对一道数学趣题解答的剖析与思考.pdf

4 8 数 学通报 2 0 0 9 年 第 4 8卷 第 3期 对一道数学趣题解答的剖析与思考 潘建辉 陈继林 张晓斌 1 重 庆邮电大学数理学院4 0 0 0 6 5 2 重庆重庆市 天星桥 中学4 0 0 0 3 0 3 重庆市教育科学研究院4 0 0 0 1 5 1一道数 学趣题 及其常 见解答 有一道数 学趣 题 流 传着许 多种 版本 大 量 出 现在 小学 数学 教 材 和课 外读 物 里l 现 以 上海 版六年 级 数 学 课 本 中的一道 习题 为例展 开讨 论 古 印度 有 一 位 老 人 临 终 前 留下 遗 嘱 要 把 1 1 头牛分给三个儿 子 老大分得总数的 老二 分得总数的 老三分得总数的 按印度的教 规 牛被视 为神灵 不能 宰杀 只能整 头分 三兄 弟 为此 一筹莫 展 你 能帮助 他们解 决 问题吗 据说 在场 的一 位智 叟 巧 妙 地解 决 了这 个 难 题 他先借 给他们 1头 牛 使 牛 的 总数 变 成 1 2 然 后三兄弟按遗嘱 中的 比例各分得 6头 3头 和 2 头 最后 剩 下 1头 又还 给智 叟 从 而 问题 得 到 解决 且各 方 皆大欢喜 在此方 案启 发下 人 们 想 出了许 多种 解 答 方 法 常见 的有 1 借一法 先借 1头 使牛的总数变成 1 2 三兄弟各分得总数 1 2的寺 即 6 头 3 头 和 2头 最 后剩下 1 头 物归原 主 这样 三 兄弟 既 是按 遗嘱 份额 要 求 又是 将 1 1头整 分 完 的 所 以 问题 得解 6 2 级数法 因三兄弟的总份额为 1 一 故 老大 第一次 从 总数1 1 中 分得 告 1 1 后 第二次可从总剩余量 1 1 侍 I 1 1 照此 一 直 分下去 老大分得的总头数为寺 一6 同 理 老二 老三 分 得 的 总头 数 各 为 3和 2 严格 按 遗 嘱份 额要求 1 1 头被整 分完 问题得解 口 3 连比法 因寺 一6 3 2 且 6 3 2 一 i 1 故 三 兄 弟各 分 得 6头 3头 和 2头 按 遗嘱 比例要求 1 头被整 分完 问题得解 1 1 i s 4 方 程法 设 老 大分 得 x头 则 老二 和老 三 各分 1 寸 IE I 可 X X头 依 题 意得 方 程 x X T X一 1 1 解之得 x 一6 故三兄弟各分得 6头 3头和 2 头 按 遗 嘱 比 例 要 求 1 1头 被 整 分 完 问 题 得 解 5 舍入 法 因 6 3 2 且 6 t 3 2 1 1 故 三兄弟 各分 得 6头 3头和 2头 近 似 按遗 嘱 比例 要求 1 1头被整 分完 问题 得解 1 但也有人 认为 这是 一道错题 无 法解 即 6 将题 目归错 既要 求三兄 弟各分得 总数 的 专 去 又要求整分1 1 这无法实现 所以 此 为错 题 无 法解 1 还有人认 为此题 自相 矛盾 故无解 即 7 矛盾 法 因 1 1 1 1 1 且 总 数 1 1 为素数 若按遗嘱要 求 则 1 l既不能被分尽 又不能被整分 故遗嘱内容自相矛盾 要求无法满 足 本 题无解 I s 然而 这是错题 吗 如果 不是 那 么它有解 吗 如果有解 怎样求解 2 对 常见 解答 的剖析 法 1 似乎既巧妙又合理 但其中的推理存在 逻辑漏洞 因为实际是 以 1 2而非遗嘱要求的 1 1 为总数进行分配的 故推理有漏洞 但这是否也说 2 0 0 9年 第 4 8卷第 3期 数 学通报 4 9 明智 叟 的解决 方案 有 问题 呢 本 问题 留在 3 2节 回答 法 2 巧妙 利用 极 限思 想 既是 一次次 严 格按 遗嘱 份额 分配 又恰 将 i 1 整 分 似无 毛病 但 也有 漏洞 问题 