椭圆标准方程推导方法优劣辨析.pdf

i l 中 小 学 数学 课 程 与 教 ili才 2 0 13 年 l2 月 下 旬 高 中 学 习圆锥 曲线时 笔者对椭 圆标 准方程推导 深感 兴趣 因为笔者读高中时的教材到现在各种新课改版 本教材推导方法都是耳熟能详的颇为经典的 两次平 方法 偶然机会在整理资料 时 见到一 些期刊上有独 特简便 的推导方法 心 里纳 闷 教材 的编写 者为 什么 没有想到 呢 带着 兴趣 和疑惑 笔者 对这一 问题 进行 深入研究 揣摩各种意图 妄 自评论各种推导方法优 劣之所往 求教于同行 2 问题探讨 2 1 对 两次平方法 具有代表性的评论 教材中椭 圆标准方 程 的推导方法 是移项 平方 擎理 再平 方 姑且称之 为 两次平 方法 对这 种方法评价为好的同行很少 对教材中的推导方法颇 有微词的有以下几种观点 文献 1中所言极具有代表 性 虽然这种方法的思路非常自然直观 但是由 于其问要经过两次平方 的处理 运算 量相 对较大 繁 杂的运算 反而 容 易掩 盖 问题本 质 使 推导 不容 易 掌 握 文献 2写道 难 道要化简这个方程就一 定要 把左 边一个根式移到右边不可吗 直接 两边 平方不可 以化 简n 马 难 道 就 不 能 两 边 同 乘 以 c 一 c Y 来化简吗 文献 3能主持 公道正 义 认为这种推 导方法是 通性通法 具有迁移性 学 生应予 以掌握 2 2使 用 两次平方法 的原因分析 在新课改之前 我省义务教育阶段教科书有一节 二次根式 方程 就有例题 解方程 3 一5一 x 2 1 文 中给 出解法如下 移项 得 3 x一 5 1 x 2 两边平方 得 3 x一5 1 2 x 2 2 即 一4 两边再平方 得 一9 x 1 4 0 文 中还 给出想一 想 如果 先不移 项 方程 两边直 48 平方 的解法相 比 哪个 更简便 实践证 明这 两种 解法 均可 老师在总结解法 时会告 诫学 生 尽 管直 接平方 也可行 但较繁 计算量大 不赞成这种做法 先进行 适当移项 移项时要考虑平方 后能否 去掉 根号或减 少 根号 还要考虑应使平方后的方程尽可能简单 当 然 也 可 以 将 左 边 分 子 有 理 化 得 2 一7 5 即 2 一7 再和 v 3 一5一 x 2 l 联立得 v 3 一5 一 3 两边平方整理 得 一9 x 1 4 0 略 但限于初中生接受能力 极少有老师用 分子有 理化 更何况在初中里用途不大 再者像上述联立方 程组 极 易造成学生解题混乱 一 般不讲 再追溯 到笔 者读初中时 1 9 8 3 1 9 8 6 那时人民教育出版社编著 的全 国统一使用教材 初 中代 数第 3册 上也有 相似 内容 只不 过那 时称无 理方 程 解法 也 是 两次 平方 法 基于初 中里有这块 内容 所 以过 去教材里 两次 平方法 推导最接 地气 在老 师的启 发下 学 生 只 要不怕繁就能 自行推导 出来 2 3 两次平方法 优劣分析 初 中新课改后 这些所 谓的 繁 难 偏 旧 的知 识在初 中新课标教材 中 已删去 成 为历 史 高 中必修 1 5册 内容没有 和二次根式方程 无理 方程 有牵 连 的 衔接教学时也不会提到二次根式方程 所以如果 学生不预习 不在老 师引导 下 直接 推 导椭 圆标准 方 程肯定会茫然不知所措 这是无法回避的矛盾 无论 是两边直接平方还是适当移项再平方 都存在运算的 挑战 学生 看 到不 熟 悉 的 方程 不敢 冒然 行事 往 往 出师未捷身先死 在学 生储备 知识不 足 计算 能力 弱的情况下 如何让学生会运用各种新 版教材都 还保 留的经典方法呢 笔 者认 为在 一 t 这一 节 课之 前 给出 