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第1 5章 应用与建模 151数学模型方法概述1511数学模型 模型对我们来说并不陌生，如我们常见的汽车模型、飞机模型等都是模型。所谓模型就是对研究对象有关性质的模拟物。地球仪和地图是地球表面的模拟物。对于某个研究对象所建立的相应的模型，必须能反映研究对象的整体结构或某一侧面的本顾特征，如地图就反映了地球上各个剖家之间位置关系。 模型从大的方面来说可以分为社会科学和自然科学模型两类，其中每一类还可以细分，例如，经济模型、人口模型、工程模型、医学模型等。但这种分类意义不火，因为我们学习模型不只是要看懂模型，更重要的是学会构造模璎。因此，只有从规律上分类才能使我们获得构造模型的本领。按照这个观点，模型：人=致荫j以分为3种形式：形象模型、模拟模型和数学模型。本章只讨论数学模型。 数学模型就是将事物或运动过程，用数学概念、公式以及逻辑关系在数量上加以描述。例如：1，2，3，”，是描述离散数量的数学模型：每个代数方程或公式都是一个数学模犁。如s=兀r。是计算圆形物体面积的数学模型。 更为严谨地说，所谓数学模型就是利用数学语言模拟现实的模型，即把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。它不仅是在理想化的条件下，对现实原型近似的、简化的反映，而且j曾以抽象的数学关系式来揭示现实原型的各种特性以及它们之问的规律。 数学模型有，“义和狭义两种解释。广义的解释是：一l刀数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各科t方程以及由公式系列构成的算法系统等都可称为数学模型。狭义的解释是：只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才称为数学模型。数学模型又可以分为概念数学模型、方法数学模型和构型数学模型。数学模型具有抽象性、演绎性和预测性。1512数学模型方法 所谓“数学模型方法”，是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。 我们以数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”为例，具体看一看什么是数学模型方法。 在东普鲁士的哥尼斯堡城内有一条大河，河中有两个岛屿，全城内七座各具特色的大桥将河的两岸与河中的两个岛屿相连，如图151所示。每当晚霞时，哥尼斯堡的大学生们都喜欢到桥上去散步，久而久之，他们提出一个问题：能否不重复地一次走完七座桥。但谁都没有成功，后来他们写信向著名的数学家欧拉请教。据说欧拉用了两天的时间解决了这个问题，认为七桥问题无解，这就是著名的七桥问题。 欧拉是如伺解决七桥问题的呢?他首先将七桥问题抽象化成一个数学问题，将岛和陆地分别抽象成一个点，将每座桥抽象成一条线，如图152所示。这个图形显然比原来那张由桥、岛、陆地等构成的地图简单得多，但是图形仍然保留了原来的桥与岛、陆地之间的连结关系。欧拉发现，“能不能从某地出发，不重复地走遍七座桥，最后又回到出发点”和“能不能从图152的某一个顶点出发，把图152不重复地一笔画出来，最后又回到出发点”是一回事。 于是能否不重复地一次通过七座桥的问题等价于能否一笔画的问题。因此，图152就是七桥问题的数学模型方法(MM)。用现代图论的方法可知图152不可能一笔画成，从而七桥问题无解。 152数学模型建立 MM问题的广泛性决定了建立MM的方法的众多性，其中有纯数学问题，有纯工程问题，更多的是混合问题。因此任何企图给出一个建立MM的统一方法，获得一劳永逸的效果都是徒劳的。这里只能从某种角度介绍一些建立MM的途径和框架。 数学模型建立有直接方法、模拟方法、类比方法、数据处理方法和程序设计方法。 直接方法是指通过数学手段直接建立模型的方法。例如，已知某物体在运动过程中，其路程函数S(f)是二次函数，当时间f=O，l，2时，s(t)的值分别是5，13，19，求这个路程函数。 因为已知路程函数是时问f的二次函数，所以可以直接运用二次函数模型来解题。 设S(t)：讲。+加+c(a0)，其中a，6，c是待定系数。 凼已知条件可得方程组 f c=5 J口+6+c=13 I f4口+26+c=19 解得 fa=一1 6=9 I c=5 故所求的路程函数为s(t)=一f。