初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答.pdf

初中数学二次函数存在性问题初中数学二次函数存在性问题 如图 抛物线y ax2 c a 0 经过梯形ABCD的四个顶点 梯形的底AD在x轴上 其中 A 2 0 B 1 3 1 求抛物线的解析式 2 点M为y轴上任意一点 当点M到A B两点的距离之和为最小时 求此时点M的坐标 3 在第 2 问的结论下 抛物线上的点P使S PAD 4S ABM成立 求点P的坐标 答案 1 1 1 1 因为点A A A A B B B B均在抛物线上 故点A A A A B B B B的坐标适合抛物线方程 40 3 ac ac 解之得 1 4 a c 故 2 4yx 为所求 2 2 2 2 如图 如图 2 2 2 2 连接BDBDBDBD 交y y y y轴于点MMMM 则点MMMM就是所求作的点 设BDBDBDBD的解析式为ykxb 则有 20 3 kb kb 1 2 k b 故BDBDBDBD的解析式为2yx 令0 x 则2y 故 0 2 M 3 3 3 3 如图 3 连接AMAMAMAM BCBCBCBC交y y y y轴于点N N N N 由 2 知 OM OA OD OM OA OD OM OA OD OM OA OD 2 2 2 2 90AMB 易知易知BN MN BN MN BN MN BN MN 1 1 1 1 易求2 2 2AMBM 1 2 222 2 ABM S 设 2 4 P x x 依题意有 2 1 44 2 2 AD x i 即 2 1 444 2 2 x i 解之得 2 2x 0 x 故 符合条件的P P P P点有三个 123 2 2 4 2 2 4 0 4 PPP 10 北京 在平面直角坐标系xOy中 抛物线y 4 1 m x2 4 5m x m2 3m 2 与x轴的交点分别为原点O和点A 点B 2 n 在这条抛物线上 x x x x y y y y MMMM C C C C B B B B D D D D A A A A O O O O 图图 2 2 2 2 x x x x y y y y C C C CB B B B D D D D A A A A O O O O x x x x y y y y N N N N MMMM O O O O P P P P 2 2 2 2 P P P P 1 1 1 1 B B B B D D D D A A A A P P P P 3 3 3 3 C C C C 图图 3 3 3 3 x y O1 1 1 求点B的坐标 2 点P在线段OA上 从O点出发向点运动 过P点作x轴的 垂线 与直线OB交于点E 延长PE到点D 使得ED PE 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD 当P点运动 时 C点 D点也随之运动 1 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时 求 OP的长 答案 解 1 拋物线y 4 1 m x2 4 5m x m2 3m 2 经过原点 m2 3m 2 0 解得m1 1 m2 2 由题意知m 1 m 2 拋物线的解析式为y 4 1 x2 2 5 x 点B 2 n 在拋物线 y 4 1 x2 2 5 x上 n 4 B点的坐标为 2 4 2 1 设直线OB的解析式为y k1x 求得直线OB的解析式为 y 2x A点是拋物线与x轴的一个交点 可求得A点的 坐标为 10 0 设P点的坐标为 a 0 则E点的坐标为 a 2a 根据题意作等腰直角三角形PCD 如图 1 可求 得点C的坐标为 3a 2a 由C点在拋物线上 得 2a 4 1 3a 2 2 5 3a 即 4 9 a2 2 11 a 0 解得a1 9 22 a2 0 舍去 OP 9 22 10 贵州遵义 如图 已知抛物线 0 2 acbxaxy的顶点坐 标为 Q 1 2 且与y轴交于点 C 3 0 与x轴交于 A B 两 点 点 A 在点 B 的右侧 点 P 是该抛物线上一动点 从点 C 沿抛物线向点 A 运动 点 P 与 A 不重合 过点 P 作 PD y轴 交 AC 于点 D 1 求该抛物线的函数关系式 2 当 ADP 是直角三角形时 求点 P 的坐标 3 在问题 2 的结论下 若点 E 在x轴上 点 F 在抛物线上 问是否存在以 A P E F 为顶点的平行四边形 若存在 求点 F 的坐标 若不存在 请说明理由 答案 解 1 抛物线的顶点为 Q 2 1 设 12 2 xay 将 C 0 3 代入上式 得 1203 2 a 1 a 12 2 xy 即34 2 xxy 2 分两种情况 O A B C D E P y x 图 1 当点 P1为直角顶点时 点 P1与点 B 重合 如图 令y 0 得034 2 xx 解之得1 1 x 3 2 x 点 A 在点 B 的右边 B 1 0 A 3 0 P1 1 0 解 当点 A 为 APD2的直角顶点是 如图 OA OC AOC 90 OAD2 45 当 D2AP2 90时 OAP2 45 AO 平分 D2AP2 又 P2D2 y轴 P2D2 AO P2 D2关于x轴对称 设直线 AC 的函数关系式为bkxy 将 A 3 0 C 0 3 代入上式得 b bk 3 30 3 1 b k 3 xy D2在3 xy上 P2在34 2 xxy上 设 D2 x 3 x P2 x 34 2 xx 3 x 34 2 xx 0 065 2 xx 2 1 x 3 2 x 舍 当x 2 时 34 2 xxy 32422 1 P2的坐标为 P2 2 1 即为抛物线顶点 