.775000.631960.568100.450000.5574711-0.750000.661440.610380.500000.6010712-0.725000.688750.649290.550000.6414613-0.700000.714140.685020.600000.6787914-0.675000.737820.717780.650000.7131815-0.650000.759930.747750.700000.7447616-0.625000.780620.775100.750000.7736517-0.600000.800000.800000.800000.8000018-0.575000.818150.822620.811240.8239219-0.550000.835160.843130.822470.8455520-0.525000.851100.861660.833710.8650221-0.500000.866030.878360.844950.8824522-0.475000.879990.893380.856190.8979723-0.450000.893030.906840.867420.9117224-0.425000.905190.918870.878660.9238225-0.400000.916520.929580.889900.9343926-0.375000.927020.939080.901140.9435827-0.350000.936750.947490.912370.9515128-0.325000.945710.954890.923610.9583029-0.300000.953940.961380.934850.9640930-0.275000.961440.967040.946080.9690031-0.250000.968250.971950.957320.9731832-0.225000.974360.976180.968560.9767333-0.200000.979800.979800.979800.9798034-0.175000.984570.982850.979800.9824835-0.150000.988690.985390.979800.9848136-0.125000.992160.987470.979800.9867837-0.100000.994990.989130.979800.9883938-0.075000.997180.990380.979800.9896539-0.050000.998750.991260.979800.9905440-0.025000.999690.991780.979800.99108410.000001.000000.991950.979800.99126420.025000.999690.991780.979800.99108430.050000.998750.991260.979800.99054440.075000.997180.990380.979800.98965450.100000.994990.989130.979800.98839460.125000.992160.987470.979800.98678470.150000.988690.985390.979800.98481480.175000.984570.982850.979800.98248490.200000.979800.979800.979800.97980500.225000.974360.976180.968560.97673510.250000.968250.971950.957320.97318520.275000.961440.967040.946080.96900530.300000.953940.961380.934850.96409540.325000.945710.954890.923610.95830550.350000.936750.947490.912370.95151560.375000.927020.939080.901140.94358570.400000.916520.929580.889900.93439580.425000.905190.918870.878660.92382590.450000.893030.906840.867420.91172600.475000.879990.893380.856190.89797610.500000.866030.878360.844950.88245620.525000.851100.861660.833710.86502630.550000.835160.843130.822470.84555640.575000.818150.822620.811240.82392650.600000.800000.800000.800000.80000660.625000.780620.775100.750000.77365670.650000.759930.747750.700000.74476680.675000.737820.717780.650000.71318690.700000.714140.685020.600000.67879700.725000.688750.649290.550000.64146710.750000.661440.610380.500000.60107720.775