2 o 1 3 1 2 月下旬 高中 课程 与教i Ii 才 3 一5一 2 1 让学生 折腾 然后再呈现学 生思维过程和各种解法 老师作点评 让学生有初步 解二次 根式 方程 的本领 面对 c Y c y 2 2 a 就会胸有成竹了 圆锥曲线题是 以运算量大而闻名于高考试题中 开始不让学生磨 砺 还待何时 另外这种推导方法不像文 1所说 容易 掩盖问题本质 各 步的几何 意义明显 有很 多有用 的 副产品 如 推导至 0 口 c y n 一C X v c 整理得 厂 n 一 n 即 I P F t I n e I P F 2 I e 这是椭 圆焦 半径公式 尽 管新课 标教材 中不提 这个 但在 竞赛辅 导中还是有用的 对 另外变形 得v 二二 可 三f 一 号 譬 I I 了 这也是椭圆的 l 一 一 手 I 第二定义 人教 A版选修2 1 中将它放在第5 0 页 信 息技术应用 提了一下 笔者极为欣赏上述 主打 推导方法 因为这种 方法是 自然的 合乎学生认知发展规律的 不管是移 项平方还是直接平方 肯定有学生各取所需 会去尝 试 他们担心的是运算繁杂 会做不下 去 恐 怕从呀 呀 学语到目前也没有经历过如此大的计算 只要老师鼓 励引导得当 学生就会 自信走向成功 同时笔者对其 它推导方法也很推崇 这些方法的确运算量小 成功 机会大 但是老师如何预设让学生自行推导出标准方 程 倒是值得探讨的 2 4其它几种推导方法优劣辨析 2 4 1推 导 方 法 一 文5方法 如 图 I 所示 以 所 在直线为 轴 F 中点为原点 建立平 面直角坐标系 设 一c 0 c 0 o 的 圆 心 为 一c 0 半 径 为 r j F 2 I 图 l 中 小学 数予厦 0F 2 的圆心为 c 0 半径为 2 0一r 则 0F 1 的方程 c Y r 2 0F 2 的方程 一c Y 2 a r 由于 2 a 2 c 所 以 0F 与 oF 2 相交 由 得两圆交点所在直线方程为c r o 则 r 旦 n 将 代 人 得 c Y n 令b 一 c 整理可得 鲁 l 口 b 0 当 r o c r c 时求得两圆切点坐标也满 足上述方程 此法和 1 9世纪英国数学家赖特 J M F Wr i g h t 在 圆锥曲线与其他曲线的代数体 系 中 所给的 平 方差法 类似 此法是以圆为背景 学生在必修2 学过 可接受度 高 但如文中平淡所述 会让学生不明就理 假如在教 学设计上有所作为 此法不失为一种贴近学生 最近 发展 区 的好方法 师 到定点距离等于定长 r 点的轨迹是什么 轨 迹方程为什么 生 以定点为 圆心 r 为半 径的 圆 方 程为 z r 以坐标原 点为定点 师 若 一个定 点裂 变为两 个定点 即到 两个定 点 F 距离和为 2 n 2 a l F 1 的点的轨迹是什 么 方程如何求 生 老师给出图 并问半径 P F P 如何处理 若设 其 中一个为 r 则另一半径为 2 n r 再 步步引导 到给 出的方法 上 若 学生 一旦 出现 c c y 2 2 a 就难 以扭 转局 面了 这就 是老 师时刻要面对的预设与生成 2 4 2推 导 方 法 二 文 1 文7中法4 如 图 2 过 P点向轴作垂线 设 垂足为 D 并将 P到 F i 中 小学数学 课 程 与 教 衬 八 十 减得到 t l 一 一 将此结果代 入 2 2 lfJ 或 许 令6 2 一 c 2 祭 即 订 1 n H h 6 01 琶 没想一 H f I P l 十 I P F 2 I 2 a 耳 卜 政 1 J l t 1 P 1 一t 其 I f l1 多出 舟 生限于经 验卡 知识储 备水 不会想到 心 l 难仫受 这 已有很 多7母 现 