结构力学课件 第十章 矩阵位移法.ppt

第十章矩阵位移法 矩阵位移法的概念单元刚度矩阵结构刚度矩阵坐标转换矩阵非结点荷载的处理矩阵位移法的解题步骤结构分析的计算机方法简介小结 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 返回 第一节矩阵位移法的概念 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法 杆系结构的有限单元法 矩阵力法矩阵位移法 柔度法 刚度法 直接刚度法 矩阵位移法是以位移法为力学原理 应用矩阵理论 以电子计算机为工具的结构分析方法 有限单元法包含两个基本环节 一是单元分析 一是整体分析 在矩阵位移法中 单元分析的任务是建立单元刚度方程 形成单元刚度矩阵 讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式 整体分析的任务是将单元及合成整体 由单元刚度矩阵按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵 建立整体结构的位移法基本方程 从而求解 直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则 是矩阵位移法的核心内容 返回 下一张 上一张 小结 以图示连续梁为例说明矩阵位移法的概念 绘m图 整体分析 建立位移法基本方程 求杆端弯矩 1 单元分析 确定基本未知量 划分单元杆 列各杆端转角位移方程 返回 下一张 上一张 小结 17 1 2直接刚度法对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知数 并规定这些转角均以顺时针方向为正 17 1 3转角位移方程式中 kij i 1 2 3 j 1 2 3 称为结点刚度系数 它表示当 j 1时 在结点i处并在 i方向上所需加的结点力矩总和 返回 下一张 上一张 小结 写成矩阵形式为 简式为 式中 k 为结构总刚度矩阵 q 为结点转角列阵 m 为结点力矩列阵 返回 下一张 上一张 小结 17 1 4形成单元刚度矩阵例17 3 写出图示结构的杆端力矩解 据转角方程可得 式中上式写成矩阵形式为 返回 下一张 上一张 小结 17 1 5形成总刚度矩阵例7 4 写出图7 4所示结构的刚度矩阵解 图示结构的刚度矩阵 图17 4 返回 下一张 上一张 小结 17 1 6引入支承条件 求结点位移已知上例支承条件 0 连同已获得的 k 以及各结点荷载值 m1 m2 及m3 0 一起代入基本方程 7 6 式中 得 据矩阵运算的基本法则 则得 解得 返回 下一张 上一张 小结 17 1 7求单元杆端力例7 5 求图7 5所示连续梁的杆端力解 由题可知杆1杆2注 以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤 完全适用于其它类型结构 其中 k 的组成是直接刚度法的核心部分 返回 下一张 上一张 小结 第二节单元刚度矩阵17 2 1结构离散化将杆系结构分离有限个单元杆 离散化 原则 以杆元汇交点 荷载作用点 载面突变点为结点 尽量使相关结点 编码和差值最小 矩阵位移法讨论结点荷载问题 非结点荷载需另外处理 图7 617 2 2单元杆端力和杆端位移表示方法以i为原点 从i到j的方向为轴的正向 并以轴的正向逆时针转900为轴的正向 这样的坐标系称为单元局部坐标系单元杆端力和杆端位移符号的上方加一横 表示局部坐标的意思 下一张 返回 上一张 小结 如图 结点的杆端位移列向量为 结点的杆端力列向量为 注 这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致为正 其中转角和弯矩以顺时针为正 返回 下一张 上一张 小结 17 2 3单元杆端力与杆端位移之间的关系式例17 7 计算如图17 8所示结构的各杆的杆端力解 返回 下一张 上一张 小结 写成矩阵形式为 简式为 返回 下一张 上一张 小结 17 2 4单元刚度矩阵的特性1 