000.631960.568100.450000.55747730.800000.600000.522250.400000.51056740.825000.565130.472620.350000.46018750.850000.526780.418980.300000.40623760.875000.484120.361110.250000.34856770.900000.435890.298790.200000.28705780.925000.379970.231760.150000.22156790.950000.312250.159790.100000.15198800.975000.222200.082620.050000.07817811.000000.000000.000000.000000.00000图1：拉格朗日插值结果图形（n=6,m=81）图2：分段线性插值结果图形（n=6,m=81）图3：三次样条插值结果图形（n=6,m=81）图4：原函数与三种插值结果图形比较（n=6,m=81）【结果分析1】由Matlab计算出来的数据表格和各插值结果曲线图可见，当n=6,m=81时，三种插值方法所得曲线均与原函数曲线吻合得不是很好。其中拉格朗日插值与三次样条插值曲线几乎重合，与原函数靠的更近，且曲线光滑，拟合较好；分段线性插值拟合度较差，在节点处也不光滑。【进一步对比】改变节点的个数n，可对三种插值方法作进一步的对比分析。令n从5到11适当增加，分别对三种插值方法的数值和图形输出进行对比和分析。（这里作为示例，分别取n=5，n=8，n=11），得到不同节点个数时三种插值方法的结果如下面的表2和图4-6（为便于比较，将部分表格数据进行合并，并将相同n下的三种插值曲线画在一张图上，同时标出节点）：表2：节点数n取不同值时三种插值方法的插值结果点数插值点X值原函数值y节点数n=5节点数n=8节点数n=11y1y2y3y1y2y3y1y2y31 -1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 -0.975 0.222 0.078 0.043 0.071 0.105 0.061 0.093 0.136 0.075 0.110 3 -0.950 0.312 0.152 0.087 0.139 0.199 0.122 0.179 0.245 0.150 0.209 4 -0.925 0.380 0.221 0.130 0.204 0.283 0.184 0.258 0.334 0.225 0.297 5 -0.900 0.436 0.285 0.173 0.265 0.356 0.245 0.331 0.407 0.300 0.374 6 -0.875 0.484 0.345 0.217 0.323 0.422 0.306 0.397 0.468 0.375 0.443 7 -0.850 0.527 0.402 0.260 0.378 0.480 0.367 0.458 0.519 0.450 0.503 8 -0.825 0.565 0.454 0.303 0.430 0.532 0.429 0.513 0.562 0.525 0.555 9 -0.800 0.600 0.503 0.346 0.479 0.578 0.490 0.563 0.600 0.600 0.600 10 -0.775 0.632 0.548 0.390 0.525 0.618 0.551 0.609 0.633 0.625 0.639 11 -0.750 0.661 0.590 0.433 0.568 0.655 0.612 0.649 0.663 0.650 0.672 12 -0.725 0.689 0.629 0.476 0.609 0.687 0.674 0.685 0.691 0.675 0.701 13 -0.700 0.714 0.665 0.520 0.646 0.716 0.710 0.718 0.716 0.700 0.726 14 -0.675 0.738 0.698 0.563 0.682 0.742 0.728 0.747 0.739 0.725 0.747 15 -0.650 0.760 0.728 0.606 0.715 0.765 0.746 0.772 0.761 0.750 0.766 16 -0.625 0.781 0.757 0.650 0.745 0.787 0.763 0.795 0.781 0.775 0.783 17 -0.600 0.800 0.783 0.693 0.774 0.806 0.781 0.815 0.800 0.800 0.800 18 -0.575 0.818 0.806 0.736 0.800 0.824 0.799 0.832 0.818 0.815 0.816 19 -0.550 0.835 0.828 0.779 0.824 0.840 0.817 0.848 0.835 0.829 0.832 20 -0.525 0.851 0.848 0.823 0.846 0.855 0.835 0.861 0.851 0.844 0.848 21 -0.500 0.866 0.866 0.866 0.866 0.869 0.853 0.873 0.866 0.858 0.863 22 -0.475 0.880 0.882 0.873 0.884 0.882 0.870 