咋办 学 卜 f 9 4 将欲取之 必先 j 之 的体验 f 现 两式 j 例解 J 组方 努 J 反受其 乱 其次求 P I 一 I l l 用 两点 间距离公式即 呵 用 勾股定 牵强 4 3推导方法三 文3法3和 文7法 3 已知 f 十 v f f 一 y 构成等差数列 波此 教例的公芹 d 州 c y n d r d 将 式分别平方卡 H 减僻 d 1 1 I v Y 然后两边 平 祭 f J l lJ I I f 此 计等 数列定 义的逆用 干 妙 月 j 堪称一 绝 遥 似 独 门想 到这种 方法有 难发 因这 种 泼 收 等 数列 习题 中 如 已知两 个数 的 1 J 乃 公嚣 为 d 学生I I 能会设第 一项 为 a d 一 j 坝为 d 将一个奇形怪 状的 程 拆成 教列的连续 三 项 思维跨度大 学生所 能及 收川 驽J J I l J 作的q 教师L 难 想剑 I片外 和 一 情 形一 多f 1 一 个参数 d 学 心坐感受和推导方 法一 样 推 J 开始搭 建 台有差异 似 殊 途 川iJ f 质 样 这 干 叶 疗法可 以n l 8 l 11 纪仞 法 教 咏洛必达 M l I It o s p i t a l I 6 6 1 1 7 0 4 的 彳 1 诳 分析 中找刽 渊源 这 种 法 被称 为 矧 木 义 j 以追湖到 代 址 j 河流域 的数学 4 4推导方法 四 文 3 文 7的法 2 尤 沦魁埘 化 比I I 伽迅 c 一 I 4 f 以 f 一 2y 2 小溉均 样 郜姓构造埘偶 一 二 v 2 这样就 存 R 付 v t r 一 n 一 一 以下卅 目前做 斯数 学教材还 采用这种方法 亡 以 的 出现 仃 炎 冉 除 以 1 2 0 1 3 年 1 2 月下旬 高 中 c c y 2 2 a 边看出能 约分 r 代数式的 体把握能 非常j 虽 有很好的 付运算瞍识别能力 新 改 不 捉分 坶有理 化 更 会提技 分 了有卵化 尽 管这 新 事物 学 牛 难接受 但学生不易 独立想 刮 更小 町能达 到 灵活应 的境界 特刖是构造埘偶式 这种思想方法 对学乍来 说 足匪夷所思 2 4 5推 导 方 法 五 文 6法 四 f j 已 知 等 式 c y f 2 殳 可设 f y 2 a c o s 0 一 1 一 一f y 2 a s i n 0 一 4c x 4a c o s 2 0 最后对 式 从 j 边 厅代八 式 f I i 上参数 0 骼 Ij f 僻 角换死足建 的参数办 础 l 这 士 火I J 容 J I 现 选修 4 4 怀 系 参数方 学牛 没 这办嘶知识 难 以施襞 3 结束语 综 行述 两次平 力 法 足最 笨拙 的厅法 f 足 最实用 没有颅设情况 卜 学 最先能 想剑 云 突变的 芬场 计 和引 技 J fJ 小足 i 号q 以 丰 的 能 咬定青 t l i 放 松 地 外能解 决 题 小失 一 种 撇 的 绝 彳 的 号题 让考 几分 内想 H 妙招 这 现 实 离弩结 求 多解析 儿何题 的巧解 卡 1妙解是 琶帅研究 t t 米 义尊的老 lJ f 没法身 境体验 r 而其它 法 也没有 好的 魁仃绀织 教学 J 雄 以颅没 j 成 符放 果 外作 为 一 种 拓 知 告诉学 E 倒足给学 带 来 r 粥 音 参考文献 1 陈陆滨 椭 嘲标 准 方程 的再 推 导 J j 数 学 通 讯 2 0 0 7 5 1 2 2 张智方 返 璞归真抓 关键 让概 念教 学 更适 合 学生认知 也谈 椭 圆及其标准方程 的教 学j J 中学教学教学参考 上旬 2 l 3 7 l 2 3 李卫 兵 关 于桃 圆标 准 方程推 导 的几