福建省高考数学立体几何试题(课标卷)分析.pdf

考 研 考卷解析 2 0 1 4 年1 月 福建省高考数学立体几何试题 课标卷 分析 福建省南安市教师进修学校陈俊斌 从2 0 0 4 年开始 福建省高考步入自主命题行列 其 中近5 年是课标课程内容的考查 立体几何部分作为考 试说明提及的 六大主干 知识之一 是高中数学知识 的重要组成部分 福建省高考数学课标卷在该部分试题 的命制有什么特点 是否存在一定的规律 该部分如何 复习更高效 这些是广大一线数学教师十分关心的问 题 鉴于此 本文主要从三个方面对课标卷立体几何试 题进行分析并对高三数学立几的复习备考提出一些个 人建议 仅供参考 一 福建省高考数学课标卷立体几何考查分布表 分值 考试年份 选择题填空题 解答题 合计 2 0 0 9 年理科第7 题 5 分 第1 7 题 1 3 分 1 8 分 2 0 1 0 年理科第6 题 5 分 第1 2 题 4 分 第1 8 题 1 3 分 2 2 分 2 0 1 1 年理科第1 2 题 4 分 第2 0 题 1 4 分 1 8 分 2 0 1 2 年理科第4 题 5 分 第1 8 题 1 3 分 1 8 分 2 0 1 3 年理科第1 2 题 4 分 第1 9 题 1 3 分 1 7 分 第5 1 0 题 2 0 0 9 年文科第2 0 题 1 2 分 2 2 分 1 0 分 2 0 1 0 年文科第3 题 5 分 第2 0 题 1 2 分 1 7 分 2 0 1 1 年文科第1 5 题 4 分 第2 0 题 1 2 分 1 6 分 2 0 1 2 年文科第4 题 5 分 第1 9 题 1 2 分 1 7 分 2 0 1 3 年文科第1 8 题 1 2 分 1 2 分 由上表及近四年福建省高考数学立体几何试题分析 可知 试题题型稳定 基本上是一道解答题 一道选择题 或一道填空题 理科试题分值稳定于1 8 分 文科试题逼近 1 7 分 选择填空试题主要考查概念辨析 位置关系探究 空间几何度量问题计算 解答题一般以简单几何体为载 体 考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关 系 以及空间几何量的求解问题 综合考查空间想象能 力 推理论证能力和运算求解能力 解答题以一题多问形 离嚣舅聪中 擞 高中版 式呈现 文科试题一题两问 理科试题通常设置成三个小 问题 理科试题第一问常是位置关系证明问题 第二三问 经常以探索型问题的形式考查距离问题 文科试题第一 问也是位置关系证明问题 第二问则常结合几何体的表 面积 体积进行考查 二 考查知识点分布 空间几何 2 0 1 0 年 体结构理科6 2 0 1 3 年理科1 9 2 0 1 0 年 三视图和 2 0 0 9 年 文科3 2 0 1 2 年 2 0 1 2 年理科4 直观图文科5 2 0 1 0 年文枞 2 0 1 3 年理科1 2 理科1 2 2 0 1 3 年文科1 8 空间几何 2 0 1 0 年2 0 1 1 年 体的表面 2 0 0 9 年 文科3 2 0文科2 0 2 0 1 2 年文科1 9 文科5 2 02 0 1 0 年2 0 1 1 年 2 0 1 3 年理科1 2 积和体积 理科1 2 1 8理科1 2 2 0 1 3 年文科1 8 空间点 2 0 0 9 年理 2 0 1 0 年 2 0 1 1 年 2 0 1 2 年理科1 8 线 面的 科7 文科 理科6 1 8 理科2 0 2 0 1 2 年文科1 9 1 0 2 0 0 9 年 2 0 1 0 年 2 0 1 1 年 文科1 5 2 02 0 1 3 年理科1 9 位置关系 文科2 0 文科2 02 0 1 3 年文科1 8 线 面平 2 0 1 0 年 2 0 1 2 年理科1 8 行判定与 文科2 02 0 1 3 年文科1 8 性质 线 面垂 2 0 0 9 年 2 0 1 0 年 2 0 1 1 年 直判定与 理科1 8理科2 02 0 1 2 年文科1 9 性质 理科1 7 2 0 1 0 年2 0 1 1 年 2 0 1 3 年理科1 9 文科2 0文科2 0 线面角 异面直线 2 0 0 9 年 所成角理科1 7 2 0 1 0 年 二面角 理科1 8 由上表结合试题分析可知 立体几何试题的考查集 中在垂直 距离 面积 体积4 个方面 课标卷关注考查范 围逐步缩小 尤其是文科在空间位置关系的论证有所削 弱 难度降低 空间中的角 