P 点坐标为 P1 1 0 P2 2 1 3 解 由题 2 知 当点 P 的坐标为 P1 1 0 时 不能构成平行四边形 当点 P 的坐标为 P2 2 1 即顶点 Q 时 平移直线 AP 如图 交x轴于点 E 交抛物线于点 F 当 AP FE 时 四边形 PAFE 是平行四边形 P 2 1 可令 F x 1 134 2 xx 解之得 22 1 x 22 2 x F 点有两点 即 F1 22 1 F2 22 1 10 湖北黄冈 已知抛物线 2 0 yaxbxc a 顶点为 C 1 1 且过原点 O 过抛物线上 一点 P x y 向直线 5 4 y 作垂线 垂足为 M 连 FM 如图 1 求字母 a b c 的值 2 在直线 x 1 上有一点 3 1 4 F 求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标 并证明 此时 PFM 为正三角形 3 对抛物线上任意一点 P 是否总存在一点 N 1 t 使 PM PN 恒成立 若存在请求出 t 值 若不存在请说明理由 答案 1 a 1 b 2 c 0 2 过 P 作直线 x 1 的垂线 可求 P 的纵坐标为 1 4 横坐标为 1 13 2 此时 MP MF PF 1 故 MPF 为正三角形 3 不存在 因为当 t 5 4 x 1 时 PM 与 PN 不可能相等 同理 当 t 5 4 x 1 时 PM 与 PN 不可能相等 10 辽宁丹东 如图 平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH 点H的坐标为 8 0 点N 的坐标为 6 4 1 画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180 的图形OABC 并写出顶点A B C的坐标 点M 的对应点为A 点N的对应点为B 点H的对应点为C 2 求出过A B C三点的抛物线的表达式 3 截取CE OF AG m 且E F G分别在线段CO OA AB上 求四边形 BEFG的面积S与m 之间的函数关系式 并写出自变量m的取值范围 面积S是否存在最小值 若存在 请求 出这个最小值 若不存在 请说明理由 4 在 3 的情况下 四边形BEFG是否存在邻边相等的情况 若存在 请直接 写出此时m 的值 并指出相等的邻边 若不存在 说明理由 答案 1 利用中心对称性质 画出梯形OABC A B C三点与M N H分别关于点O中心对称 A 0 4 B 6 4 C 8 0 写错一个点的坐标扣 1 分 O M N H A CE F D B 8 6 4 x y 2 设过A B C三点的抛物线关系式为 2 yaxbxc 抛物线过点A 0 4 4c 则抛物线关系式为 2 4yaxbx 将B 6 4 C 8 0 两点坐标代入关系式 得 x y O M N 6 4 H 8 0 36644 64840 ab ab 解得 1 4 3 2 a b 所求抛物线关系式为 2 13 4 42 yxx 3 OA 4 OC 8 AF 4 m OE 8 m AGFEOFBECEFGBABCO SSSSS 四边形梯形 2 1 OA AB OC 1 2 AF AG 1 2 OE OF 1 2 CE OA mmmmm4 2 1 8 2 1 4 2 1 864 2 1 288 2 mm 0 m 4 2 4 12Sm 当4m 时 S的取最小值 又 0 m 4 不存在m值 使S的取得最小值 4 当22 6m 时 GB GF 当2m 时 BE BG 已知 函数y ax2 x 1 的图象与x轴只有一个公共点 1 求这个函数关系式 2 如图所示 设二次 函数y ax2 x 1 图象的顶点为B 与y轴的交点为A P为图象上的一 点 若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B 求P点的坐标 3 在 2 中 若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M 试探索点M是否在抛物线 y ax2 x 1 上 若在抛物线上 求出M点的坐标 若不在 请说明理由 答案 解 1 当a 0时 y x 1 图象与x轴只有一个公共点 A x y O B 当a 0时 1 4a 0 a 1 4 此时 图象与x轴只有一个公共点 函数的解析式为 y x 1 或 y 1 4 x2 x 1 2 设P为二次函数图象上的一点 过点P作PC x 轴于点C y ax2 x 1是二次函数 由 1 知该函数关系式为 y 1 4 x2 x 1 则顶点为B 2 0 图象与y轴的交点 坐标为A 0 1 以PB为直径的圆与直线AB相切于点B PB AB则 PBC BAO Rt PCB Rt BOA AO BC OB PC 故PC 2BC 设P点的坐标为 x y ABO是锐角 PBA 是直角 PBO 是钝角 x 2 BC 2 x PC 4 2x 即y 4 2x P点的坐标为 x 4 2x 点P在二次函数y 1 4 x2 x 1 的图象上 4 2x 1 4 x2 x 1 解之得 x1 2 x2 10 x 2 x 10 P点的坐标为 10 16 3 点M不在抛物线y ax2 x 1上由 2 知 C为圆与x轴的另一交点 连接CM CM与直线PB的交点为Q 过点M作x轴的垂线 垂足 为D 取CD的中点E 连接QE 则CM PB 且CQ MQ QE MD QE 1 2 MD QE CE CM PB QE CEPC x轴 QCE EQB CPB tan QCE tan EQB tan CPB 1 2 CE 2QE 2 2BE 4BE 又CB 8 故BE 8 5 QE 