漫谈高数(五) 曲线积分的物理意义.pdf

曲线积分的物理意义 引用和转载请标明本文 CU blog 出处 定积分的求解 牛顿 拉布尼茨公式有什么几何意义 简单的说 因为 F b F a 在几何上是 f x 的原函数 F x 在 y 轴上的线段长度 那么这个长度如何表示呢 F b F a 可以写成在区间 a b 上面的累 加 Sigma F x delta x 那么这个 Sigma 就是 f x 的定积分了 反向构造的方法联系了不定积分和 定积分 图 1 太抽象了 举个有物理含义的例子 图 2 1 假设 x y 平面是一个力场 一个质点在立场中受力 它受的力在 x 轴方向方向的投影值 恰好等于它 的 y 坐标 力的正负代表方向 2 那么这个例子沿着曲线 y 2 x 从 1 1 移动到 1 1 立场对它作了多少功 我们可以画出一个图形 粒子在 y 的负半平面受的力总是向左的 负号 在 y 的正半平面受的力总 是向右的 所以立场一直在 x 轴方向对例子做正的功 做功的积分式子分为两个部分 1 1 到 0 0 的过 程是 S x 1 0 dx 是负数 力 y x 0 5 也是负数 负负得正 所以做的总功 2 S x 0 1 x 0 5 这个解求很简单了 那么如果立场还有一个 y 方向呢 叠加的结果就是 2 S x 0 1 S y 1 1 写成积 分式子 就是对于坐标的曲线积分 格林公式 图 3 的意义在于 一维的定积分通过牛顿 莱布尼茨公式得到了完满的解决 等于不定积分原函数的两个取值之差 那么格林公式的意义呢 曲线积分 分成 dx 和 dy 的两部分分别证明 考虑凸面曲线的情况 因为其他情 况可以分解为若干个凸面曲线的情况 例如要证明格林公式中关于 dy 的部分 就可以看作很多条平行于 x 轴的线穿过被积分的曲线 其中每一条直线和曲线交与两点 靠近 y 轴左半平面的点记做 Q1 靠近 y 轴 右半平面的点记做 Q2 那么根据曲线积分的正向定义 逆时针方向 Q1 点的微元 dy 是正的 Q2 点的 微元 dy 是负的 然后微元的和就是 Q1 dy Q2 dy Q1 Q2 dy 好了 Q1 Q2 又是多少呢 由牛 顿莱布尼茨公式得到它是 Q2 Q1 这条线段上 Q x 的积分和 那么积分和的和就是一个 2 重积分 用一个黎曼球面我们把 z 从 0 到无穷大的所有的矢量影射到了一个南北极的球面上面 彩图右上 无穷的数域变成了有穷的数域 微分方程变成指数方程 纯为粉方程类似线形代数的方程组由通解和特解 组成解系 指数变成拉伸和旋转 平面几何的问题变成解析几何的问题 举个例子 如何判断两条直线是 否垂直 那么 z1 角度 Theta1 和 z2 角度 Theta2 互相垂直相当于 z1 和 z2 之间的夹角 正负 90 度 由于复数的乘法包含了角度的相加 那么 z2 的共轭矢量角度就是 Theta2 它们两个相乘的结果矢量角就 是 Theta1 Theta2 如果这个角度是 90 度 那么 z1 z2 就应该是一个纯虚数 反之 z1 z2 是个纯虚 数 就说明 z1 和 z2 垂直 所谓的 虚数 并不是不存在 而是它的值在实数轴 x 上面的投影总是 0 那么 写出来就是a bi与c di正交的充要条件就是ac bd 0 看起来像是线形代数里面的 a b 与 c d 互 相正交的充要条件是矢量点乘 0 复数 确实是用线形代数的方式在研究高等数学 把函数的研究统一到 了解析几何 这里 代数和几何没有区别 再举一个例子 平面几何的命题 图 4 一个三角形 AB AC AB 上有线段 mn AC 上有线段 jk 长度 mn 长度 jk 证明 mj 的中点 x 和 nk 的中点 y 连线垂直于 BC 这道题如果用初等数学平面几何 的性质 脑袋破了都很难证明 因为平面几何的定理是用语言表述的某种性质 证明的过程也是和人对图 形的感性认识密切相关 例如垂直平分线 等腰三角形 这些自然语言的概念用起来太费劲 而且必须结 合图形本身来使用 OK 用复数来证明 使用一个形式语言的演算系统 1 假 设 AB 是 实 数 轴 AC 是 和 AB 夹 角 为 a 的 向 量 那 么 假 设 等 腰 边 长 为 l 那 么 AB l AC l cosa isina BC AC BC l cosa 1 isina 2 假设 mn 和 jk 的长度为 r m M 0i j M cosa isina 那么 n M r k M r cosa isina 3 mj 的中点就是 d1 m j 2 nk 的中点就是 d2 n k 2 两点之间的连线的方向矢量 