距离的求法没有涉及 理科试 题则保留求角问题 但更强调空间向量的应用 提倡 多 思少算 合理建系 对推理论证要求有所下降 考查力度 也有所降低 万方数据 2 0 1 4 年1 月 考卷解析 其中值得特别关注的是角度问题的考查 理科试题 中各类角多次以已知条件出现在题干中 如2 0 1 1 年给出 线面角大小 2 0 1 2 年直接给出二面角大小 文科试题则 没有出现此类问题 解法方面 课改初期引入的向量方 法饱受争议 其后逐步被接受 及至被宠爱 甚至过于 强调向量法 到如今方能比较辨证地看待两种方法的 运用 文科试题仍延续传统的综合几何法求解 但相对 侧重思考及合理运算途径的选择 对此 2 0 1 3 年福建省 高考数学考试说明 理科 新增加的一段话是这样表述 的 对于空间想象能力的考查 常考查综合几何法 并 结合数学学科内其他知识点综合考查 因此在立体几 何学习中 既要学会向量法也要关注综合几何法 两者 不可偏废 三 考查特点 解答题考查方面 从题序上看 理科试题基本上位于 解答题第3 道 必做大题5 道 文科试题基本上放在解答 题第4 题 共6 道大题 总体保持稳定 定位在中 低档难 度 对推理论证要求均有所降低 不同层次的学生都有机 会得分 试题总体呈现如下几个特点 1 给出结论 反求条件 平时所涉及的试题大都是由所给条件寻求结论 或 给出条件和结论 让学生去判断 推理 证明 给出结论 反求条件 指的是由给出的结论探索题目应具备怎样的 条件 解决这类题的策略是执果索因 即从结论出发 分 析结论成立所需要满足的条件 再结合图形及其性质逆 向推导 逆向追索 逐步探求 常常所求出的点恰好是某 些特殊位置 如线段中点等 例1 2 0 0 9 年福建理科1 7 如图l 四边形A B C D 是边长为l 的 正方形 彻J 平面A B C D B 上 平面A B C D 且M D N B E 为B c 的中点 C 1 略 图l 2 在线段A 上是否存在点S 使得嬲上平面A 删 若存在 求线瞰 s 的长 若不存在 请说明理由 解析 1 略 2 耽4 中点日 连接肼 则易得E A E 故删上A 从而只需检验删是否垂直平面A M 又 A 删为等腰三角形 所以删上A 经计算得删 型善 删 型 舰 要 所以 删E 9 0 即删上平面A 删 所以线瞰 上存在点5 使得耶上平面A 删 点评 本小题主要考查直线与直线 直线与平面的位 置关系等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力以 及运算求解能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 本解法有别于参考答案所提供的 采用的是从特殊到一 般的证明策略 例2 2 0 1 1 年福建理科2 0 如图2 在四棱锥P A B C D 中 P A 上底面A B c D 在四边形A B c D 中 A 曰上A D A B A D 4 C D 虿 c 删 4 5o P 图2 I 略 I I 设A 曰 A P i 略 i i 在线段A D 上是否存 在一个点G 使得点G 到点P B C D 的距离都相等 说明 理由 分析 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平 面与平面的位置关系等基础知识 考查空间想象能力 推 理论证能力 抽象概括能力 运算求解能力 考查函数与 方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 例3 2 0 1 2 年福建理科1 8 如图3 在长方体A 日c D A 曰 c D B 中 A A A D 1 E 为C D 中点 I 略 略 在勘A J 上是否存在一 曰 C 图3 点P 使得D P 平面B l A E 若存在 求A P 的长 若不存在 说明理由 分析 本小题主要考查直线与直线 直线与平面的位 置关系及二面角等知识 考查推理论证能力以及运算求 解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想及化归与转 化思想 2 关注交汇 注重本质 省考试说明强调 高考命题应站在学科整体意义的 高度上考虑问题 对数学基础知识的考查 要求既全 面 又突出重点 因此 注重学科的内在联系和知识的综 合性 在知识网络的交汇点设计试题不可避免 常见的有 三角与向量 解析几何与向量 立体几何与平面向量 数 列 