0.885 0.880 0.873 0.878 23 -0.450 0.893 0.897 0.879 0.901 0.894 0.888 0.895 0.893 0.887 0.891 24 -0.425 0.905 0.911 0.886 0.916 0.905 0.905 0.905 0.905 0.902 0.904 25 -0.400 0.917 0.923 0.893 0.929 0.916 0.912 0.915 0.917 0.917 0.917 26 -0.375 0.927 0.934 0.900 0.941 0.926 0.920 0.924 0.927 0.924 0.928 27 -0.350 0.937 0.944 0.906 0.951 0.935 0.927 0.933 0.937 0.932 0.938 28 -0.325 0.946 0.953 0.913 0.961 0.944 0.935 0.942 0.946 0.940 0.947 29 -0.300 0.954 0.961 0.920 0.968 0.952 0.942 0.950 0.954 0.948 0.955 30 -0.275 0.961 0.968 0.926 0.975 0.960 0.950 0.958 0.961 0.956 0.962 31 -0.250 0.968 0.974 0.933 0.981 0.967 0.957 0.965 0.968 0.964 0.969 32 -0.225 0.974 0.979 0.940 0.986 0.973 0.965 0.972 0.974 0.972 0.975 33 -0.200 0.980 0.984 0.946 0.990 0.979 0.972 0.978 0.980 0.980 0.980 34 -0.175 0.985 0.988 0.953 0.993 0.984 0.980 0.984 0.985 0.982 0.984 35 -0.150 0.989 0.991 0.960 0.995 0.989 0.988 0.988 0.989 0.985 0.989 36 -0.125 0.992 0.994 0.967 0.997 0.992 0.990 0.993 0.992 0.987 0.992 37 -0.100 0.995 0.996 0.973 0.998 0.996 0.990 0.996 0.995 0.990 0.995 38 -0.075 0.997 0.998 0.980 0.999 0.998 0.990 0.999 0.997 0.992 0.997 39 -0.050 0.999 0.999 0.987 1.000 1.000 0.990 1.000 0.999 0.995 0.999 40 -0.025 1.000 1.000 0.993 1.000 1.001 0.990 1.002 1.000 0.997 1.000 41 0.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.001 0.990 1.002 1.000 1.000 1.000 42 0.025 1.000 1.000 0.993 1.000 1.001 0.990 1.002 1.000 0.997 1.000 43 0.050 0.999 0.999 0.987 1.000 1.000 0.990 1.000 0.999 0.995 0.999 44 0.075 0.997 0.998 0.980 0.999 0.998 0.990 0.999 0.997 0.992 0.997 45 0.100 0.995 0.996 0.973 0.998 0.996 0.990 0.996 0.995 0.990 0.995 46 0.125 0.992 0.994 0.967 0.997 0.992 0.990 0.993 0.992 0.987 0.992 47 0.150 0.989 0.991 0.960 0.995 0.989 0.988 0.988 0.989 0.985 0.989 48 0.175 0.985 0.988 0.953 0.993 0.984 0.980 0.984 0.985 0.982 0.984 49 0.200 0.980 0.984 0.946 0.990 0.979 0.972 0.978 0.980 0.980 0.980 50 0.225 0.974 0.979 0.940 0.986 0.973 0.965 0.972 0.974 0.972 0.975 51 0.250 0.968 0.974 0.933 0.981 0.967 0.957 0.965 0.968 0.964 0.969 52 0.275 0.961 0.968 0.926 0.975 0.960 0.950 0.958 0.961 0.956 0.962 53 0.300 0.954 0.961 0.920 0.968 0.952 0.942 0.950 0.954 0.948 0.955 54 0.325 0.946 0.953 0.913 0.961 0.944 0.935 0.942 0.946 0.940 0.947 55 0.350 0.937 0.944 0.906 0.951 0.935 0.927 0.933 