k e是对称方阵单元刚度矩阵中的行数等于单元杆端力向量的分量数 列数等于单元杆端位移向量的分量数 因为这两个向量的分量数相等 所以 k e是一个方阵 又因kij kji 故单元刚度矩阵是对称矩阵 2 k e是奇异矩阵矩阵 k e相应行列式的值为零 故知单元刚度矩阵是奇异矩阵 其逆矩阵不存在 17 2 5单元刚度矩阵中各元素的物理意义当j位移分量为1而其位移分量为零时 所引起的i分量值 返回 下一张 上一张 小结 第四节结构刚度矩阵由 17 14 式可知 将 17 21 及 17 25 式代入上式得 另 t t e i k e则 f e k e e用结分点块式表示为 注 1 为结构坐标的杆端力和杆端位移 2 表示单元的j端三个位移分别产生单位位移时在i端各力分量分别产生的力 3 分别为单元在结构整体坐标中刚度 返回 下一张 上一张 小结 17 3 1结构总刚度矩阵形成总刚的步骤 1 确定结点数 对结点及单元杆进行编号 2 计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵 3 将各单元刚度矩阵的各子块 按 对号入座 送入结构总刚度矩阵中 17 3 2结构总刚度方程方程式中 f 结构的结点力列向量 结构的结点位移列向量 k 结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵 返回 下一张 上一张 小结 17 3 3支承条件的引入结构总刚度方程 d 又叫结构原始刚度方程 其中 k 是奇异矩阵 不能求出确定的结点位移 为此求解结构的未知结点位移时 引入结构的实际位移边界条件 即支承条件 修改结构总刚度矩阵 具体步骤如下 1 利用已知的结点力 f1 2 求未知的结点位移 3 划掉位移为零所对应的行和列 返回 下一张 上一张 小结 第四节坐标变换矩阵例17 8 见图17 9所示单元 写出单元的杆端力向量 解 由投影关系得图17 9 返回 下一张 上一张 小结 写成矩阵形式为 返回 下一张 上一张 小结 缩写成式中 t 为坐标变换矩阵 t 为上交矩阵 其逆矩阵等于其转置矩阵 t t t式中 t 1 与 t 相乘为1的矩阵 t t 把 t 中行和列各元素互换后形成的 因此 上式的逆转换式为 同理得 返回 下一张 上一张 小结 第五节非结点荷载的处理17 7 1结间荷载转化为结点荷载的方法 如图7 10 1 在b c结点加附加约束 使b c两点不能发生任何位移 然后施加结间荷载 如图7 10 b 所示 2 在b c两点没有附加约束的情况下 施加与上述固端剪力和固端弯矩大小相等方向相反的力和力矩 如图7 10 c 所示 3 a b c 4 等效结点荷载为汇交在每一结点的固端剪力的代数和以及固端弯矩代数和 但方向相反 图7 10 返回 下一张 上一张 小结 17 7 2例 试计算图17 11 a 所示刚架等效结点荷载 解 图17 11分别绘在结点上 如图17 11 b 所示 返回 下一张 上一张 小结 17 7 3例17 10 求图17 12 a 所示结构的等效结点荷载解 分别绘在结上 如图b所示 图17 12 返回 下一张 上一张 小结 第六节矩阵位移法解题步骤具体步骤如下 1 将结构划分为若干个单元 并将各单元和结点进行编号 2 选择结构坐标系及局部坐标系 3 计算等效结点荷载 建立结点荷载列向量和结点位移列向量 4 计算结构坐标系中各单元刚度矩阵的四个子块 5 将单元刚度矩阵的四个子块 按下标在结构总刚度矩阵中 对号入座 建立结构总刚度矩阵和刚度方程 6 引入支承条件 划掉和已知位移为零所对应的行和列 计算结点位移 7 计算局部坐标中的杆端力 8 利用式 17 49 和 17 50 返回 下一张 上一张 小结 第七节结构分析的计算机方法简介17 9 1程序功能 本程序只适用于各个杆件单元是等截面直杆 杆件之间是刚性连续 支座是固定端 承受的荷载是结点荷载 17 9 2源程序说明 1 结点编号 先编可动结点 后编固定结点 2 局部坐标由小号结点码到大号结点码为轴正向 逆时针转90为轴正向 返回 下一张 上一张 小结 本章小结