+9f+5。 模拟方法是指通过寻找一种数学模型方法使得实际问题的结构性质与该数学模型完全一致，用该数学模型来替代实际问题求解的方法。例如，一个星级旅馆有150个房问。经过一段时间的经营实践，经理得到数据：如果每问客房定价为160元，住房率为550；如果每间客房定价为140元，住房率为65；如果每间客房定价为120元，住房率为75；如果每问客房定价为100元，住房率为859乞。欲使每天收入最高，问每问住房的定价应是多少? 首先，弄清实际问题加以化简。经分析，为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设： 设每间客房的最高定价为160元； 根据题中提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长； 砹旅馆每问客房定价相等。 其次，建立数学模型。根据题意，设J，表示旅馆一天的总收入，x为与160元相比降低的房价。 豳假设，可得每降低1元房价，住房率增加为 业：0005 20 因此一。天的总收入为 y=1 50(160一x)(055+0005x) 吐l j：055+0()05x1，可矢UO工90。 于是问题归结为：当0x90时，求J，的最大值点，即求解 maxy：150(160一x)(055+0005x1 ()90 r 、 。J 第乏，模型求解。化简y=150(160一x)(055+0005x)得 y：O75(一x。+50x+l7600) 求导得 y=075(一2x+50) 令y=O，得z=25，即x=25时)厂最大，因此可知最大收入对应的住房定价为 160元一25元=135元 相应的住房率为 055+000525=67。5 最大收入为 150135675=1366875(元) 最后，检验。容易验证此收入在已知各种客房定价的对应收入中确实足最大的，这可从下面表151中看出。如果为了便于管理，那么定价140元也是可以的，因为这时它与最高收入只差1875元。 如果每问客房定价为180元，住房率为45，其相应收入只有12150元。由此可见假设是合理的。实际上二次函数在0，90之内只有一个极值点。 类比方法是指用一个已知的数学模型B去替代与要建立的模型爿具有类似属性的模型爿的方法。例如，法国物理学家德布罗意在大量实验研究的基础上。为了对实物粒子作定量的描述，作了一下类比： 光具有粒子性和波动性，并且有方程式 E：i丁，九：旦 p其中E代表能量，71代表频率，p代表动量，A代表波长，厅=6626010。s为普朗克常数。 而实物粒子也具有粒子性和波动性。于是德布罗意猜想，实物粒子也可具有方程式 E：厅丁，九：旦 p其中J；L：旦就是物理学中著名的德布罗意公式。它是1924年由德布罗意提出并 疗2V在1927年被电子散射实验所证实。 数据处理方法是指采用数据处理的方法来解决变量间具有相关关系的一种方法。例如，考察某种化工原料在水中的溶解度与温度的关系，共作了9组试验，其数据如表152所示，其中，表示溶解度，x表示温度。 表15_2画出散点图，见图15-3，这些点虽然是散乱的，但大体上散布在某条直线y=口+k的周围，即是说温度x与溶解度】，之间大致呈现线性关系 多=口+k 。其中夕不是】，的实际值y，是估计值。 一般地，用线性函数口+缸来估计】，的数学期望的问题，称为一元线性回归问题称方程 夕=口+6 (1)为】，的关于石的线性回归方程，称斜率6为回归系数。对于x的每个值，设 y(口+6贸，仃。) 。 (2)或 y=口+缸+s，(0，d。)其中口，6，仃。是与x无关的常数。对于已知数据 0f，yf) (f=1，2，玎)用最小二乘法来估计口和6，有离差平方和 =(”一a一挑y (3) f：I为了使L取得最小值，将J乙分别对口和6求偏导数，并令它们等于零，得 r” I(只一口一E) 扛。 (4) l(只一口一魄k：o L j_：l或者写成由于则(5)式可以写作方程组(8)称为正规方程组。 因为t(f=1，2，胛)不完全相同，所以方程组(8)的系数行列式大于零，故方程组(8)有唯一的一组解记分别称乞和0为x和】，的离差平方和，称乞为x和y的离差乘积和。则有将(13)代入到回归方程(1)中，则得到经验回归方程 歹=a+h (14) (14)式中的歹与(1)式中的夕不同，p是由理论回归方程(1)所确定的对应于数值x的随机变量y的数学期望，而萝是由经方程(14)所确定的对应于数值x的随机变量】，的数学期望的估计，它将会随着观测值的不同而变化。