0.937 0.932 0.938 56 0.375 0.927 0.934 0.900 0.941 0.926 0.920 0.924 0.927 0.924 0.928 57 0.400 0.917 0.923 0.893 0.929 0.916 0.912 0.915 0.917 0.917 0.917 58 0.425 0.905 0.911 0.886 0.916 0.905 0.905 0.905 0.905 0.902 0.904 59 0.450 0.893 0.897 0.879 0.901 0.894 0.888 0.895 0.893 0.887 0.891 60 0.475 0.880 0.882 0.873 0.884 0.882 0.870 0.885 0.880 0.873 0.878 61 0.500 0.866 0.866 0.866 0.866 0.869 0.853 0.873 0.866 0.858 0.863 62 0.525 0.851 0.848 0.823 0.846 0.855 0.835 0.861 0.851 0.844 0.848 63 0.550 0.835 0.828 0.779 0.824 0.840 0.817 0.848 0.835 0.829 0.832 64 0.575 0.818 0.806 0.736 0.800 0.824 0.799 0.832 0.818 0.815 0.816 65 0.600 0.800 0.783 0.693 0.774 0.806 0.781 0.815 0.800 0.800 0.800 66 0.625 0.781 0.757 0.650 0.745 0.787 0.763 0.795 0.781 0.775 0.783 67 0.650 0.760 0.728 0.606 0.715 0.765 0.746 0.772 0.761 0.750 0.766 68 0.675 0.738 0.698 0.563 0.682 0.742 0.728 0.747 0.739 0.725 0.747 69 0.700 0.714 0.665 0.520 0.646 0.716 0.710 0.718 0.716 0.700 0.726 70 0.725 0.689 0.629 0.476 0.609 0.687 0.674 0.685 0.691 0.675 0.701 71 0.750 0.661 0.590 0.433 0.568 0.655 0.612 0.649 0.663 0.650 0.672 72 0.775 0.632 0.548 0.390 0.525 0.618 0.551 0.609 0.633 0.625 0.639 73 0.800 0.600 0.503 0.346 0.479 0.578 0.490 0.563 0.600 0.600 0.600 74 0.825 0.565 0.454 0.303 0.430 0.532 0.429 0.513 0.562 0.525 0.555 75 0.850 0.527 0.402 0.260 0.378 0.480 0.367 0.458 0.519 0.450 0.503 76 0.875 0.484 0.345 0.217 0.323 0.422 0.306 0.397 0.468 0.375 0.443 77 0.900 0.436 0.285 0.173 0.265 0.356 0.245 0.331 0.407 0.300 0.374 78 0.925 0.380 0.221 0.130 0.204 0.283 0.184 0.258 0.334 0.225 0.297 79 0.950 0.312 0.152 0.087 0.139 0.199 0.122 0.179 0.245 0.150 0.209 80 0.975 0.222 0.078 0.043 0.071 0.105 0.061 0.093 0.136 0.075 0.110 81 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 图4：n=5时三种插值方法的结果比较图5：n=8时三种插值方法的结果比较图6：n=11时三种插值方法的结果比较【结果分析2】根据对精确值与n=5，8，11时的三种插值方法所得数据表以及图形的比较，可以得到：1.（纵向比较）当n由5到11逐渐变大时，3种插值曲线都越来越趋近于原函数曲线。当n较小时，拉格朗日插值曲线、三次样条插值曲线和分段线性插值曲线在节点间与精确值曲线有较大偏差。而当n较大时，这些误差现象都明显变小。当n达到11时，可观察到的误差仅有拉格朗日插值曲线在左右两侧的细微偏离以及分段线性插值曲线在节点处的不光滑成分，3种插值曲线都很好地与原函数曲线相吻合。2.（横向比较）对于相同的n，可以看到三种插值方法各有优缺点：拉格朗日插值曲线和三次样条插值曲线在节点附近误差很小，曲线也较为光滑，在本实验中拉格朗日曲线并未出现Rung现象；分段线性插值曲线具有良好的收敛性，但在节点处不光滑，在函数比较陡峭时容易出现较大的误差；从直观上看拉格朗日曲线与原函数曲线吻合得最好。