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转载 对如何妥善处理好数学与物理学关系的转载对如何妥善处理好数学与物理学关系的个人看法 2011年10月19日对如何妥善处理好数学与物理学关系的个人看法 马海飞 (/gfis2011年8月26日) 关于“数学是不是科学”和“数学与物理学之间的关系”问题，在网上可以看到很多讨论。我也写过一篇数学到底是不是科学的文章。我认为：数学虽然也是一门科学，但不是一门可以与物理学、化学和生物学等自然科学相提并论的科学。数学在自然科学研究中所起的作用是一种工具。既然是工具，它就不仅可以用来帮助自然科学研究，而且如果使用不当也能够起到相反的作用。其结果如何全都依赖人们是如何使用这个工具。所以，妥善处理好数学与物理学之间的关系对物理学研究的正常发展来说十分重要。问题是如何才算是“妥善处理”？本文将就此问题展开讨论。 1. 对物理现象的描述离不开数学。我们可以想象这样一个简单的场面：一个人向前迈出1米，然后又向后迈出1米。或者说，他向前迈出n米，然后又向后迈出n米。结果回到了原地。在准确描述这个场面的时候离不开数学（数字）的表达。同样的道理，几乎在对所有物理现象的准确描述过程中都无法离开数学。 2. 数学不能描述出来物理现象的本质。上述场面如果用数学描述就是：首先定义向前迈步为正（），向后为负（），那么，向前迈出一步就是1，向后迈出一步就是1，然后得出的数学结果就成为：（1）（1）0或（n）（n）0。“0”在数学中的意思就是什么都没有。所以，用数学计算描述出来的结论与那个人“原封不动”没有区别。然而，从物理学的过程来看，那个人向前迈出了一步，又向后迈出了一步，其实这个人并不是原封不动，而是总共迈出了两步。向前迈步是迈步，向后迈步也是迈步。它们之间不是一个“抵消”的过程。所以，从本质上讲，这个物理过程与（n）（n）0的现实意义是完全不同的。但是，如果没有文字的叙述，单靠数学描述是很难让人注意到这个物理过程和这个现象本质的。所以，数学只能局限性地清楚表达出数量上的抽象关系，但不能清楚地表达出物理学上的实际物理过程和现象的本质。 3. 数学描述经常会掩盖住真实的物理学意义。我们知道，加速度的单位是“米每平方秒(m/s2)”。这个单位实际上是一个“数学化了”的物理学单位，而不是一个可以反映出物理本来意义的物理学单位。因此，人们就很容易用理解平方米“m2”的方式来理解平方秒“s2”。结果这种混淆让很多人难以看清它真实的物理学意义而大惑不解。对一个三维的立体空间而言，人们很容易理解，1平方米（1m2）表示的物理现象就是一个边长为1米的正方形面积。然而，对一个一维的时间而言，1平方秒（1s2）所表示的物理现象是什么呢？难道时间也有面积吗？这岂不是与时间的一维性相互矛盾了吗？在现实的物理世界中“平方秒”到底是什么？大概没有人说得出来。其实，在加速运动现象中根本就不存在平方秒这个物理现象。加速度中的平方秒是人们在数学运算过程中无视物理现象而通过数学推导人为制造出来的一个数学化了的物理学概念。加速度的物理学意义是：单位时间内的速度变化。它应该表示为：a=v/t。因为速度v的单位是米每秒(m/s)，时间t的单位是秒(s)，所以加速度a的实际单位应该是(m/s)/s而不是m/s2。例如，重力加速为g=9.8m/s2应该写成g=9.8(m/s)/s。其物理意义是：自由落体的运动速度每秒钟增加“9.8m/s”个速度单位。其实，速度单位“米每秒（m/s）是一个整体单位，不应该拆开。