就 出在 一次 又一 次地 分 割 因遗 嘱 没 说 一次不能分尽 可再分 就像叫小孩吃半个月 饼 一样 小 孩 不 能 先 吃 半 个 再 吃 剩 下 半 个 的 一 半 否 则 一 直这 样 吃下 去 几 乎 是 要 把 整 个 月 饼 吃光 的 这 就不 是吃半 个 月饼 了 法 3 似乎 既 精 巧 又无 懈 可击 但 也 有 漏 洞 因 一6 3 2 且 6 3 2 1 1 表示 按寺 的比例把 1 1 头牛分完 但遗嘱要 求的是分别把总数 1 1 头牛的寺 丢分给三兄 弟 当且 仅 当几个 正分 数 的和 为 I时 这 两种 分 法 才 等 价 这 里 的 丢 吉 一 1 故 两 者 不 等 价 所 以 法 3 也 有漏 洞 法 4 虽 巧 妙 利 用 了方 程 思 想 但 还 是 有 漏 洞 问题就出在 依题意得方程 因方程并不合题 意 错 误 的实质 与法 3 同 即 当且 仅 当几 个正 分 数 的和为 1 时 方 程 才 符合 题 意 故法 4 还是 有 漏洞 法 5 似乎 显得 荒诞 但 它或 许蕴 涵着 某 种重 要 的解 题 思想 法 6 显然 不 对 一 方 面 这 是 生 活 中可 能 出 现 的实 际问题 另一 方 面 题 中矛盾 并 非设 计者 考 虑不 周所致 而 是为 考验 解答 者智 慧所 精心 设 置 故 本题 并非错 题 而是 匠 心独运 的好 题 法 7 似 乎是 唯一 正 确 的解 答 但本 问题 真 的 无解 吗 下 面我 们进 一步 讨论 尽 管解答 7 已 由 非 整 数 指 明 了严 格 满 足本 题 条件 的整 数解 不存 在 即认 为无解 但 这 并 未解 决 问题 因为 我们 所 面 临 的是 分 牛 的 现 实 问 题 这里的 无解 既未告诉人们是否应该分牛 又 未指 出 若 分 又该 怎么 分 若 不 分 又 将怎 么 办 所 以 解答 7 实 际上 并 未 解决 分 牛 纠 纷 为什 么 会 出现这样 的尴 尬 我 们 又 该 怎样 解 决 这一 矛 盾 呢 为此 我们 尝试 用 下面 的办法 看 是否 能解 决 问题 3 本题 在 逐层 分析 退 求其次 解 题策 略 下的解 决 方案 3 1 逐层 分析 退 求其次 的解题 策略 为解 决 与本趣 题类 似 的问题 不 妨 我们将 数 学解 答题 分 为情 境 化 问 题 和 抽象 化 问题 下 面简 称情 境 问题 和抽 象 问 题 两大 类 如 一 个 小孩 先 吃 2 个 苹 果 再 吃 3个苹 果 问小 孩一 共吃 了几 个 苹果 就 是一 个具 有情 境 的数学 问题 我 们可 以 把它 抽象 成 2 3 一 这 里 的 2 3 一 就 是 前 面 的情 境 问题 对应 的抽 象 问题 于是 解答 数学 问 题 时 需 分 类 进 行 对 于 抽 象 问题 首 先应 判断 其前 提是 否有 矛盾 或不 周 密 若是 则 问题无 解 若 否 则继 续解 下去 但 对于 情 境 问题 情 况要 复 杂 得 多 通 常 我 们 是 将 其 转 化 为抽象 问题 来解 的 当抽象 问题 有解 时 还要 看 该 解 是否 与情 境相 符 若 是 则抽 象 问题 的解 就 是 对 应情境问题的解 若否 则它不是情境问题 的解 应 舍去 当抽 象 问题无 解 时 人 们往 往误 以为 对 应 的情境 问题 就 一定 无 解 然 而 事 实并 非 如 此 这 是 为什 么 呢 因为尽 管抽 象 问题是 由同一类情 境 问题 族 抽 象 而来 且族 内任 一 情 境 问题 都 是 该 抽 象 问题 的 具体 化 然而 两者 的解 的含 义却 有很 大差 异 抽 象 问题 的解 是严 格 满足命 题 条件 的待 求元 的值 情 