江西省南昌市2015届高三一模考试数学(理科).pdf

2015 届南昌市第一次模拟考试数学试卷 理科 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答第 卷时 选出每个小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮搽干净后 再选涂其他答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 答在本试题上无效 4 考试结束 将本试题和答题卡一并交回 第 卷 一 选择题 共12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的一项 1 已知i为虚数单位 复数 i i z 21 则复数z在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知集合 8131 x xA 1 log 2 2 xxxB 则 BA A 4 2 B 4 2 C 4 0 0 D 4 0 1 3 如图 在正四棱柱 1111 DCBAABCD 中 点P面 1111 DCBA内一点 则三棱锥BCDP 的正视图与侧视图的面积之比为 A 1 1 B 1 2 C 3 2 D 2 3 4 已知过定点 0 2 P 的直线l与曲线 2 2xy 相交于 BA 两 点 O为坐标原点 当AOB 的面积取到最大值时 则直线l的 倾斜角为 A 0 150 B 0 135 C 0 120 D 不存在 5 已知实数 x y满足 10 40 xy xy ym 若目标函数2zxy 的最大值与最小值的差为2 则实 数m的值为 A 4 B 3 C 2 D 1 2 6 在ABC 中 角 CBA 所对的边分别是 cba 0 3 1 45 cos 5 cBA 则b等于 A 5 3 B 10 7 C 5 7 D 3 2 14 理科一模1 7 以坐标原点为对称中心 两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为 3 则双曲线 C的离心率为 A 2或3 B 2或 3 32 C 3 32 D 2 8 如图给出了一个程序框图 其作用是输入x的值 输出相应的y值 若要使输入的x值与 输出的y值相等 则这样的x值有 A 2个 B 3个 C 4个 D 5 个 9 给出下列命题 若 5 5 4 4 3 3 2 210 5 1 xaxaxaxaxaax 则 12345 32aaaaa 是三个不同的平面 则 是 的充分条件 已知 1 sin 63 则 7 cos 2 39 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 10 如图 M N分别是函数 0 0 sin AxAxf 与两条直 线 1 lym 2 lym 0 Am 的两个交点 记 MN xxS 则 mS 图像大致是 11 设无穷数列 n a 如果存在常数A 对于任意给定的正数 无论多小 总存在正整 数N 使得Nn 时 恒有 Aan 成立 就称数列 n a 的极限为A 则四个无穷数列 理科一模2 2 1 n 12 12 1 75 1 53 1 31 1 nn n 2 1 2 1 2 1 2 1 1 132 n 2232221 32n n 中 极限为2共有 A 1 个 B 2个 C 3个 D 4 个 12 设函数 222 ln2 f xxaxa 其中 0 xaR 存在 0 x使得 0 4 5 f x 成立 则 实数a值是 A 1 5 B 2 5 C 1 2 D 1 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两个部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个考生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共四小题 每小题二 填空题 本大题共四小题 每小题 5 分 分 13 a bc d四封不同的信随机放入 A B C D4 个不同的信封里 每个信封至少有一封信 其中 a没有放入A中的概率是 14 直三棱柱 111 CBAABC 中 0 90 BAC 矩形 11 BCC B的面积为2 则直三棱柱 111 CBAABC 外接球表面积的最小值为 15 已知三角形ABC中 0 4 120 3ABAC BCBACBEEC u u u ru u u r 动点P在边BC上移动 则AP AE u u u r u u u r 的取值范围是 16 已知函数 0 lg 0 1 xx x x a xf 若关于x的方程 0 xff 有且只有一个实数解 则实数a 的取值范围为 三三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 17 已知等差数列 n a 的前n项和为 n S 1 1 a 6 3 S 正项数列 n b 满足 n S n bbbb2 321 理科一模3 1 求数列 n a n b的通项公式 2 若 nn ab 满足对所有的 Nn 均成立 求实数 的取值范围 18 本小题满分12 分 某市教育局为了了解高三学生体育达标情况 对全市高三学生进行了体育 测试 经分析 全市学生体育测试成绩X服从正态分布 2 80 N 满分为 100分 已知 75 0 3 95 0 1P XP X 现从该市高三学生中随机抽取三位同学 1 求抽到的三位同学该次体育测试成绩在区间 80 85 85 95 95 100 各有一位同学的概 率 2 记抽到的三位同学该次体育测试成绩在区间 75 85 的人数为 求随机变量 的分布列 和数学期望E 19 本小题满分12 分 如图AC是圆O的直径 B D是圆O 上两点 222 CDBCAC PA 圆O所在的平面 BPBM 3 1 1 求证CM 平面PAD 2 若CM与平面PAC所成角的正弦值为 5 5 时 求AP的 值 20 本小题满分12 分 已知圆 22 19 24 E xy 经过椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左右焦点 12 F F 且与椭圆C在 第一象限的交点为A 且 1 F E A三点共线 直线l交椭圆C 于 M N两点 且MN OA u u u u ru u u r 0 1 求椭圆C的方程 2 求当三角形AMN的面积取到最大值时的直线l的方程 理科一模4 21 本小题满分12 分 已知函数 2 2 1ln x x axxf 0 a 1 当 2 1 a时 求 xf的极值 2 若 1 2 1 a xf存在两个极值点 21 x x 比较 21 xfxf 与 0 f的大小 3 求证 2 2 1 Nnnne nn 请考生请考生从从第 第 22 23 24 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如 果多做 