然而在数学上却不在乎它的物理意义，就让(m/s)/s=m/s2。其实就物理学意义而言，它们之间并不相等。(m/s)/s是有物理学意义的。而m/s2只有数学意义，却没有物理学意义。可是，由于人们在使用数学对物理现象进行研究的过程中往往只注意到数学上的逻辑关系，而忽视了其中的物理机制，因此，单纯从数字上进行计算和推导，结果，把本来完整的物理学速度单位(m/s)中的米（m）和秒（s）按照数学逻辑拆解开来使用，最后就得出了一个无法反映出物理学现象的m/s2这个加速度单位。由于这种数学上的描述掩盖了真实的物理学意义，因此而变得让人很难理解。然而，这种拆解并不影响数学运算结果的正确性。其结果是“正确的计算结果遮住了人们的视线”。于是以为用数学就可以取代物理学了。其实，从加速度单位的这个例子就可以看出，虽然数学可以正确地描述出来物理量上的关系，但却可能无法如实地表达出来正确的物理学意义。然而，物理学研究的终极目的是物理学意义（本质）而不是物理量之间的关系（现象）。 4. 数学对力的计算结果无法确定“作用力”与“反作用力”。当A、B两个物体之间发生相互作用的时候一定同时存在一个作用力与一个反作用力。它们大小相等方向相反。我们可以根据物体的质量、运动速度和其他相关的物理因素很容易地用数学的方法准确计算出这个力的大小。然而，在使用单纯的数学方法来描述一个相互作用而不加入用文字语言对A、B两个物体状态的叙述的情况下，是无法表达出那个力到底是作用力，还是反作用力的。例如，在确定撞车事故中的肇事者和受害者时，所使用的证据不是对力大小的计算结果，而是事件发生的物理过程。其实，用牛顿的万有引力计算公式F=GMm/r2所计算出来的那个力到底是作用力还是反作用也是无法从这个计算过程中得到答案的。牛顿把它描述成“质点间的相互吸引作用（力）”，但他的这个描述没有任何科学根据。所以，万有引力到底是作用力还是反作用力其实是一个非常值得研究的问题。 5. 数学无法描述出量变到质变的过程。例如，F=ma是一个几乎人人都知道的物理学计算公式。用这个公式进行单纯的数学运算时，可以不考虑物体的实际状况。公式中的质量m可以大到天体水平，也可以小到微粒子水平。质量m的载体（质量体）可以是处于静止状态，也可以是处于运动状态。这些因素都不在F=ma的考虑范围之内。然而，物质世界中存在量变到质变的现象。用一个康乐球去撞击另一个静止不动的康乐球所产生出来的结果与在同样条件下用一个地球质量的球去撞另一个球所得到的结果是完全不一样的。从数学上看，地球与康乐球之间仅仅是质量大小上的不同。而在物理学上，它们之间却并不仅仅是质量大小上的区别，而在重力关系上已经产生了本质上的不同。另外，给一个静止的物体施加外力和给一个高速运动的物体施加同样大小的外力所产生出来的加速度并不一样。这些都是量变到质变现象所导致的。所以无法用F=ma这样一个简单的数学公式来表达出质变所带来的效果。从结构上看，重力是维系巨大天体星系结构稳定的“结构力”，而重力在“康乐球”和“微粒子”等的内部物质结构中几乎不起任何“结构力”的作用。这也反映出了量变到质变的现象。虽然物体质量的大小变化可以用一条直线坐标轴表示出来，但力学规律却不是一条与质量平行的直线。量变一定会导致质变，而单纯的数学描述是难以表达出质变过程的。 6. 从正确的数学推导和运算结果中可以寻找出物理现象。物理学的很多理论都是从数学运算和推导结果中形成的。这些结果包括了数学公式和物理学单位等。例如，上面提到的加速度单位米平方秒（m/s2）等。