境 问题 的解 却 是 该 问题 的解决 方案 它不 一 定会 严格 满足 命题 的所 有条 件 当抽 象 问题无 解 时 只 能说 其 对应 的情 境 问题 无 严 格 满 足 所有 条 件 的 精确 解 而 不 能 说 它 无 解 为 使 情 境 问题 得 到 解 决 在 它 无精 确解 时 我 们就 要 退 而 求 其 次 看 是 否能求 得 近似 解 从 而给 出这 一 情境 问题 的最 佳 解 决方 案 至于能否和怎样 寻求最佳解决方案的问题 似可用 逐 层 分 析法 即把 问题 所 包 含 的矛 盾 分 层次 且从高到低依次排列 使低层矛盾的解决 以 高层矛 盾 的解 决 为 条 件 对 于无 精 确解 的情 境 问 题 因至少 存在某 层 矛盾 得不 到解 决 故需 优先 解 决高层矛盾 直 到某层矛盾不能解决 为止 最后 再针对该层矛盾求问题的近似解 因此 求解数学 问题 的方法或步骤可归结如 下 1 分清 待解 的是 抽象 问题 还 是情 境 问题 2 对于抽象问题 首先应判断其前提是否有 5 0 数 学通报 2 0 0 9年 第 4 8卷 第 3期 矛盾或不 周密 若 是 则 问题无 解 若 否 则继续 解 下去 3 对于情境 问题 一般 是先将 其转化 为对 应 的抽象 问题来 解 然 后根 据表 1中两类 问题 解 的 对应关系 求出或确定情境问题的解 若抽象问题 无解 则 还需用 逐层 分 析法 确 定情 境 问 题 近似 解 的存 在情况 从 而得到 问题 的解 决方案 表 1 抽 象 问题 与情 境 问题 解 的 对 应 关 系 问题类型 抽象 问题 情境问题 有 精确 解 有 解 无解 解 的对应关系 无解 无解 有 近似 解 3 2本趣 题在 逐 层分 析 退 求其次 策略 下 的解 答 下面 我们就 按上述 步骤 和策略来 解答 本题 这是 一个 关 于解 决 分 牛 纠 纷 的数 学 情 境 问 题 由解法 7 知 其抽象 问题 的前提 存在矛 盾 故 抽象 问题无 解 但 根据 步骤 3 表 1中情境 问题 与 抽象 问题解 的对应 关 系 知 本 分牛 问 题可 能 存 在 近 似解 若将 题 中矛 盾 按 从 高到 低 依次 分 成 是 否 分 牛 是否 整分 牛 和 是 否严 格 按 遗 嘱要 求 分 牛 三层 则 根据 逐 层分 析法 求近似解 的规 则 应 优 先 解决上 两层矛 盾 让 它们 的状态都 变成 是 即 在 分牛 且 整 分牛 的前提 下求 近似解 为此 可 用 前述方 法 1 5 中任 意一 种 求 解 且结 果 相 同 即三兄弟各 分得 6头 3头 和 2头 至此 我 们看 到 由方法 1 5 得 到的最终 解决方案与智叟的一致 且都是近似解 但它们又 存在很大差别 方法 1 4 在推理过程中 都存 在逻辑 漏洞 方法 5 虽蕴 涵 了 无精 确解 就退 而 求近似解 的解题思想 但还是略显 武断 惟有 智 叟 他 只 给 出 了处 理 纠纷 的方 案 而 未像 方 法 1 4 那 样 还 给出 了含有逻辑 漏洞 的解 释 因 此 不仅智 叟 的方 案正 确 而且 其 处理 方 法 对 于 古 印度 山区没有 多少 文化 的农 民来 说 可谓 是 十 分绝妙 的 4 从人 们对本 题解答情 况统计 看数 学教育 4 1 关 于人们 对本题解 答情 况的统计 1 对 网民解 答情 况 的 统计 笔 者 于 2 0 0 7年 9 月 2日 在 百 度 搜 索 网站 分 别 以 分牛 分 马 分 羊 和 分 牛 问题 为关键 词搜索 再截 取各 关键词搜索到的前 1 0页中与解答类似本趣题有 关 的 帖 子 获 得 对 网 民解 答 统 计 情 况 如 表 2 2 对 大一新生 