16 5 Q点的坐标为 18 5 16 5 可求得M点的坐标为 14 5 32 5 1 4 14 5 2 14 5 1 144 25 32 5 C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y ax2 x 1上 10 重庆潼南 如图 已知抛物线cbxxy 2 2 1 与y轴相交于 C 与x轴相交于 A B 点 A 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的解析式 2 点 E 是线段 AC 上一动点 过点 E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的面积最大 时 求点 D 的坐标 3 在直线 BC 上是否存在一点 P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不 存在 说明理由 A B C E D x y o 答案 解 1 二次函数cbxxy 2 2 1 的图像经过点 A 2 0 C 0 1 1 022 c cb 解得 b 2 1 c 1 二次函数的解析式为1 2 1 2 1 2 xxy 2 设点 D 的坐标为 m 0 0 m 2 OD m AD 2 m 由 ADE AOC 得 OC DE AO AD 12 2DEm DE 2 2m CDE 的面积 2 1 2 2m m 24 2 mm 4 1 1 4 1 2 m 当m 1 时 CDE 的面积最大 点 D 的坐标为 1 0 3 存在由 1 知 二次函数的解析式为1 2 1 2 1 2 xxy 设 y 0 则1 2 1 2 1 0 2 xx解得 x1 2x2 1 点 B 的坐标为 1 0 C 0 1 设直线 BC 的解析式为 y kx b 1 0 b bk 解得 k 1b 1 直线 BC 的解析式为 y x 1 在 Rt AOC 中 AOC 90 0 OA 2OC 1 由勾股定理得 AC 5 点 B 1 0 点 C 0 1 OB OC BCO 450 当以点 C 为顶点且 PC AC 5时 设 P k k 1 过点 P 作 PH y 轴于 H HCP BCO 450 CH PH k 在 Rt PCH 中 k2 k2 2 5解得k1 2 10 k2 2 10 P1 2 10 1 2 10 P2 2 10 1 2 10 以 A 为顶点 即 AC AP 5 设 P k k 1 过点 P 作 PG x 轴于 G AG 2 k GP k 1 在 Rt APG 中AG2 PG2 AP2 2 k 2 k 1 2 5 解得 k1 1 k2 0 舍 P3 1 2 以 P 为顶点 PC AP 设 P k k 1 过点 P 作 PQ y轴于点 Q PL x轴于点 L L k 0 QPC 为等腰直角三角形 PQ CQ k 由勾股定理知 CP PA 2k AL k 2 PL k 1 在 Rt PLA 中 2k 2 k 2 2 k 1 2 解得 k 2 5 P4 2 5 2 7 综上所述 存在四个点 P1 2 10 1 2 10 P2 2 10 1 2 10 P3 1 2 P4 2 5 2 7 10 山东临沂 如图 二次函数y x2 ax b的图像与x轴交于A 2 1 0 y AB C O x B 2 0 两点 且与y轴交于点C 1 求该拋物线的解析式 并判断 ABC的形状 2 在x轴上方的拋物线上有一点D 且以A C D B四 点为顶点的四边形是等腰梯形 请直接写出D点的坐标 3 在此拋物线上是否存在点P 使得以A C B P四点 为顶点的四边形是直角梯形 若存在 求出P点的坐标 若不存在 说明理 由 答案 解 1 根据题意 将A 2 1 0 B 2 0 代入y x2 ax b中 得 024 0 2 1 4 1 ba ba 解这个 方程 得a 2 3 b 1 该拋物线的解析式为y x2 2 3 x 1 当x 0 时 y 1 点C的坐标为 0 1 在 AOC中 AC 22 OCOA 22 1 2 1 2 5 在 BOC中 BC 22 OCOB 22 12 5 AB OA OB 2 1 2 2 5 AC 2 BC2 4 5 5 4 25 AB 2 ABC 是直 角三角形 2 点D的坐标为 2 3 1 3 存在 由 1 知 AC BC 1 若以BC为底边 则BC AP 如图 1 所示 可求得直线 BC的解析式为y 2 1 x 1 直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的 所以设直线AP的解析式为y 2 1 x b 把点A 2 1 0 代入直线AP的解析式 求得b 4 1 直线AP的解析式为y 2 1 x 4 1 点P既在拋物线上 又在直线 AP上 点P的纵坐标相等 即 x2 2 3 x 1 2 1 x 4 1 解得x1 2 5 x2 2 1 舍去 当x 2 5 时 y 2 3 点P 2 5 2 3 2 若以AC为底边 则BP AC 如图 2 所示 可求得直线AC的解析式为y 2x 1 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的 所以设直线BP的解析式为y 2x b 把点B 2 0 代 入直线BP的解析式 求得b 4 直线BP的解析式为y 2x 4 点P既在拋物线 上 又在直线BP上 点P的纵坐标相等 即 x2 2 3 x 1 2x 4 解得x1 2 5 x2 2 舍去 y AB C O x P y AB C O P x 当x 2 5 时 y 9 点P的坐标为 2 5 9 综上所述 满足题目条件的点P为 2 5 2 3 或 2 5 9 10 