【误差分析】可以分别从三种插值方法的定义和误差估计式对以上结果作出分析：1对于拉格朗日多项式插值，Lnx=i=0nyili(x)其中lix=j=0,jinx-xjxi-xj因此可以求得插值误差（即插值多项式Lnx与产生节点的f(x)之差）Rnx为Rnx=fx-Lnx=fn+1()n+1!j=0n(x-xj), (a,b)将本题的y=(1-x2)1/2, -1x1，代入,由于是在给定的有限区间-2,2上进行拟合的,故fx满足fn+1()Mn+1则RnxMn+1n+1!j=0nx-xj由以上几个式子可以推断出以下几个结论：节点n增大时，误差估计式中的分母迅速变小，同时节点间距也变小，j=0nx-xj项一般情况下也变小，Rnx减小即误差减小；fx越平缓的地方高阶导数越小，误差变小；插值点越接近节点处，j=0nx-xj越小，误差越小。对于较小的x，误差一般较小；而对于较大的x，Lnx振荡越来越大，与fx的误差也会变大，即可能出现龙格现象。2对于分段线性插值，Inx=j=0nyilj(x)其中ljx=x-xj-1xj-xj-1,xj-1xxj ,j=0舍去 x-xj+1xj-xj+1,xjxxj+1 ，j=n舍去 0， 其他即线性分段插值相当于把每相邻的节点用直线连接起来。因此： n越大，分段越多，节点间距越小，分段直线越逼近于原函数曲线；由于在每个节点处，分段线性插值函数都是取该点的原函数的值，故Inx具有很好的收敛性，不会像拉格朗日插值那样可能出现振荡现象；由于对于x点的插值，分段线性插值只用到x左右的两个节点，并且用直线直接相连，因此分段线性插值在节点处不光滑。3对于三次样条插值，按照其定义，由于三次样条函数S(x)在每个小区间xi-1,xi上是三次多项式，并且在整个取值区间上二阶导数连续，同时满足在节点的取值与原函数的值相同，因此三次样条插值不仅具有良好的收敛性，即在很弱的条件下都能满足limnSx=fx,并且曲线十分光滑（二阶导数连续）。相对而言，边界处的误差比区间中间处的误差要大一些。将以上分析结果和Matlab用三种插值方法计算出的数据表和图形进行对比，可见，Matlab计算结果和理论分析是一致的。【本题总结】（1）三种插值方法中，拉格朗日插值曲线在节点附近误差很小，曲线也较为光滑，本实验中未出现龙格振荡现象；分段线性插值曲线具有良好的收敛性，但在节点处不光滑；而三次样条插值曲线在n较小时也会在端点附近有相对较大的误差，但兼具了收敛和光滑的优点。（2）当节点数n由小变大时，各种插值方法的误差现象都明显变小，3种插值曲线都越来越趋近于原函数曲线。【题目2】（课本习题第三章第10题）下表给出的x，y数据位于机翼断面的轮廓线上，Y1和Y2分别对应轮廓的上下线。假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标。试完成加工所需数据，画出曲线，求加工断面的面积。表3：机翼断面轮廓线上的数据X035791112131415Y101.82.22.73.03.12.92.52.01.6Y201.21.72.02.12.01.81.21.01.6【模型建立及求解】（1）利用插值法得到加工所需数据，绘出曲线将机翼断面轮廓的上下线构造为两个函数Y1和Y2，将已有数据作为节点，按要求以0.1为间隔对Y1和Y2进行插值。由于机翼轮廓为光滑外形曲线，因此应该用曲率处处连续的三次样条曲线进行插值。用MATLAB计算并作图，程序如下：%-作业题3_10脚本M文件源程序（插值部分）-%注：此处将代码写于一个脚本文件中，也可以分别为Y1和Y2的输出编写函数M文件，见第(2)问clear;clc;clf;x0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15; % 输入机翼断面横坐标数据xY1=0 1.8 2.2 2.7 3.0 3.1 2.9 2.5 2.0 1.6; % 输入机翼断面上线纵坐标数据y1Y2=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6; % 输入机翼断面下线纵坐标数据y2x=0:0.1:15; % 按要求以0.1为间隔设定插值点y1spline=spline(x0,Y1,x);y2spline=spline(x0,Y2,x);A=x y1spline y2spline % 列出机翼断面加工数据（三次样条插值法）plot(x,y1spline,r,x,y2spline,b), % 作出机翼断面轮廓线（三次样条插值法）xlabel(x)ylabel(y1/y2)title(机翼断面轮廓线图(三次样条插值法), % 加入X轴、Y轴标记和标题legend(Y1：机翼上线,Y2：机翼下线), % 加入图例gtext(Y1),gtext(Y2)pause,y1lagr=lagr(x0,Y1,x);y2lagr=lagr(x0,Y2,x); % 列出机翼断面加工数据（拉格朗日插值法）y1interp=interp1(x0,Y1,x);y2interp=interp1(x0,Y2,x); % 列出机翼断面加工数据（分段线性插值法）subplot(2,1,1),plot(x,y1lagr,r,x,y2lagr,b), % 作出机翼断面轮廓线（拉格朗日插值，用作对比）xlabel(x)ylabel(y1/y2)title(机翼断面轮廓线图(拉格朗日插值，用作对比), % 加入X轴、Y轴标记和标题legend(Y1：机翼上线,Y2：机翼下线), % 加入图例gtext(Y1),gtext(Y2)pause,subplot(2,1,2),plot(x,y1interp,r,x,y2interp,b)