则按所做的第一个题目计分 作答时请用果多做 则按所做的第一个题目计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑 方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 PA为圆O的切线 A为切点 两点 于交圆CBOPO 20PA 10 PB BAC 的角平 分线与BC和圆O分别交于点D和E 1 求证AB PCPA AC 2 求AD AE 的值 23 本小题满分10分 选修 4 4 坐标系与参数方程 以坐标原点为极点 以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线C的参数方程为 2cos 2sin xt yt t为参数 1 曲线C在点 1 1 处的切线为l 求切线l的极坐标方程 2 当曲线C的参数 0 t时 点A的极坐标为 4 22 过点A的直线m与曲线 C有且只有两个交点 求直线m的斜率的取值范围 24 本小题满分10 分 选修4 5 不等式选讲 已知函数 f xx xaaR 1 若2a 解关于x的不等式 f xx 2 若对任意的 0 4 x 都有 4f x 求a的取值范围 2015 届南昌市第一次模拟考试数学试卷 理科 参考答案 一 选择题 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A A C C B B BCBA 理科一模5 二 填空题 13 3 4 14 4 15 2 10 33 16 0 0 1 三 解答题 17 解 等差数列 n a 1 1 a 6 3 S 1 d 故 nan 3 分 2 2 1 2 1 1321 321 n n S n S n bbbb bbbb 2 1 得 naSS n nnn b222 1 2 n 222 1 1 1 S b 满足通项公式 故 n n b2 7 分 设 nn ab 恒成立 n n 2 恒成立 设 n n c cn c n n n n 2 1 2 1 当2 n时 1 n c n c 单调递减 10 分 2 1 1max ccn 故 2 1 12 分 18 解 80 85 1 75 0 2PXP X 8595 0 30 10 2PX 所以所求概率 3 3 0 2 0 2 0 10 024PA 6 分 每个结果各 2 分 7585 1 2 75 0 4PXP X 所以 服从二项分别 3 0 4 B 3 0 0 60 216P 2 1 3 0 4 0 60 532P 8 分 2 2 3 0 40 60 288P 3 3 0 40 064P 10 分 所以随机变量 的分布列是 0123 P0 2160 5320 2880 064 3 0 41 2E 人 12 分 理科一模6 19 解 作ABME 于E 连接CE ME AP AC是圆O的直径 222 CDBCAC BCABDCAD 0 30 CADBAC 2 分 0 60 DCABCA 3 ADAB BPBM 3 1 3 3 3 1 BABE 3 3 tan BC BE BCE CADECABCE 0 30EC AD 4 分 由 且ECEME 平面MEC 平面PAD CM平面MEC CM 平面PAD CM 平面PAD 6 分 依题意 如图以A为原点 直线 AB AP分别为 x z 轴建立空间坐标系 设aAP 0 2 3 2 3 0 0 0 1 3 0 0 3 0 0 0 DaPCBA 设面PAC的法向量为 zyxn 设CM与平面PAC所成角为 03 0 yxACn azAPn 设3 x 0 3 3 n 8 分 BPCBBMCBCM 3 1 3 1 3 3 a CM 5 5 12 3 9 93 12 2 cos sin 22 aanCM nCM nCM 10 分 3 a 12 分 20 解 如图圆E经过椭圆C的左右焦点 12 F F 理科一模7 Q 1 F E A三点共线 1 F A为圆E的直径 212 AFFF 22 19 0 24 x Q 2 x 2 c 2 分 189 2 21 2 1 2 2 FFAFAF 4 2 21 AFAFa 222 abc Q 解得2 2ab 4 分 椭圆C的方程 22 1 42 xy 5 分 点A的坐标 2 1 Q 0 MNOA u u u u ru u u r 所以直线l的斜率为 2 2 6 分 故设直线l的方程为 2 2 yxm 22 2 2 1 42 yxm xy 22 220 xmxm 设 1122 M x yN xy 222 1212 2 2 2480 xxm x xmmm 22m 8 分 222 211212 1 1 1 4123 2 MNkxxxxx xm 点A到直线l的距离 6 3 m d 22 222 116224 123 4 2 223222 AMN mm SMNdmmm m 10 分 当且仅当 22 4mm 即 2m 直线l的方程为 2 2 2 yx 12 分 理科一模8 21 解 2 2 2 1 1ln x x xxf 定义域 2 02 0 2 1 1 x x x 22 2 2 2 4 2 1 x x xx xf 2 2 递减 2 递增 故 12ln 2 fxf 极小值 没有极大值 3 分 2 2 1ln x x axxf 1 a x 2 2 2 2 1 1 4 2 4 1 xax aax xax a xf 4 分 1 2 1 a 4 1 0 1 aa a aa a 1 21 0 1 4 2 aax a aa x 1 2 5 分 aa a aa a aaaaxfxf 212 14 212 14 1 21ln 1 21ln 21 22 12 442 ln 1 2 ln 1 2 2 2121 a f xf xaa aa 设12 at 当 1 2 1 a时 1 0 t 2 2 ln 2 21 t ttgxfxf设 当 1 0 t时 2 2 ln2 t ttg 0 1 222 22 t t tt tg 7 分 tg 在 1 0 t上递减 0 1 gtg 即0 0 21 fxfxf恒成立 综上述 0 21 fxfxf 8 分 当 1 0 t时 02 2 ln2 t ttg恒成立 即01 1 ln t t恒成立 设 n t 1 2 Nnn 即01 1 ln n n nnln1 1ln2 2ln3 3ln4 1lnnn L 1 23 1 ln2ln3ln4lnln2 3 4nnn LLL ln n 2 1 nn ln n 2 2 1 Nnnne nn 12 分 理科一模9 22 解 PA为圆O的切线 PABACP 又P 为公共角 PCAPAB AB PCPA AC 4分 2 PA为圆O的切线 BC是过点O的割线 2 PAPB PC 6 分 40 30PCBC 又 0222 90 900CABACABBC 又由 知 1 12 56 5 2 ABPA ACAB ACPC 连接EC 则 CAEEAB ADBACE 8 分 AC AD AE AB AD AE AB AC6 5 12