山东潍坊 如图所示 抛物线与x轴交于点 1030AB 两点 与y轴交于点 03 C 以AB为直径作M 过抛物线上一点P作M 的切线PD 切点为D 并与M 的切线AE相交于点E 连结DM并延长交M 于点N 连结 ANAD 1 求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标 2 若四边形EAMD的面积为4 3 求直线PD的函数关系式 3 抛物线上是否存在点P 使得四边形EAMD的面积等于DAN 的面积 若存在 求出 点P的坐标 若不存在 说明理由 答案 解 1 因为抛物线与x轴交于点 1030AB 两点 设抛物线的函数关系式为 13ya xx 抛物线与y轴交于点 03C 30 103a 1 a 所以 抛物线的函数关系式为 2 23yxx 又 2 14yx 因此 抛物线的顶点坐标为 14 2 连结EM EAED 是M 的两条切线 EAEDEAAMEDMN EAMEDM 又四边形EAMD的面积为4 3 2 3 EAM S 1 2 3 2 AM AE 又2AM 2 3 AE 因此 点E的坐标为 1 12 3E 或 2 12 3 E 当E点在第二象限时 切点D在第一象限 在直角三角形EAM中 2 3 tan3 2 EA EMA AM 60EMA 60DMB 过切点D作DFAB 垂足为点F 13MFDF 因此 切点D的坐标为 23 设直线PD的函数关系式为ykxb 将 12 323ED 的坐标代入得 32 2 3 kb kb 解之 得 3 3 5 3 3 k b 所以 直线PD的函数关系式为 35 3 33 yx 当E点在第三象限时 切点D在第四象限 同理可求 切点D的坐标为 23 直线PD的函数关系式为 35 3 33 yx 因此 直线PD的函数关系式为 35 3 33 yx 或 35 3 33 yx 3 若四边形EAMD的面积等于DAN 的面积 又22 EAMDANAMDEAMD SSSS 四边形 AMDEAM SS ED 两点到x轴的距离相等 PD与M 相切 点D与点E在x轴同侧 切线PD与x轴平行 此时切线PD的函数关系式为2y 或2 y 当2y 时 由 2 23yxx 得 16x 当2y 时 由 2 23yxx 得 12x 故满足条件的点P的位置有 4 个 分别是 123 16 216 2122PPP 4 122 P 说明说明 本参考答案给出了一种解题方法 其它正确方法应参考标准给出相应分数 10 山东省淄博 已知直角坐标系中有一点A 4 3 点B在x轴上 AOB是等腰三角形 1 求满足条件的所有点B的坐标 2 求过O A B三点且开口向下的抛物线的函数表达式 只需求出满足条件的一条即可 3 在 2 中求出的抛物线上存在点P 使得以O A B P四点为顶点的四边形是梯形 求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积 答案 解 作AC x轴 由已知得OC 4 AC 3 OA 22 ACOC 5 1 当OA OB 5 时 如果点B在x轴的负半轴上 如图 1 点B的坐标为 5 0 如果点B在x轴的正半轴上 如图 2 点B的坐标为 5 0 x y BC A O x y B C A O 2 1 当OA AB时 点B在x轴的负半轴上 如图 3 BC OC 则OB 8 点B的坐标为 8 0 当AB OB时 点B在x轴的负半轴上 如图 4 在x轴上取点D 使AD OA 可知OD 8 由 AOB OAB ODA 可知 AOB ODA 则 OD OA OA OB 解得OB 8 25 点B 的坐标为 8 25 0 y B C A xO 3 4 y A BD xO 2 当AB OA时 抛物线过O 0 0 A 4 3 B 8 0 三点 设抛物线的函数表 达式为bxaxy 2 可得方程组 3416 0864 ba ba 解得a 16 3 2 3 b xxy 2 3 16 3 2 当OA OB时 同理得xxy 4 15 4 3 2 3 当OA AB时 若BP OA 如图 5 作PE x轴 则 AOC PBE ACO PEB 90 AOC PBE 4 3 OC AC BE PE 设BE 4m PE 3m 则点P的坐标为 4m 8 3m 代入xxy 2 3 16 3 2 解得m 3 则点P的坐标为 4 9 S梯形ABPO S ABO S BPO 48 若OP AB 图略 根据抛物线的对称性可得点P的坐标为 12 9 S梯形AOPB S ABO S BPO 48 5 O y B C A x P E 6 x y B A OC P F 当OA OB时 若BP OA 如图 6 作PF x轴 则 AOC PBF ACO PFB 90 AOC PBF 4 3 OC AC BF PF 设BF 4m PF 3m 则点P的坐标为 4m 5 3m 代入xxy 4 15 4 3 2 解得m 2 3 则点P的坐标为 1 2 9 S梯形ABPO S ABO S BPO 4 75 若OP AB 图略 作PF x轴 则 ABC POF ACB PFO 90 ABC POF 3 BC AC OF PF 设点P的坐标为 n 3n 代入xxy 4 15 4 3 2 解得n 9 则点P 的坐标为 9 27 S梯形AOPB S ABO S BPO 75 10 广西河池 如图 11 在直角梯形OABC中 CB OA 90OAB 点O为坐标原点 点A在x轴 的正半轴上 对角线OB AC相交于点M 4OAAB 2OACB 1 线段OB的长为 点C的坐标为 2 求 OCM的面积 3 求过O A C三点的抛物线的解析式 4 若点E在 3 的抛物线的对称轴上 点F为该 抛物线上的点 且以A O F