数学问题与解答.pdf

2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期数学通报 6 3 数学问题与解答 2 0 1 4 年1 月号问题解答 解答由问题提供人给出 2 1 6 1设口 6 f R 且2 口2 2 6 2 2 c 2 n 6 c 3 2 求证 4 A B 4 即口 6 f 4 所以4 口 6 c 6 2 1 6 2已知以是正整数 求证 正磊i 萧 3 江西南昌大学附中宋庆3 3 0 0 4 7 证明令 口 忌 是 1 乙i 乏了 而 惫一 1 2 n 则 1 2 i 而一口 口i 一忌 口 七一1 2 一1 口 一押 于是 1 2 j i 而一口 芸叠 一号 警 号 半一号 丢 警 吾 丢 半一导 詈 砉 警 吾 詈 丢 寿 南 号 导 詈 寿 嘉 半 一号 导 詈 寿 字 令s 一号 丢 鲁 寿 字 万方数据 6 4 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期 则 丢s 丢 詈 去 参 筝导 以上两式相减 可得 专s 一 丢 吉 去一券 1 1孢 13咒 3 一虿十1 一万一虿鬲2 虿一虿万 从而s 3 一宰 3 厂 了2 2 2 三三三三三三三 综上 n 一 1 2 3 万 3 2 1 6 3如图 点D E F 分别为 A B C 的旁心 A B F B C D C A E 的内切圆与 A B C 三边 的切点分别为Z X y 则A X B y C Z 共点 湖北省公安县第一中学杨先义4 3 4 3 0 0 证明 记B c 一口 C A 一6 A B 2 c 户2 专 口 1 6 c 且 A B C 的外接圆半径为R A B F B C D C A E 的半周长分别为夕c 加 户 由旁 心的定义 有么c B D 一9 0 一昙 么B c D 9 0 一 导 么B D c 9 0 会 在 B C D 中 B C n 2 R s i n A 由正弦定 理 有 B C B D C D 五蕊一五丽一五面 即意与一意写一蒜笃 所以c D 一4 R s i n 令c s 导 D B 一4 R s i n 会c o s 导 所以p A B c c D D B 2 2 R s i n 会 c c s 会 c s 导 c s 导 由内切圆的性质有B x 一加一c D 2 R s i n 会 c c s 令一s 导 c o s 争 同理x c 一2 R s i n 令 c s 令 c s 导一c s 导 A z 2 R s i n 导 一c s 会 c s 导 c s 导 z B 2 R s i n 导 c s 令一c s 导 c s 导 c y 一2 R s i n 导 c s 令 c s 导一c s 导 张一2 R s i n 导 一c s 令 c s 导 c s 导 由以上六式立即得出等 是 譬 1 因此 由塞瓦定理的逆定理知A X B y C Z 三线共点 2 1 6 4 试证 a i i 乏 磊b 器 挖 N 浙江湖州市双林中学李建潮 3 1 3 0 1 2 证明令 行 茅b 茅b 两击j 则厂 咒 1 一厂 n 南 熹 熹 一击 上一上牟上 3 咒 23 咒 3 3 n 4 一 j i 一 j 二 一 3 7 z 2 3 行 3 3 竹 3 3 l 4 一 j 一 3 2 3 l 3 3 n 4 j i 一 9 咒2 1 5 竹 6 3 咒 4 而再而青丽丽而 当且仅当 z 1 时取 号 一 一 4 咒2 8 l 3 2 n 5 一 j 一 2 2 1 2 行 3 2 咒 5 11 2 瓦瓦干万西而一砭瓦干孬刁而 万方数据 所以厂 竹 砸再若丽 厂 以 1 死丽 矗而 当且仅当n 一1 时取 一 号 于是数列 厂 行 砭历再可蒜 单调递减 有厂 咒 砭丽看丽 厂 1 石毫雨 瞿 志一器 因此厂 挖 嚣 2 1 6 5 如图 已知 0 0 与0 0 外切于点P O0 2 与 0 内切于点Q M N 是0 0 与0 0 的公切线 M N 为切点 则P O 0 Q M N 线其点 安徽省肥西中学刘运宜2 3 1 2 0 0 证明因为P Q 分别在0 0 2 的异侧 所以 P Q 与O 0 2 必相交 设其交点为G 过G 分别作0 0 与o0 2 的切线 切点分别为 N M 连结O N 0 2 M 再连0 0 0 Q 则点P 在 0 0 上 点0 2 在0 Q 上 最后再过0 2 作0 H P Q 交0 O 于点H 另设 0 0 0 0 的半径 分别为r 1 r 2 R 因为P 为OO 与o O 的切点 Q 为O0 的 0 的切点 所以0 P 一0 Q R 又因为N M 切 O 0 0 于N M 所以0 1N r 1 0 2 M r 2 而0 H P Q 所以P H 一0 