如上所述，数学推导过程可能会掩盖住真实的物理学意义，因此，当我们发现一个数学公式或单位不能准确反映出物理过程或物理意义的时候，应该考虑尝试从这些推导结果中反向寻找物理现象，把被数学掩盖的物理学真相找出来。例如，让m/s2还原成(m/s)/s就很容易看出它的物理学意义了。又例如，牛顿的万有引力定律计算公式（F=GMm/r2）给后人留下了一个三百多年的谜。其中，距离的平方（r2）和引力常数G的物理学意义是最让人难以理解的。尽管如此，实践却已经证明，这个计算公式是正确的。根据它的计算结果人类早就可以把卫星准确地发射到了太空中的预定轨道上。然而，这个公式背后所潜在的物理学意义是什么，至今都没有几个人能够真正理解。我们知道，作用力都是线性的。而r2所表示的物理学意义是一个面，而不是一条线。“面”是一种“场”的特性。从这一点我们可以首先得出一个结论：万有引力肯定不是一个人们通常认识的那种线性的作用力，而是一个与场有关的自然现象。而且，r所表示的并不是一个单纯的直线距离，而是一个圆的半径，所以，第二个结论就是：在物理现象上，“万有引力”一定与客观存在的“球形”有关。既然这样，我们就可以把万有引力与球形面积联系起来考虑。这并不困难。把F=GMm/r2改写成F=4GMm/4r2。这样，其中的4r2就是一个球形面积。如此一来，我们就找到了r2的物理来源。接下来再看一下牛顿引力常数G的物理学意义是什么。因为F=4GMm/4r2=mg，所以，g=4GM/4r2。因为G是一个常数，所以，4G也是一个常数。如果让4G=Gm，那么就得到：g=Gm(M/4r2)，或转换成Gm=g/(M/4r2)。其中M/4r2所表示的物理意义是：“物体质量M与以半径r所决定的球形面积之间的比值”。因为它是质量与面积之间的比值，所以是一个密度单位。如果我们把(M/4r2)定义为“质量场密度”并用D来表示的话，那么就是，D=(M/4r2)。所以，Gm=g/(M/4r2)=g/D。这样，Gm的物理学意义就非常清楚了。Gm就是质量场密度与重力加速度之间的转换系数。在任何情况下，只要能够知道质量场密度D，就可以通过g=GmD计算出重力加速度g。不仅如此，重力加速度的物理学意义也得到了澄清。重力加速度就是质量场密度大小在运动现象（力学）上的反映和表达。或者说“质量场密度反映在运动（力学）上就是重力加速度”。由于牛顿引力公式中的G来自纯粹的数学推导，它实际上应该是G=Gm/4，但可能因为在数学推导过程中丢失了4，所以，让G的物理学意义被掩盖了起来而因此变得模糊不清。从这个例子中可以看出，如果一个数学计算结果是正确的，那么我们就有可能从中反向寻找出被数学推导过程所掩盖的那些实际存在的物理现象和意义。在爱因斯坦的理论中有很多数学运算结果也是正确的。但是爱因斯坦的理论却在物理机制上让人难以理解。其实，只要进行认真研究，我想一定也可以用类似解析牛顿万有引力公式的方法从爱因斯坦的数学结果中反向找出对应的物理机制。这样，针对爱因斯坦各种理论的争论就会有结果了。例如，爱因斯坦用数学的方法制造出一个人们在自然界中根本就无法找到的“弯曲时空”来。爱因斯坦根据这个弯曲时空正确地计算出了水星轨道。说明这个理论在数学上是对的。因此，可以认为，“弯曲时空”的概念可能是一个被数学推导所掩盖了真实物理现象的数学化了的概念（就像“平方秒”的概念一样）。那么它掩盖了什么呢？这是我们所要面对的问题。我们知道，弯曲是球面上的一部分。而且，把弯曲时空中的等效点全部连接起来最后一定会形成一个球形的场。