E四点为顶点的四边形 为平行四边形 求点F的坐标 y x M C B OA 图 11 答案 解 1 42 2 4 2 在直角梯形OABC中 OA AB 4 90OAB CB OA OAM BCM 又 OA 2BC AM 2CM CM 3 1 AC 所以 1118 4 4 3323 OCMOAC SS 注 另有其它解法同样可得结果 正确得本小题满分 3 设抛物线的解析式为 2 0yaxbxc a 由抛物线的图象经过点 0 0O 4 0A 2 4C 所以 424 0416 0 cba cba c 解这个方程组 得1a 4b 0c 所以抛物线的解析式为 2 4yxx 4 抛物线 2 4yxx 的对称轴是CD 2x 当点E在x轴的下方时 CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形 此时 点F和点C重合 点F的坐标即为点 2 4C 当点E在x轴的下方 点F在对称轴2x 的右侧 存在平行四边形AOEF OA EF 且OAEF 此时点F的横坐标为 6 将6x 代入 2 4yxx 可得12y 所以 6 12F 同理 点F在对称轴2x 的左侧 存在平行四边形OAEF OA FE 且OAFE 此时点F的横坐标为2 将2x 代入 2 4yxx 可得12y 所以 2 12F 综上所述 点F的坐标为 2 4 6 12 2 12 10 广西桂林 如图 过A 8 0 B 0 8 3 两点的直线与直线xy3 交于点C 平 行于y轴的直线l从原点O出发 以每秒 1 个单位长度的速度沿x轴向右平移 到C点时停 止 l分别交线段BC OC于点D E 以DE为边向左侧作等边 DEF 设 DEF与 BCO 重叠部分的面积为 S 平方单位 直线l的运动时间为 t 秒 1 直接写出C点坐标和 t 的取值范围 2 求 S 与 t 的函数关系式 3 设直线l与x轴交于点P 是否存在这样的点P 使得以P O F为顶点的三角形为等 腰三角形 若存在 请直接写出点P的坐标 若不存在 请说明理由 答案 解 1 C 4 4 3 t的取值范围是 0 t 4 2 D点的坐标是 t 38 3t E的坐标是 t 3t DE 38 3t 3t 8 32 3t 等边 DEF的DE边上的高为 123t 当点F在BO边上时 123t t t 3 当 0 t 3 时 重叠部分为等腰梯形 可求梯形上底为 8 32 3t 2 3 3 t S 2 3 8 32 38 32 3 23 t ttt 14 16 33 23 t t 2 7 38 3 3 tt 当 3 t 4 时 重叠部分为等边三角形 A 8 C O B 备用图1 8 3 x y 3yx A 8P C E O D F B l 3yx x y 8 3 A 8P C E O D F B l 3yx x y 8 3 S 1 8 32 3 123 2 tt 2 3 324 348 3tt 3 存在 P 24 7 0 说明 FO 4 3 FP 4 3 OP 4 以P O F以顶点的等腰三角形 腰只有可能是FO FP 若FO FP时 t 2 12 3t t 24 7 P 24 7 0 7 2 x B 0 4 A 6 0 E F x y O 二次函数与四边形二次函数与四边形动点综合问题动点综合问题 一 二次函数与四边形的形状二次函数与四边形的形状 例 1 浙江义乌市 如图 抛物线 2 23yxx 与 x 轴交 A B 两点 A 点在 B 点左 侧 直线l与抛物线交于 A C 两点 其中 C 点的横坐标为 2 1 求 A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式 2 P 是线段 AC 上的一个动点 过 P 点作 y 轴的平 行线交抛物线于 E 点 求线段 PE 长度的最大值 3 点 G 是抛物线上的动点 在 x 轴上是否存在点 F 使 A C F G 这样的四 个点为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 求出所有满足条件的 F 点坐标 如果不 存在 请说明理由 练习 1 河南省实验区河南省实验区 23 如图 对称轴为直线 7 2 x 的抛物线经过点 A 6 0 和B 0 4 1 求抛物线解析式及顶点坐标 2 设点 E x y 是抛物线上一动点 且位于第四象限 四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形 求平行四边形 OEAF 的面积 S 与x之间的函数 关系式 并写出自变量x的取值范围 当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时 请判断平行四边形 OEAF 是否 为菱形 是否存在点 E 使平行四边形 OEAF 为正方形 若存在 求出点 E 的坐标 若不存在 请说明理由 A 练习练习练习练习 2 2 2 2 四川省德阳市 四川省德阳市 四川省德阳市 四川省德阳市 25 25 25 25 如图 已知与x轴交于点 10 A 和 5 0 B 的抛物线 1 l的顶点为 3 4 C 抛物线 2 l与 1 l关于x轴对称 顶点为C 1 求抛物线 2 l的函数关系式 2 已知原点O 定点 0 4 D 2 l上的点P与 1 l上的点P 始终关于x轴对称 则当点P运动到何处 时 以点DOPP 为顶点的四边形是平行四边形 3 在 2 l上是否存在点M 使ABM 是以AB为斜边且一个角为30 的直角三角形 若存 求出 点M的坐标 若不存在 说明理由 练习 3 山西卷 如图 已知抛物线 1 C与坐标轴的交点依次是 4 0 A 2 0 B 0 8 E 1 求抛物线 1 