解答情 况 的统 计 为掌握学 生对本 题 的解 答情况 并找 出其不 能正确解答 的原 因 笔 者对重 庆 邮电大 学 2 0 0 7级 经济 学 和市 场 营 销两 个专业 共 1 0 5名 来 自全 国各 地 的本科 新 生 就 是 否知 道 智 叟分 牛 的故事 是 否 接触 过 与 本趣 题 类似 的问题 以及接 触的 时间和途 径等 进 行 了问 卷调查 并要 求他们 给 出解答 对 问卷 回答 及趣题 解答 情况 的统计如 表 3 和 表 4 表 2 对 网 民解 答 情 况 的 统计 借一法 与 借一法与 质疑 判为 完整 解答类别 借 一 法 总 计 另 一 方法 另两方法 答案 无解 解答 帖子数 7 5 2 3 2 5 1 O 1 0 6 百 分 比 7 l 2 2 2 5 1 O 1 0 0 表 3 对大学生入学前与本题接触情 况的统计 是否接触 是否知道 过本趣题 分牛故事 首次接触的时间 首次接触 的途径 项 目 是 否 是 否 小学 初 中 高中 上课 阅读 上网 听说 其它 人数 6 9 3 6 2 2 8 3 l 7 3 0 2 2 1 4 3 9 1 9 6 百 分 比 6 6 3 4 2 1 7 9 1 6 2 9 2 1 1 3 3 7 1 9 6 2 0 0 9年 第 4 8卷第 3期 数 学通报 5 1 表 4对大 一新 生解 答情况的统计 解答 未解答 借 一 法 连 比法 级数法 方 程法 舍人法 判为 完整 类 别 无解 解答 总计 人 数 2 8 6 6 7 1 1 1 1 O 1 O 5 百 分 比 2 7 6 3 7 1 1 1 1 O 1 0 0 表 5对期刊论文解答情况 的统计 解答 仅用 借一法 与 借一法与 判为 判为 质疑借 完整 总计 类 别 借一法 另一方法 另两方法 错题 无解 一法等 解答 篇 数 5 9 1 1 2 3 O 2 1 百 分 比 2 4 4 3 5 5 1 O 1 4 O 1 0 0 3 对 期 刊 论 文 解 答 情 况 的统 计 以 分 牛 分马 分 羊 趣 味 数 学题 数 学 名 题 和 借 一 还一 为题 名 或 关键 词 通 过 维普 资讯 一 中文 科 技 期 刊 数 据 库 检 索 1 9 8 9年一 2 O O 7年 的全 部 期 刊 共 获 2 1篇 与解本 题 有关 的论 文 其 中的解答 情 况 统 计如 表 5 4 2从 统 计情 况看 数学 教育 从 以上 统计 可 看 到 我 国数 学 教 育 中存 在 如 下 问题 1 学生 受常 规思 维束 缚 严重 尽管 这是 一 道 小学 数学 中 的分 配 问 题 但 由于 它 不 合 常 规 所 以 在常规 思维束缚 下 约有 2 7 的大一学 生不 能或 不敢 做答 另 约有 7 2 的学 生 只 能用 含 有 逻 辑漏 洞 的常规 方法 武 断 地 解 出答 案 所 以 中国 数学 教育 中 常规 思维 训练 太甚 创新 思 维培 养 严 重不 足 2 迷 信权 威 不善 质疑 一 方面 教育 权 威 因错误理解 智叟分牛 的内涵 在将 分牛问题 编人小 学数 学 教 材 和 初 中数 学课 外 读 物 时 给 出 了错误的解答 如 借一法 连 比法 等 另一方 面 大量 的中小 学 教 师 在 不 加 质 疑 的 情 况 下 又 把 这些 似是 而 非 的 方 法传 授 给 了学 生 所 以许 多 学生对 借一法 和 连比法 等 权威 解法深信不 疑 并大 胆运 用 这里 的统 计显 示 网 民 大一 新 生 和论文作者 采用 借一法 的人数 各约占其总解 答人数的 9 5 8 6 和 7 1 即他们对 借一法 提 出 质 疑 的 人 数 各 约 占其 总 解 答 人 数 