例谈勾股定理应用中的数学思想方法.pdf

例谈勾股定理应用中的数学思想方法 223800江苏省宿迁市实验学校李军石学梅 勾股定理是初二学生学习的内容 定理不仅形式简 单 而且寓意深刻 其中包含诸多重要的数学思想方法 勾股定理在应用过程中渗透的学思想方法 极大地丰富 了定理的内涵与实质 而且每种思想方法在应用时不是 独立于问题中 往往需要综合分析考虑 灵活应用 本文 列举勾股定理在应用中的几种常见思想方法 供大家研 讨 以期抛砖引玉 1思想方法举隅 1 1数形结合思想 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系 本身 就体现了数形结合的思想 数无形 少直观 形无数 难 入微 利用 数形结合 可使所要研究的问题化难为易 化繁为简 图 1 例 1 2002 年 8 月在北京召开 的国际数学家大会的会标 它取材 于我国古代数学家赵爽的 勾股圆 方图 由四个全等的直角三角形和 一个小正方形拼成的大正方形 如 图 1 所示 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积是 1 直角三角形的较短直角边为 a 较长直角边为 b 那么 a b 2 的值是 A 13B 19C 25D 169 分析结合图形 可得 a 2 b2 13 4 1 2 ab 13 1 即 2ab 12 由完全平方公式 得 a b 2 a2 2ab b2 13 12 25 故选 C 櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧 本质特征 通过分析 对比 突出事物隐藏的本质属性 帮助学生克服思维定势的负效应 如在学习 三角形的高 这一概念时 可以向学生呈 现一些在形状 位置等方面有差异的不同三角形 锐角 三角形 直角三角形 钝角三角形 的例证 让学生通过 对这几种典型变式的思维加工 抽象概括出 三角形的 高 的定义 2 2 4尝试错误 尝试错误指学生从正面接触概念后 教师从概念的 反面有针对性地创设一种错误的情境 引导学生深入到 这种特定的情境中 运用已有的知识和经验去分析错误 原因 并尝试纠正 2 3重视概念的运用 拓展思维 概念的形成是一个由个别到一般的过程 而概念的 运用则是一个由一般到个别的过程 它们是学生掌握概 念的两个阶段 通过运用概念 可以加深 丰富和巩固学 生对数学概念的掌握 在概念运用过程中也有利于培养 学生思维的深刻性 灵活性和创造性 概念建立后 可以针对学生的疑点与难点 采用灵 活多样的方式 从不同角度对概念进行训练 引导学生 经过观察 比较 猜测 试验 推理等思维过程进行探索 从而达到熟练运用的目的 如学习了 线段 的概念后 同学们已掌握了数线段 的规律 并明白在直线上有 n 个点 可得到 1 2 n n 1 条 线段 然后通过提出 若我们每组 4 名同学 每两人都握 一次手 共握几次手 若 5 名同学呢 n 名呢 在这些 基础上 你还能联想到什么 让学生在讨论交流中 联 想到实际生活中的循环比赛 平面上的 n 个点可确定的 线段 射线 平面上 n 条直线两两相交的交点个数 还联 想到角的数法等 在学了三角形的内切圆后 想到如何 帮工人从一块三角形的余料中截取一个面积最大的圆 等 让学生用学到的数学概念解决日常生活中的实际问 题 是在概念教学中培养创新思维的有力手段 收稿日期 20110303 3 教学论坛 2011 年第 4 期 初中版 点评本题 以形求数 数融形中 将完全平方公 式应用与图形面积关系紧密联系起来 问题设置巧妙 解题方法灵活多样 在数学教学中 要重视由数想形 以形助数的数形 结合思想 它具有使问题直观呈现的优点 有利于问题 的理解和解决 在解答数学题时 数形结合 有利于学生 分析题中数量之间的关系 丰富表象 引发联想 启迪思 维 拓宽思路 迅速找到解决问题的方法 从而提高分析 问题和解决问题的能力 抓住数形结合思想教学 