C关于原点对称的抛物线 2 C的解析式 2 设抛物线 1 C的顶点为M 抛物线 2 C与x轴分别交于 CD 两点 点C在点D的左侧 顶点为N 四边形MDNA的 面积为S 若点A 点D同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分 别向右 向左运动 与此同时 点M 点N同时以每秒 2 个单位 的速度沿坚直方向分别向下 向上运动 直到点A与点D重合为止 求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式 并写出自 变量t的取值范围 3 当t为何值时 四边形MDNA的面积S有最大值 并求出 此最大值 4 在运动过程中 四边形MDNA能否形成矩形 若能 求 出此时t的值 若不能 请说明理由 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2 l 1 l x y 二 二次函数与四边形的面积二次函数与四边形的面积 例例例例 1 1 1 1 资阳市资阳市资阳市资阳市 25 25 25 25 如图 10 已知抛物线 P y ax 2 bx c a 0 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在 x 轴的 正半轴上 与 y 轴交于点 C 矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上 顶点 F G 分别在线段 BC AC 上 抛 物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下 x 3 212 y 5 2 4 5 2 0 1 求 A B C 三点的坐标 2 若点 D 的坐标为 m 0 矩形 DEFG 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关 系 并指出 m 的取值范围 3 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时 连接 DF 并延长至点 M 使 FM k DF 若点 M 不在抛物线 P 上 求 k 的取值范围 练习 1 辽宁省十二市 2007 年第 26 题 如图 平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH 点H的坐标 为 8 0 点N的坐标为 6 4 1 画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180 的图形OABC 并写出顶点A B C的坐标 点M的对应点 为A 点N的对应点为B 点H的对应点为C 2 求出过A B C三点的抛物线的表达式 3 截取CE OF AG m 且E F G分别在线段CO OA AB上 求四边形BEFG的面积S与m之间的 函数关系式 并写出自变量m的取值范围 面积S是否存在最小值 若存在 请求出这个最小值 若不存 在 请说明理由 4 在 3 的情况下 四边形BEFG是否存在邻边相等的情况 若存在 请直接写出此时m 的值 并指出相等的邻边 若不存在 说明理由 图 10 练习 3 吉林课改卷 如图 正方形ABCD的边长为2cm 在对称中心O处有一钉子 动点P Q 同时从点A出发 点P沿ABC 方向以每秒2cm的速度运动 到点C停止 点Q沿AD 方向 以每秒1cm的速度运动 到点D停止 P Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联 结 设x秒后橡皮筋扫过的面积为 2 cmy 1 当01x 时 求y与x之间的函数关系式 2 当橡皮筋刚好触及钉子时 求x值 3 当12x 时 求y与x之间的函数关系式 并写出橡皮筋从触及 钉子到运动停止时POQ 的变化范围 4 当02x 时 请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图 象 练习 4 四川资阳卷 如图 已知抛物线l1 y x2 4 的图象与x轴相 交于A C两点 B是抛物线l1上的动点 B不与A C重合 抛物线l2 与l1关于x轴对称 以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为 D 1 求l2的解析式 2 求证 点D一定在l2上 3 ABCD能否为矩形 如果能为矩形 求这些矩形公共部分的面积 B C P O D Q A B PC O D Q A y 3 2 1 O1 2x 若只有一个矩形符合条件 则求此矩形的面积 如果不能为矩形 请说明理由 注 计算结果不取近似 值 三 二次函数与四边形的动态探究 例例 1 1 1 1 荆门市荆门市 28 如图 1 在平面直角坐标系中 有一张矩形纸片OABC 已知O 0 0 A 4 0 C 0 3 点P是OA边上的动点 与点O A不重合 现将 PAB沿PB翻折 得到 PDB 再在OC边上选取 适当的点E 将 POE沿PE翻折 得到 PFE 并使直线PD PF重合 1 设P x 0 E 0 y 求y关于x的函数关系式 并求y的最大值 2 如图 2 若翻折后点D落在BC边上 求过点P B E的抛物线的函数关系式 3 在 2 的情况下 在该抛物线上是否存在点Q 使 PEQ是以PE为直角边的直角三角形 若不存在 说明理由 若存在 求出点Q的坐标 图 1 F E P D y x B A C O 图 2 O C A B x y D P E F 例 2 2010 年沈阳市第 26 题 已知抛物线y ax2 bx c与x 轴交于A B两点 与y轴交于点C 