f1 d2 d1 n k m j 2 4 BC 的共轭矢量 f2 l cosa 1 isina 5 f1 f2 去掉实系数 cosa 1 isina cosa 1 isina 实部 cosa 2 1 sina 2 0 所以是个纯 虚书 根据上例的结果 f1 和 f2 垂直 证毕 再举一个证明题 平行四边形对角线的平方和 相邻对角线平方和的两倍 那么设四边形的两条边 是矢量z1和z2 那么 z1 z2 2 z1 z2 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2z1z1 2z2z2 2 z1 2 z2 2 得证 复数的函 数 复变函数 往往具有对称性的性质 如果 f z a0 a1z 1 anz n X Yi 那么可以证明 f z X Yi 有什么作用吗 如果函数 f z 0 有解 a bi 那么 a bi 也是解 显然因为 X Y 0 复数 更重要的特征是矢量的方向性 一个直线过 z1 z2 的端点 那么方向就是 M z2 z1 直线方程就可以写 成点法式 z1 M z2 z1 Mz2 1 M z1 朱力斯 华纳有一幅很著名的画叫做 神秘的岛屿 彩图左上 这个画的内容看起来是个探险的小 岛 但是把一个圆柱形的镜面放到画的中央 人们惊奇的发现其实这是作者的自画像 如果这幅洋洋洒洒 的油画是代表了实数的问题 那些无穷无尽的无比复杂的现实问题 那么这个圆柱形的镜子就是 复数 这 样一个发明 它把无穷复杂的问题变成了有穷范围内能表达的问题 由于一一映射的存在 实数域难以解 决的问题通过映射和等效 在复数域通常能得到简单的解答 再映射回实数域 便是问题的解 例如著名 的莫比乌斯变换 彩图右下 需要很好的考虑几个问题 1 我们在把可积函数变成傅立叶级数的时候 曾经强调过 每个分量之间由于是三角函数族的成员 所以 构成正交关系 所以显然 分量之间没有重叠 展开式显然唯一 那么对于泰勒级数和复分析当中的洛朗 级数而言 函数的幂级数展开式是否是唯一的 我们主要到没有任何条件限制规定展开分量之间必须构成 正交关系 正交性并不必要 基不需要正交性 z 和 z 2 线性无关 注意是 线性 因为不存在 c1 和 c2 in R 使得 c1 z c2 z 2 0 对于所有的 z 属于 R 都成立 z 是变量 可以任意取 严格的说 幂分量 不需正交 仅要线性无关即可 反证法 我们假设幂级数的分量之间是线形相关的 也就是存在常数 k1 kn 使得 k1 1 是角标 k1x k2x 2 k3x 3 knx n 0 我们又知道前面这个方程 在复数域中仅 有 n 个解 即 0 点仅有 n 个 故只有 k1 k2 kn 左端才恒为 0 对于任意的 z 这就是线性无关的 条件 n 任意个 即无穷个 x i 都线性无关 当然这里线性空间是一个函数空间 其实 x x 2 构成其 一个基 所以 k1 kn 都是 0 z n 构成的分量 是个线性无关的集合 两两之间 2 为什么洛朗级数 彩图红色圆环 里面会有复数次幂 我们去掉不解析的点 就得到了一些列圆环 这个 圆环上作闭合路径包围一定的面积 就是里外两条曲线 外围曲线就是洛朗技术的 n 1 的幂次项 内 围曲线是反方向的环绕无穷原点 很奇怪吗 只要把 z 平面映射到黎曼球面上 就会得到这个结论 是一 个负数的积分结果 它的收敛半径相反 我们把 z 用 z 的倒数来代替 就得到了和前半部分几乎一样的表 达式 所以洛朗级数的形式是 Sigma 从 n 负无穷到正无穷的形式 完备 特别的 如果圆环是圆饼 那 么内环等于是不存在或者收缩到了一个点 也就是 n于是留数基本定理 所有奇异点 的留数和 0 就很好理解了 流体从各个有限奇异点流出 汇聚到无穷远的奇异点 流入流出的总和 0 同理 如果黑洞是一个奇异点 那么当黑洞需要喷发的时候 喷发的方向显然是阻力最小的方向 和黑洞 周围的圆盘垂直的法向量 为什么复变函数里面会有那么怪异的柯西积分公式 实际上还是从格林公式推 导出来的 解析函数对于某点的围线积分等于围绕 z0 点本身的无穷小圆的积分 这个性质说明了解析函 数的 2 维积分中值定理 f z 可以从围线的积分中值来求 反过来 一个积分可以看成是 f z 的洛朗级数 展开的 1 次项 于是 1 元积分学当中的许多问题就借助 2 元复变函数得以解决了 格林公式是把 1 维的围线积分和 2 重积分联系起来了 而复数则推广了 一维的围线积分 被积函数 有不可导点 还可以等价于被积函数本身的取值 这真是一个简单而且美的结论 f z 2Pi i 的取值等于 围绕着