所以，弯曲时空最后也和物理现象中的“球形”联系了起来。通过这个客观存在的“球形场”，不仅可以解释弯曲时空本身的问题，而且也可以把广义相对论与牛顿的万有引力定律联系了起来。按照这样的思路就会从正确的数学运算中寻找出正确的物理学结论。 7. 物理学研究不应该停留在数学运算结果上。当今的物理学理论研究基本上都是以数学模型为基础进行的。经过一系列的数学推导和运算，如果最后得到的结果是正确的，科学家们就认为可以万事大吉了。至于具体的物理机制如何就不去管它了。其实，停止在数学阶段并没有完成物理学研究的最终使命。物理学研究的归宿必定要回到物理世界中来用物理机制解释物理现象。数学阶段仅仅是物理学研究前期的一个“纸上谈兵”的阶段而已。数学推导和运算的正确性当中一定隐藏着对应的物理现象和物理机制。真正的物理学家应该在数学的基础之上，把数学模型“翻译”成物理学（物理机制）模型。从正确的数学结果中找出正确的物理学结论。就像上面讲的从牛顿的万有引力定律公式中寻找物理现象和物理机制一样。把被数学推导所掩盖的物理学真相找出来。遗憾的是，在现代的物理学教育中显然缺少了对这关键一步的教育。因此，几乎没有人会在意数学结果背后的物理学意义是什么。我从物理现象和物理机制中不需要经过牛顿的引力公式就直接推导出了一个重力加速度计算公式：g=GmD和重力计算公式F=GmmD。进一步的研究发现，如果让Gm=4G，那么，这个新的重力计算公式F=GmmD与牛顿的公式F=GMm/r2之间就可以互相转换。我把这个些结果拿给物理专业的学者看，得到的回答都是数学的，而不是物理学的。例如：“你的公式只不过是牛顿引力公式的不同表达方式而已”。“你引进的质量场概念实际上相当于某种坐标转换”。等等。这些评论显然忽视了物理机制在其中起的作用。他们没有看出来两个公式之间在物理学意义上的区别。就像看不出m/s2与(m/s)/s之间的区别一样。实际上，牛顿的公式表达不出正确的物理机制。如果按照牛顿说的“万有引力”是一种“质点间的相互吸引作用”的话，那是无法一步步推导出一个带有平方反比定律的力学公式来的。也就是说，牛顿引力定律是不可能正向推导出来的。（所以，很多人都承认牛顿的引力公式是“猜”出来的。）而反向推导的话就一定要经过球形面积4r2和g=GmD这个阶段。离开了质量场概念就无法正确地一步一步地从正面推导出引力计算公式。现实也证明了，牛顿的引力公式根本就不可能象推导F=GmmD那样简单地一步一步推导出来。但是，伟大的牛顿却能够根据他敏锐的直觉和大胆的猜测把质量与距离平方联系在一起并最终能够让后人能够根据他的思路完成了一个非常实用的万有引力计算公式。在这一点上我们不得不承认牛顿是一个天才。如果g=GmD这个公式比牛顿的F=GMm/r2更早建立起来的话，那么，牛顿的引力公式就不可能被接受了。可惜，因为F=GMm/r2在数学运算结果上的正确性，以及人们对数学与物理学之间关系上的错误观念，而让牛顿的万有引力理论停滞在正确的数学运算结果的阶段上长达三百多年几乎没有什么进展。爱因斯坦另辟蹊径，否定“万有引力”的存在。他使用了“时空弯曲的几何效应”来解释这种现象。这种解释在数学运算结果上表现出了一定的正确性。结果，人们又一次满足于数学表达出来的正确结果而停止了回归到物理学中用物理机制解释物理现象的脚步。于是就遗留下了争论不完的问题。不管是牛顿的理论还是爱因斯坦的理论，其中的问题都是因为停滞在数学阶段而不向物理机制方向发展所造成的。数学不是物理学研究的终点，不是物理学研究的最高境界。