函数与导数的有机结合等 近年呈现方式较新颖的是 高中版中 毒l 薯麓 一 万方数据 冒 U 刖 考卷解析 2 0 1 4 年1 月 以概率 几何概型 为主线的交汇 例4 2 0 1 0 年福建理科1 8 如图4 圆柱0 D 内有一个三棱柱 A B C 卅 B C 三棱柱的底面为圆柱 底面的内接三角形 且A B 是圆0 直 径 C 图4 I 证明 平面A 4 C C J 平面B 曰C C I I 设A B A 4 在圆柱D O 内随机选取一点 记该点 取自于三棱枇B c 卅 曰 c 内的概率为P i 当点C 在圆周上运动时 求P 的最大值 i i 记平面A 4 c c 与平面B D c 所成的角为口 O 目 O I 略 略 现将与四棱柱A B C D A B C D 形状和大小完全 相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱 规定 若拼接 成的新四棱柱形状和大小完全相同 则视为同一种拼接 方案 问 共有几种不同的拼接方案 在这些拼接成的新 四棱柱中 记其中最小的表面积为 写出八 j 的解析 式 直接写出答案 不必说明理由 点评 本题要求考生运用直观感知 操作确认等数学 实验方法予以解决 求解过程只需利用几何学的基础知 识及基本思想方法 要圆满解决本题 学生需具备在自然 语言 符号语言 图形语言三者之间熟练转化及深度思考 的能力 其中第 问要求考生能将空间几何体的拼接 转化为平面图形的拼接 拼接过程需要考生严谨 简捷和 深刻的思维 需要较高的空间想象能力 这样的试题设 置 既关注了数学学习的结论 更关注数学学习的过程 将给中学数学教学带来良好的导 向 例8 如图6 在四棱椎脚曰C D 中 只D 上平面A B c D A B D G 口C 5 D C 3 A D 4 P A D 6 0 o I 当正视方向与向量初 的方向相同时 A B 图6 画出四棱椎M B C D 的正视图 要求标准出尺寸 并 写出演算过程 覃B 傅一 万方数据 2 0 1 4 年1 月 命题感悟 落霞与孤鹜齐飞 由2 0 1 3 年江苏高考数列题 标准答案 说开去 江苏省泰兴中学李建新 新课程改革将 推理证明 独立成章 不仅要求学生 能利用归纳推理 类比推理和演绎推理进行简单的推理 体会并认识合情推理在数学发现中的作用 体会演绎推 理的重要性 而且要求学生了解合情推理和演绎推理之 间的联系和差异 但在实际教学中常常只关注两者的差 异而忽略两者之间的联系 只关注 单打一 式的单项运 用而忽略 组合拳 式的综合运用 2 0 1 3 年江苏高考数列 大题正是用考题的形式诠释着两者的联系 更新着人们 的观念 一 试题及简答 题目 设 硝是首项为口 公差为d 的等差数列 d o 睫其前n 项和 记6 乒乓生 n N 其中c 为实数 1 若c o 且6 6 6 成等比数列 证明 鼬 n 毪 后 n E N 2 若 6 0 是等差数列 证明 c 0 简答 1 略 2 设数列 6 的公差为d 则6 6 n 1 d 即孚 n 十C 6 l n 一1 d n N 代人S 的表达式 整理得 一 d n 3 6 广d 一叶 d n 2 c d n c d l 6 木 坛 线 令A d 一 d B 6 一d 一口 d D c d t 一6 1 则对所有 的n N 有 A 几3 B n 4 c d l 乃 n 木木 在 木 式中分别取忍 l 2 3 4 得 A 曰 c d l 8 A 4 B 2 c d l 2 7 A 9 B 3 c d l 6 4 A 1 6 B 4 c d l 从而有 f 7 A 3 B c d l o 1 9 A 5 曰 c d l 0 2 1 A 5 B c d l o 由 得A 0 c d 曰 代入方程 得曰 0 故c d l 0 即d 一 扛o 6 一d 计 扛o c d 0 若d o 则由d 一 d 0 得d 0 与题设矛盾 故d o 又因为c d 0 所以c o 从阅卷情况看该方法所占比例极少 二 质疑 对所有的n N 有A n 3 曰舻 c d n D 料 为何可 若肘为P A 的中点 求证 删 平面咫c 求三棱锥D 船 c 的体积 点评 本小题主要考查直线与直线 直线与平面的 位置关系及几何体的三视图和体积等知识 考查数形 结合思想 化归与转化思想 综观前4 年课标卷立几试 题 三视图方面的考查均是以客观题的形式出现 本小 题则客观题主观化 既有效地考查了学生的空间想象 能力 动手操作能力 又考