其中点B在x轴的正半轴上 点C在y轴的正半轴上 线段OB OC的长 OB 问当c为何值时 该抛物线上存在点P 使得以GSHP 为顶点的四边形 是平行四边形 并求出所有符合条件的P点坐标 答案 一 二次函数与四边形的形状二次函数与四边形的形状 例 1 解 1 令 y 0 解得 1 1x 或 2 3x A 1 0 B 3 0 将 C 点的横坐标 x 2 代入 2 23yxx 得 y 3 C 2 3 直线 AC 的函数解析式是 y x 1 2 设 P 点的横坐标为 x 1 x 2 则 P E 的坐标分别为 P x x 1 E 2 23 x xx P 点在 E 点的上方 PE 22 1 23 2xxxxx 当 1 2 x 时 PE 的最大值 9 4 3 存在 4 个这样的点 F 分别是 1234 1 0 3 0 47 0 47 0 FFFF 练 习 1 解 1 由 抛 物 线 的 对 称 轴 是 7 2 x 可 设 解 析 式 为 2 7 2 ya xk 把 A B 两点坐标代入上式 得 2 2 7 6 0 2 7 0 4 2 ak ak 解之 得 225 36 ak 故抛物线解析式为 2 2725 326 yx 顶点为 725 26 2 点 E x y在抛物线上 位于第四象限 且坐标适合 5 4 3 2 1 1 2 3 D 5 5 4321 C E M B C 1 O 2 l 1 l x y 2 2725 326 yx y0 y 表示点 E 到 OA 的距离 OA 是OEAF 的对角线 2 17 2264 25 22 OAE SSOA yy 因为抛物线与x轴的两个交点是 1 0 的 6 0 所以 自变量x的 取值范围是 1 x 6 1根据题意 当 S 24 时 即 2 7 4 2524 2 x 化简 得 2 71 24 x 解之 得 12 3 4 xx 故所求的点 E 有两个 分别为 E1 3 4 E2 4 4 点 E1 3 4 满足 OE AE 所以OEAF 是菱形 点 E2 4 4 不满足 OE AE 所以OEAF 不是菱形 2当 OA EF 且 OA EF 时 OEAF 是正方形 此时点 E 的 坐标只能是 3 3 而坐标为 3 3 的点不在抛物线上 故不存在这样的点 E 使OEAF 为正方形 练习练习 2 2 2 2 解解 1 由题意知点C 的坐标为 34 设 2 l的函数关系式为 2 3 4ya x 又 点 10 A 在抛物线 2 3 4ya x 上 2 1 3 40a 解得1a 抛物线 2 l的函数关系式为 2 3 4yx 或 2 65yxx 2 P 与P 始终关于x轴对称 PP 与y轴平行 设点P的横坐标为m 则其纵坐标为 2 65mm 4OD 2 2654mm 即 2 652mm 当 2 652mm 时 解得36m 当 2 652mm 时 解得32m 当点P运动到 36 2 或 36 2 或 322 或 322 时 P POD 以点DOPP 为顶点的四边形是平行四边形 3 满足条件的点M不存在 理由如下 若存在满足条件的点M在 2 l上 则 90AMB 30BAM 或30ABM 11 42 22 BMAB 过点M作MEAB 于点E 可得30BMEBAM 11 21 22 EBBM 3EM 4OE 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2 l 1 l x y 点M的坐标为 43 但是 当4x 时 2 46 451624533y 不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形 练习 3 解 1 点 4 0 A 点 2 0 B 点 0 8 E 关于原点的对称点分别为 4 0 D 2 0 C 08 F 设抛物线 2 C的解析式是 2 0 yaxbxc a 则 1640 420 8 abc abc c 解得 1 6 8 a b c 所以所求抛物线的解析式是 2 68yxx 2 由 1 可计算得点 31 31 MN 过点N作NHAD 垂足为H 当运动到时刻t时 282ADODt 12NHt 根据中心对称的性质OAODOMON 所以四边形MDNA 是平行四边形 所 以2 ADN SS 所 以 四 边 形MDNA的 面 积 2 82 12 4148Stttt 因为运动至点A与点D重合为 止 据题意可知04t 所以 所求关系式是 2 4148Stt t的取值范围是04t 3 781 4 44 St 04t 所以 7 4 t 时 S有最大值 81 4 提示 也可用顶点坐标公式来求 4 在运动过程中四边形MDNA能形成矩形 由 2 知四边形MDNA是平行四边形 对角线是ADMN 所以当ADMN 时四边形MDNA是 矩形 所以ODON 所以 2222 ODONOHNH 所以 22 420tt 解之得 12 6262tt 舍 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形 此时62t 点评 本题以二次函数为背景 结合动态问题 存在性问题 最值问题 是一道较传统的压轴题 能 力要求较高 二 二次函数与四边形的面积二次函数与四边形的面积 例例 1 1 解解 1 解法一 设 0 2 acbxaxy 任取 x y 的三组值代入 求出解析式 2 1 4 2 yxx 令 y 0 求出 12 4 2xx 令 x 0 得 y 4 A B C 三点的坐标分别是 A 2 0 B 4 0 C 0 4 解法二 由抛物线 P 过点 1 5 2 3 5 2 可知 抛物线 P 的对称轴方程为 x 1 又 抛物线 P 过 2 0 2 4 则由抛物线的对称性可知 点 A B C 的坐标分别为 A 