不仅 能够提高学生的数形转化能力 还可以提高学生的思维 迁移能力 1 2方程思想 所谓方程思想 就是在解决数学问题时 从分析问题 的数量关系入手 通过设未知数 把问题中的已知量与未 知量之间的数量关系联系起来 从而建立方程或方程组的 数学模型 然后求解方程或方程组使问题得以解决 用方 程思想分析 处理问题 思路清晰 解题灵活 简便 图 2 例 2如图 折叠矩形一边 AD 使 D 落在 BC 上与点 F 重 合 已知 AB 8 BC 10 求折 痕 AE 的长 分析此题源于课本 是 一道常见题 显然在 Rt ADE 中 要想求出 AE 长 关键 是求出 DE 的长 在没有学习相似三角形知识背景下 若 设 DE x 而 DE EF 在 Rt EFC 中 由勾股定理构造 方程很容易求出 DE EF 5 进而可得 AE 槡 5 5 点评具体解决本题可分为三个层次 第一 在 Rt ABF中 先用勾股定理求出 BF 6 第二 在Rt EFC 中 由勾股定理构造方程 求出 DE EF 5 第三 在 Rt ADE中 由勾股定理容易求出 AE 槡 55 这里 方 程 起到了很好的载体作用 即使用 相似三角形知识 也还是构建 方程等式 解决问题 教学中要让学生体会 方程 是解决问题的有效工 具 引导学生挖掘题目中的等量关系 构建方程 组 解 决数学问题 1 3分类讨论思想 在数学中 我们常常需要根据研究对象性质的差 异 分各种不同情况予以考察 这种分类思考的方法是 一种重要的数学思想方法 也是一种解题策略 在分类 中关键是要弄清引起分类的原因 明确分类讨论的对象 和标准 按可能出现的情况做到既不重复 又不遗漏 分 门别类加以讨论求解 再将不同结论综合归纳 得出正 确答案 分类讨论的原则是 一次分类只能按同一个标准 分 类中的每一部分是相互独立的 分类讨论要逐级进行 例 3在 Rt ABC 中 已知 a 6 b 8 则Rt ABC 的外接圆半径 R 分析本题因没有指明斜边和直角边 故解答时要 分类讨论 解 1 当 b 8 为直角边时 斜边 c 10 则 Rt ABC的外接圆半径 R 5 2 当 b 8 为斜边时 则 Rt ABC 的外接圆半径 R 4 综上所述 Rt ABC 的外接圆半径 R 5 或 4 点评分类是数学发现的重要手段和平台 在教学 中 如果对学过的知识恰当地进行分类 可以使大量纷 繁的知识具有条理性 1 4化归与转化思想 化归与转化思想即是将未知解法或难以解决的问 题 通过观察 分析 联想 类比等思维过程 选择恰当的 方法进行转化 变通为在已知知识范围内已经解决或容 易解决的问题的数学思想 化归与转化思想是解决数学 问题的根本思想 解数学题的过程其实就是逐渐转化的 过程 数学中的转化俯拾皆是 如 未知向已知转化 命 题之间的转化 数与形的相互转化 多元向一元转化 高 次向低次转化 部分向整体转化 不规则向规则转化 生 活问题向数学问题转化等等 都是转化思想的体现 4 2011 年第 4 期 初中版 教学论坛 例 4如图 3 在四边形 ABCD 中 AB CD ADC BCD 90 且 DC 2AB 分别以 DA AB BC 为边向 梯形外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 则 S1 S2 S3 之间的数量关系怎样 图 3 分析看见此题图形容易让人联想到 1955 年希 腊发行的纪念邮票上的图案 根据勾股定理很容易得 出三个正方形面积之间的数量关系 图 4 解受 邮票图 的启发 我们可以将问题作如图 5 的 转化 从而得出 S1 S2 S3之间的数量关系是 S1 S3 S2 图 5 例5在长 宽都是3 高是8 的长方体纸箱的外部 如果一只蚂蚁从顶点 A 沿纸箱表面爬到顶点 B 点 那么 它所行的最短路线的长是 图 6 解析本题是空间图形向平面图形转化的实例 通过 化曲为直 利用勾股定理将问题解决 点评转化思想是一种重要的数学思想 