物理学研究必须最终回到物理世界中从物理机制上完成它的使命。爱因斯坦的质能转换计算中显示出一些正确的地方，但是用“能量与质量之间可以互相转换”来解释这些数学结果是违背物理机制的，因此而让人无法接受。如果这个计算真是正确的，那么，就一定可以通过反向寻找的方式找出它背后真正的物理现象，而不应该停止在单纯的数学结论阶段上。 8. 慎重对待数学的预言能力。数学有一定的预言能力，它可以通过数学的逻辑关系预测出人们过去没有认识到的某些与量有关的规律。牛顿万有引力定律就是一个最好的例子。牛顿完全是从天体运行轨道的数学运算中预言了引力与物体质量以及距离平方之间的数学关系。在牛顿的阶段，这种关系仅仅是一个预言。这个预言被后人验证之后才确定了引力常数并真正完成了我们今天看到的那个万有引力的计算公式F=GMm/r2。然而，这个预言仅仅是一个对数量关系上的预言，而不是对物理机制的预言。这个公式所表达的规律也仅仅是量上的规律。从万有引力计算公式上我们根本就无法看出引力与任何物理机制的作用规律有什么直接的关系。所以，这个公式在解释物理机制的物理学理论上仍然起不到预言的作用，甚至连为什公式中会用到平方反比定律都无法解释。更不可能从这个公式中看出万有引力到底是一个作用力还是一个反作用力。这就是数学预言的局限性。数学可以在量上预言，但不能在本质上预言。在这个时候如果随便对这样的数学预言做出没有根据的物理机制上的解释的话，就可能导致很严重的后果。牛顿毫无根据地把万有引力说成是质点之间的相互吸引作用。结果，后人又把牛顿的数学预言当成了物理机制上的预言，在完成了万有引力计算公式的同时，就以为牛顿说的“质点之间的相互吸引作用”的预言也被证实了。这是一个根本性的错误。量的预言与物理机制的预言根本就不是一回事。不过，如果我们能够认识到这个局限性，知道“对量的正确预言必定有相应的物理机制存在”，这样就有可能通过数学的预言来反向找出物理机制。就像上面第6节中叙述的，我们可以从被验证了的牛顿万有引力公式中反向找出它的物理机制。这才是对数学预言的正确使用方法。如果仅仅停留在数学的预言上，即使得到了验证，而不深入到物理机制上，这样的数学预言就只有应用价值而没有理论价值。不仅如此，这种预言还可能造成理论上的混乱。物理学理论中的很多混乱都是由这样的预言而产生的。如果把数学神化并用它来预言其它科学，这种做法是非常危险的。 9. 绝对不可以神化数学。数学与物理学之间是工具与主体之间的关系。如果一个所谓的“物理学理论”是用纯数学模型建立起来的而无法使用物理机制进行解释，那么，这样的理论是没有物理学价值的。在建立物理学理论的过程中不能“喧宾夺主”，颠倒了数学与物理学之间的宾主关系。在人类发展的历史进程中有过这样一个阶段，人们用“神”来解释所有那些当时不能理解的自然现象。例如，下雨，地震和生死等等。今天，历史似乎又在重演。很多人把数学神化，试图用数学来解释所有的自然现象。甚至想建立一个简单的公式作为统一宇宙所有规律的大统一理论。从表面上看，使用数学的方式很“科学”。但是，如果把科学神化成万能的“神”，其实就与迷信和愚昧距离不远了。神化数学必将阻碍科学的正常发展。数学不是万能的。数学与物理学之间的宾主关系是不能改变的。例如，以太阳突然消失为假设对地球将如何运行进行的研究根本就没有任何物理学意义。得到的结果只能干扰物理学的正常发展。在实实在在的物理世界里，太阳是永远都不可能瞬间消失得连质量都不存在了。这样的理论只能存在于数学理论中，但把它当成物理学理论就不合适了。工具与主体之间的关系不能颠倒。用