2 0 B 4 0 C 0 4 2 由题意 ADDG AOOC 而 AO 2 OC 4 AD 2 m 故 DG 4 2m 又 BEEF BOOC EF DG 得 BE 4 2m DE 3m DEFG s DG DE 4 2m 3m 12m 6m 2 0 m 2 注 也可通过解 Rt BOC 及 Rt AOC 或依据 BOC 是等腰直角三角形建立关系求解 3 SDEFG 12m 6m 2 0 m 2 m 1 时 矩形的面积最大 且最大面积是 6 当矩形面积最大时 其顶点为 D 1 0 G 1 2 F 2 2 E 2 0 设直线 DF 的解析式为 y kx b 易知 k 2 3 b 2 3 22 33 yx 又可求得抛物线 P 的解析式为 2 1 4 2 yxx 令 22 33 x 2 1 4 2 xx 可求出 3 611 x 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N 则 N 的横坐标为 161 3 过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H 有 FNHE DFDE 161 2 3 3 561 9 点 M 不在抛物线 P 上 即点 M 不与 N 重合时 此时 k 的取值范围是 k 561 9 且 k 0 说明 若以上两条件错漏一个 本步不得分 若选择另一问题 2 ADDG AOOC 而 AD 1 AO 2 OC 4 则 DG 2 又 FGCP ABOC 而 AB 6 CP 2 OC 4 则 FG 3 DEFG s DG FG 6 练习 1 解 利用中心对称性质 画出梯形OABC 1 分 A B C三点与M N H分别关于点O中心对称 A 0 4 B 6 4 C 8 0 3 分 写错一个点的坐标扣 1 分 2 设过A B C三点的抛物线关系式为 抛物线过点A 0 4 则抛物线关系式为 4 分 将B 6 4 C 8 0 两点坐标代入关系式 得 5AB 垂足为G 则 sin FEG sin CAB 分 解得 6 分 所求抛物线关系式为 7 分 3 OA 4 OC 8 AF 4 m OE 8 m 8 分 OA AB OC AF AGOE OFCE OA 0 4 10 分 当时 S的取最小值 又 0 m 4 不存在m值 使S的取得最小值 12 分 4 当时 GB GF 当时 BE BG 14 分 练习 3 解 1 当01x 时 2APx AQx 2 1 2 yAQ APx i 即 2 yx 2 当 1 2 ABCDABPQ SS 正方形四边形 时 橡皮筋刚好触及钉子 22BPx AQx 2 11 2222 22 xx 4 3 x 3 当 4 1 3 x 时 2AB 22PBx AQx 22 232 22 AQBPxx yABx i 即32yx 作OEAB E为垂足 当 4 2 3 x 时 22BPx AQx 1OE BEOPOEAQ ySS 梯形梯形 1221 11 22 xx 3 2 x 即 3 2 yx 90180POQ 或180270POQ 4 如图所示 练习 4 解 1 设l2的解析式为y ax2 bx c a 0 l1与x轴的交点为A 2 0 C 2 0 顶点坐标是 0 4 l2与l1关于x轴对称 l2过A 2 0 C 2 0 顶点坐标是 0 4 420 420 4 abc abc c a 1 b 0 c 4 即l2的解析式为y x2 4 还可利用顶点式 对称性关系等方法解答 2 设点B m n 为l1 y x2 4 上任意一点 则n m2 4 四边形ABCD是平行四边形 点A C关于原点O对称 B D关于原点O对称 点D的坐标为D m n 由 式可知 n m2 4 m 2 4 即点D的坐标满足y x2 4 3 2 1 O 12x y 4 3 点D在l2上 3 ABCD能为矩形 过点B作BH x轴于H 由点B在l1 y x2 4 上 可设点B的坐标为 x0 x02 4 则OH x0 BH x02 4 易知 当且仅当BO AO 2 时 ABCD为矩形 在 Rt OBH中 由勾股定理得 x0 2 x02 4 2 22 x02 4 x02 3 0 x0 2 舍去 x0 3 所以 当点B坐标为B 3 1 或B 3 1 时 ABCD为矩形 此时 点 D的坐标分别是D 3 1 D 3 1 因此 符合条件的矩形有且只有 2 个 即矩形ABCD和矩形AB CD 设直线AB与y轴交于E 显然 AOE AHB EO AO BH AH 1 223 EO EO 4 23 由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB CD 重合部分是菱形 其面积为 S 2S ACE 2 1 2 AC EO 2 1 2 4 4 2 3 16 8 3 三 二次函数与四边形的动态探究 例 1 解 1 由已知PB平分 APD PE平分 OPF 且PD PF重合 则 BPE 90 OPE APB 90 又 APB ABP 90 OPE PBA Rt POE Rt BPA POBA OEAP 即 3 4 x yx y 2 114 4 333 xxxx 0 x 4 且当x 2 时 y有最大值 1 3 2 由已知 PAB POE均为等腰三角形 可得P 1 0 E 0 1 B 4 3 设过此三点的抛物线为y ax2 bx c 则 1 0 1643 c abc abc 1 2 3 2 1 a b c y 2 13 1 22 xx 3 由 2 知 EPB 90 即点Q与点B重合时满足条件 直线PB为y x 1 与y轴交于点 0 1 将PB向上平移 2 个单位则过点E 0 1 该直线为y x 1 由 2 1 1