的 5 1 4 和 2 9 3 成 人 的解 题 思 想 受 其 职 业 背 景 影 响显 著 从期刊论文看 数学教师多数是把 借一法 作 为所 谓 的重要 解 题 思 想 来 运用 且小 学 教 师 多 用 借一法 与 连 比法 如文 E 6 3 1 1 1 2 1 1 4 3 1 5 初中教师多用 借一法 与 方程法 如文 E 8 3 E l O 1 3 E 1 7 1 8 高中教师多用 借一法 与 级数法 如文E 7 E 9 E 1 6 1 非数学教师 则多 将 借一法 用 于商业和爱情 等方 面 表示 有 付 出 就有回报 的比喻意义 如文 2 1 E 2 2 4 部分 作者 治学 态度 欠严 谨 从 期 刊论 文 的 内容 和发表 时 间 上看 观 点 重复 或 已被 否 定 的文 章 有 在 同类 或相 同期 刊上 反复 出现 的现 象 如文 1 1 E 2 3 2 4 与文 1 1 E e s 文 1 0 1 6 1 7 E l 8 与文E 6 E 2 o 3 这似乎表明 有关论文作者 其 治学 态度欠 严谨 总 之 从 人们对 本 题 的解 答 情况 可看 出我 国 数 学教 育 中存 在 的部 分 问 题 这 是值 得我 们 思 考 的 参 考 文 献 1 柯 召 孙琦 单位分数 M 北京 科学出版社 2 0 0 2 2 义务教育数学课程标准研制组组编 数学 六 年级上册 M 北京 北京师范大学出版社 2 0 0 6 3 宋乃 庆主编 数学 六年 级上 M 重庆 西南 师范大学 出版 社 2 0 0 7 4 吴正宪主编 易学易考数学 六年 级上 册 M 北 京 人 民教 育 出版社 2 0 0 7 5 黄家礼 对 分牛 问题解 答的意见 E J 3 数 学教学 2 0 0 3 7 l 0 1 2 6 张贵贤 在数学 活动课 中开展 名题讲座 E l 3 小学教学研究 2 0 0 1 5 1 8 下转 第 5 4页 5 4 数 学通报 2 0 0 9 年 第 4 8卷第 3期 图 4 所在 的直线 方程 2 求折痕长的最大值 错解 1 忌 一0时 y 1 是 0时 Y 一是 J 2 2 2 当 k 一0时 折 痕 的 长 为 2 当 正 0 时 折 痕 所 在 的 直 线 与 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 为 N P 一 所 以 I P N 一 于 是 令 一 生 一o 解 得 忌 1 6 是 一 o 9 7 一一 所 以 l PN l 一 2 从 而 折痕 的长 度 的最大值 是 2 评 析这题 虽是解 几题 其 实也 是个 函数题 上述解答是当年高考命题组给出的 以后有不少 资料 相继沿 用这 一 解 法 事实 上 以 上第 一小 题 没 有疑义 第二小题解法看上去似乎天衣无缝 但仔 细深究不难发现思维上的纰漏 在计算过程 中 不 自觉将折 痕 的长 等 同于 直线夹 在两 坐标轴 的线 段长 最 大值 最 小 值 想 当然认 为一 定 在 y 一 0的零 点上取 到 这是 我 们学 生 易犯 的错 误 务 必 注意 解题过程修正如下 尼 一一 当 P与 厶 B 重合 时 P 点 的 坐标 为 2 0 此 时 k 一 一 2 PNl 一3 2 1 6 3 当 N与 D重合时 N点的坐 标 为 O 1 此时 尼 一一1 I PNl 一2 当一2 是 0时 l PNI 3 2 1 6 当一 一2 时 I PN1 3 2 1 6 厶 当一1 志 4 所 以折痕 E F的最大 值为 3 2 1 6 一4 J2 一2 一 所 以折痕 的长度 的最大 值是 2 上接 第 5 1页 7 王 国平 酋长分马 与数列 的极 限E J 3 数学学习与研究 2 0