哥称为回!J_=l值。在直角坐标系中，方程(14)是一条直线，因此称为经验回归赢线。 将舀=歹一撕代入(14)式中，可得 j 夕一歹=6(xi) (15)此式表明，对于“组观测值(x。，y，)，(，j，：)，(瓦，虬)，经验回归直线(14)通过散点图的几何中心(i，可)。 尽管大量的MM是解析形式，但并非所有的MM都是。如模拟方法中提到的七桥问题的MM就是网络形式的。在计算机广为应用的今天，对某些问题一味地寻求解析模型往往是徒劳的，相反充分利用程序设计可能更为方便。把一个问题拆成若干个子问题，按照计算机需要画出框图，编写程序，计算结果。当然这种方法和用计算机解MM显然不同，后者是先建立MM，再编写程序计算，前者程序本身就是MM。 综合上述，将MM方法解决问题的基本步骤概括为： 第，当我们得到或接受一个现实原型，或者说一个实际问题要建MM时，首先要对原型进行细致地分析，特别是对生产实际问题，要到原型所处的环境。I】进行深入的调查研究，了解用户对问题的各种要求，搜集已有的各种资料和数据，为建立MM提供可靠的依据。 第二，在调查研究的基础上确定原型所属的系统，如运输系统、力学系统、管理系统、生态系统等，根据原型所属系统，提出建立MM所应用的大致方法，接着就要根据问题的要求抓住主要矛盾，选择具有关键性作用的变量以及相应的数学工具，进行高度抽象，最后初步形成MM。 。 第三，MM一般要求有一定的精度，反映原型本质或使用者要求，同H；jl：、i丕要尽量简单，否则在求解或作试验时太困难，不仅会浪费人力还会影响精度，甚至造成模型没有实际价值。但是，由于各种条件的限制，初步建立的MM常常达币到上述的要求，这时就要对模型进行修正或近似。 笫四，当一个模型建立后，就要进行试验调试，这种试验包括物理的、化学的、力学的、工程的、计算机的等等，之后是鉴定，经过签定认为模型可行，就要投入试制阶段，经过实践检验后，才能最后确定一个模型的真假和好坏。 从MM的性质和建立MM的步骤和要求来看，一个人建立MM的能力至少包括4个方面：一是理解实际问题的能力，包括有广博的矢Il识面，搜集信息、资料和数据的能力等；二是抽象分析问题的能力，包括抓住丰婴矛盾，选择设计变量，进行归纳、联想、类比等创造性思维的能力；三是运用数学：具的能力，包括自然科学、：程技术、计算机，特别是数学知识等能力；四是试验洲试能力，包括反复修改等动手能力。 153数学模型方法举例 数学建模最重要的、最具有实践意义的目的就是用其解决实际问题。 例l库存问题：商店经营商品需要仓库存货，而贮存货物需要贮存费用，若进货太多，一时卖不撺，就得净付贮存费；但是进货太少也不行，就会造成断货每次进货总要耗费人力、物力，诸如派人采购、动用车辆运输、电讯联络等都婴刚钱。那么每次进货多少最经济? 所谓每次进货多少最经济，就是指每年用于采购订货及库存的总费用最少。为了建立库存问题的数学模型，必须掌握某商品的全年销售量，该商品的每次进货量，每件商品的年存贮费用，每次进货所需的费用。为了保证商品不脱销，还应考虑仓库中要有一定数量的备用商品，进货商品中的不合格率和运输途中的损坏率等。要同时考虑这许多因素，建立数学模型就比较困难，因此可将问题适当简化，对于该问题中的备用商品量、进货中的不合格率和运输过程中的损坏率等因素以及不同进货批量时的单价变化暂时不加考虑。 ，设某商品的全年销售量为D，每次进货量为Q，每件商品的年存贮费用为，每次进货费用为S。刚进货时仓库中货物最多，有Q件，后来逐渐卖完，库存货物减少到零，到 下次进货时又突然增加到Q，因此平均库存量为譬，年存贮费用为孚。，。 已知该商品年销售量是D，每批进货量为Q，故每年进货次数为=D，因为每 蟛 次进货用为S，故每年进货开支为兰S。 g 将上面两项费用相加，就得到每年用于采购、订货及库存的总费用：， 丁=罢小秘 ， 由于每批进货多少可由我们随意确定，因此Q是变量，而商品的全年销售量、 每件商品的年存贮费用、每次进货费用均可根据商品经营资料查知，因此都是常数。 现在的问题是，求出一个最佳进货量Q，使目标函数(16)的取值最小。 由平均数不等式可得 r：一QI+一DS2巨 2 Q V 2 等号仅当Q：、掣时成立。于是可推得 当Q：竽时丁最小，即我们要求的最佳进货量为 班厚 上面建立的这