它是把那 些陌生的或不易解决的问题 设法通过某种数学手段 转化为我们所熟悉的 或已经解决的 或容易解决的问 题 从而使原问题获得解决 它是创造性思维的一个重 要组成部分 1 5类比思想 类比思想涉及知识的迁移 它把两个 或两类 不同 的数学对象进行比较 如果发现它们在某些方面有相同 或类似之处 那么就推断它们在其他方面也可能有相同 或类似之处 例 6 ABC 中 BC a AC b AB c 若 C 90 如图 7 根据勾股定理 则 a2 b2 c2 若 ABC 不是 直角三角形 如图 8 和图 9 请你类比勾股定理 试猜想 a2 b2与 c2的关系 并证明你的结论 图 7 图 8 图 9 选图 9 进行证明 图 10 图 11 证明如图11 过 B 作 BD AC 交 AC 的延长线于 D 5 教学论坛 2011 年第 4 期 初中版 设 CD 为 x 则有 BD2 a2 x2 根据勾股定理 得 b x 2 a2 x2 c2 即 a2 b2 2bx c2 b 0 x 0 2bx 0 a2 b2 c2 锐角三角形证明略 点评勾股定理是我们非常熟悉的几何知识 对于 直角三角形三边具有 a2 b2 c2的关系 那么锐角三角 形 钝角三角形的三边又是怎样的关系呢 通过类比 我们可以利用作高这条辅助线 将一般三角形转化为直 角三角形来确定三边的关系 类比思想是初中数学教学中常用的数学思想 类比 思想是通过形式 结构的相似 内容相近等进行对比 找 出其内在联系 利用旧知识学习新知识的方法 教师在 教学中要善于挖掘出类比思想 注意问题设计的结构具 有可比性 以启发引导学生达到探索学习的目的 体验 类比思想的形式对把握知识之间的联系 运用联系的观 点看问题都有极大的好处 1 6建模思想 数学建模是运用数学的语言和方法 通过抽象 简化建 立能近似刻画并 解决 实际问题的一种强有力的数学手 段 用数学语言描述的事物或对象就称为数学模型 例 7如图 12 所示 15 只空油桶 每只油桶底面直 径均为 60cm 堆在一起 要给它盖一个遮雨棚 遮雨棚 至少要多高 答案可保留根号 图 12 分析本题只需将实际问题进行抽象 建构直角三 角形这一几何模型 便可顺利求解 答案 槡 60 120 3 2教学体会与反思 全日制义务教育数学课程标准 指出 通过数 学学习 学生能够获得适应未来社会生活和进一步发 展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方 法 因此 在数学教学活动中 教师应重视数学思想 方法的渗透 注重对学生进行数学思想方法的培养 为学生持续学习和发展奠基 2 1更新观念 提高认识 从重视学生长远发展的角度深入钻研教材 通过对 概念 公式 定理的研究与分析 挖掘有关数学思想方 法 将数学思想方法的要求与有关知识 技能的教学要 求同时明确提出 注意数学思想方法的训练和总结 从 数学思想方法的高度揭示知识的本质 总之 要把数学 思想方法的教学贯穿于整个教学过程中 2 2把握要求 关注层次 在新课标中 对分类讨论 数形结合 化归转化 函 数方程的思想 不仅要求理解 还要求在理解的基础上 掌握并灵活运用 这些要求都分散在各部分的教学要求 中 对于归纳推理 类比推理 综合法 反证法等数学方 法 除了分散在各章节的要求中 还在课题学习内容中 作专题探究 在教学中如何把握要求的尺度 何时提出 何时引申 何时总结 都需要认真研究 任意提高或降低 要求层次 都不利于学生对思想方法的掌握 2 3注重实践 不断反思 教师在课堂上应注重实践应用 有意识地让学生体 会思想方法在解决问题时的优势 不能越俎代庖 不要 将问题中蕴涵的思想方法直接讲出来 丧失良好的渗透 时机 要给足学生独立思考 合作交流的时间 让学生自 己顿悟 或给予适时点拨 在学生尝到应用思想方法的 甜头 有过顿开茅塞 叹为观止的感觉后 自然便有了探 索的欲望 思想方法的显现便水到渠成了 教师还要养成写教学随笔 教学反思的好