等差数列前n项和的最值问题.doc

等差数列前n项和的最值问题问题引入：已知数列的前n项和,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n1时: 当n=1时:综上:,其中:,探究1:一般地,如果一个数列的前n项和为:其中:p.q.r为常数,且p0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r0时不是一、 应用二次函数图象求解最值例1：等差数列中， ，则n的取值为多少时？最大分析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。解析：由条件可知，d0,d0时，满足的项数m使得取最大.(2)当0时，满足的项数m使得取最小值。例3：已知等差数列an的an243n，则前多少项和最大？由an243n知当时，当时，前8项或前7项的和取最大值.9. 已知等差数列bn的通项bn2n-17,则前多少项和最小?解：由bn2n17n知当时，当时， 前8项的和取最小值.点评：通过数列中数的特性，可由，从解不等式来确定的最大值。小结：对等差数列前n项和的求法，通常从二次函数与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察n取何值才符合10. 已知等差数列an,满足an =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少?解法一:由解法二:令11. 在等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6分析：根据d0，|a3|=|a9|，判断出a3=a9，进而根据等差数列的通项公式求得a1+5d=0，判断出a6=0进而可知从数列的第7项开始为负，进而可判断出前n项和Sn取得最大值的自然数n的值解答：解：d0，|a3|=|a9|，a3=a9，a1+2d=a18d，a1+5d=0，a6=0，an0（1n5），12. Sn取得最大值时的自然数n是5或6故答案为：5或6等差数列an的公差d0，且a12=a102，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n=5分析：由a12=a102，得到a1和a10相等或互为相反数，因为公差d小于0，所以得到a1和a10互为相反数即两项相加等于0，又根据等差数列的性质可知a5和a6的和等于a1和a10的和等于0，得到数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数为5解答：解：由d0，a12=a102，知a1+a10=0a5+a6=0，所以此数列从从第6项开始，以后每项都小于0，故Sn取得最大值时的项数n=5故答案为：5点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，掌握两数平方相等时两数的关系，是一道中档题13. 已知等差数列an，3 a5 =8 a12， a10，设前n项和为Sn,求Sn取最大值时n的值915. 已知等差数列,=.若，求数列 的前n项和的最小值.分析：由与的关系，可写出之间的关系，两式作差，即可得出与间的关系；的前n项和最小，估计的前n项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小.解 =-=-，即8=（+2-（+2，所以（-2-（+2=0，即（+）（-4）=0，因为，所以+0，即-4=0，所以-=4，因此等差数列的公差大于0.=,解得=2.所以=4n-2,则=2n-31.即数列也为等差数列且公差为2.由，解得，因为n，所以n=15,故的前15项为负值，因此最小，可知=-29，d=2,所以数列 的前n项和的最小值为=-225.16. 为等差数列，公差为，为其前项和，,则下列结论中不正确的是（A）（A） （B） （C） （D）17. 等差数列的前项和为，若，则下列结论：， ，其中正确结论是- ( A) A B C D18. 等差数列的前项和的最大值只有，且，则使的的最大值为 。 19. 数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。 求数列的公差；求前n项和Sn的最大值；当Sn0时，求n的最大值。解：a123，a60，a70得0，n最大为12。20. (92高考)设等差数列的前n项和为，已知=12，0,(1)求公差d的取值范围；（2）指出，中哪一个值最大，并说明理由.解析 （1）由=12，得：+2d=12,即=12-2d,由0，得：12+，所以d-,由,得：13+，所以d-3, 因此，d的取值范围为（-,-3）.(2)解法一：=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d令，得：n3-,由（1）知：d6时，因此，最大.解法二：由题意可得：=n+=n(12-2d)+ =显然d0, 是关于自变量n的二次函数，由（1）知：d0,二次函数的图像抛物线的对称轴为n=,由（1）知：，所以6,又因为n,故当n=6时，最