2 Q r 因为0 H P Q 所以G P 0 2H 且0 P 一 所以器一等一 而踹一笔 所以踹一器 又因为G N G M 分别为0 0 0 0 的切线 N M 为切点 所以么O N G 一9 0 一么0 M G 所以R t N 0 G R t M 0 2 G 所以么0 G N 么0 2 G M 所以N G M 三点共线 即N M 为O 0 与O0 2 的公切线 故 P Q 0 0 2 M N 三线共点 2 0 1 4 年2 月号问题 来稿请注明出处 编者 2 1 6 6 行是大于1 的整数 记r 一 2 1 1 s 卵一2 一1 试求r 与s 的最大公约数 r s 浙江温州市区马鞍池东路1 4 0 8陈克瀛 3 2 5 0 0 0 2 1 6 7 如图 已知 A B C 中么A 么B 么C 的对 边分别为口 6 c P 是 A B C 内一点 若么P A B 一么P B C 一么P C A 求证 等 等 等 L B C 江西省都昌县第一中学刘南山3 3 2 6 0 0 2 1 6 8 已知数列 z 满足 z 一o z 2 1 z 3 2 一 一 当咒 N 时 令z 孙 l 一生芝兰丢塑 z 3 2 厶 旦 害旦 z 讲 一旦 害旦 试问数列 z 是 百一 z 3 3 一 百一 讽I 口J 烈罗UI z 7 是 厶厶 否有极限 如果有 请求I i m z 如果没有极限 请 说明理由 北京宏志中学王芝平1 0 0 0 1 3 北京第八 十中学王坤1 0 0 1 0 2 2 1 6 9设正方形A B C D 的边长为口 在C D 的延 长线上取一点E 以C E 为直径作圆交A D 的延 长线于点F 连接F B 交圆于另一点G 如果 G B D F 试求五边形A B C F E 的面积 万方数据 彳f庐忒 黧形 2 1 7 0 定义以下两个2 0 1 3 项同码小数的和式 n 一0 7 O 7 7 O 7 7 7 O 7 7 7 最后一项小数点后有2 0 1 3 个7 6 O 7 2 0 7 7 3 X0 7 7 7 2 0 1 3 o 7 7 7 最后一项小数点后有2 0 1 3 个7 试分别求盘与6 的整数部分 湖南理工学院杨克昌 4 1 4 0 0 0 上接第6 0 页 口一0 s i n 占一0 占一o 日出方位角 为o 二分日地球上除两极外的任意地区太阳都 是正东升起 正西落下 3 当口 o 即非二分日 对于地球上赤道以 外地区 a o o c o s d Is i n 口I I 艿l 日出方向相对于正东方向的偏角的绝对值 均大于太阳直线点纬度数 且观测点越靠近两极 3 4 日照时间 日出日落时刻 如图2 日照时间为太阳周日视运动轨迹在 地平圈上方部分的弧所对的圆心角与周角的比值 乘以2 4 设弦F H 所对的圆心角2 口 口一么F 0 7 J 0 7 F 一尺c o s 口 在直角 A 0 7J 中 0 7J A J s i n 么 厂A 0 7 一A s i n 口一翌里型R 在直角 0 7 F al 越大 c s a 越小 l 害笺l 越大 Is i n 艿I 越大 l 艿I 中 c s 臼一g 吉 未尝未嚣一t a n a t a 叩 结合 越大 即观测点距赤道地区越远 日出偏角的绝对 值越大 对于南 北半球非极昼极夜且纬度绝对值相 同的地区 同一天的日出方位相同 n o 4 若口 o 即太阳直射北半球 s i n 占一兰坐 C U S 口 o d o 即除两极外的任意有日出地区太阳均 从东偏北方向升起 同理若口 o 胗o 太阳直射点与观测点同在北 半球 J 点在N 侧 9 0 一a 为锐角 太阳周日视运 动轨迹圆心0 7 在地平圈上方 地平圈上方的太阳 周日视运动轨迹为优弧 昼长大于夜长 若口 o 卢 o 或口 o 时 太阳 直射点与观测点分别在两个半球时 阳周日视运 动轨迹圆心0 7 在地平圈下方 地平圈上方的太阳 周日视运动轨迹为劣弧 昼长小于夜长 当a 一0 观测地为赤道地区 直线W 与地平 圈垂直 太阳周日视运动轨迹圆心d 在地平圈内 太 阳周日视运动轨迹被地平圈平分 全年昼夜等长 3 3 有 日照时间T 一垫堡望丛 善坐堕塑匝时 日出时刻函 1 2 一坐型尘害些鲤时 上J 日落时刻 一1 2 坚堡塑尘 霉堕堕咝时 注 f 为观测地地方时 正午为1 2 时 上 述公式只有当I t a n 口t a 叩I 1 即非极昼极夜地 区适用 赤道地区a o t a n a t a 邶一O a r c c o s O 一9 0 l 一6 一1 8 T 一1 2 全年6 时日出 1 8 时日落 昼夜等长 3 5 正午太阳高度角 太阳周日视运动轨迹中么S A V 为正午太阳 高度角 如图1 图2 么0 8 0 7 一么A 7 一p 故 1 8 0 一么J A 0 7 一么0 7 A y 一1