外国数学发展史概略.pdf

专 业 精心策划 S 高 二 数 学 爱 好 者 SS 数学爱好者2 0 0 7 1 数学史话 山西李江 在古代 亚洲底格里斯河与幼发拉底河之间 的地带 是人类文明发源地之一 公元前1 9世纪 苏 美尔和阿卡德民族在这里建立了巴比伦王国 1 9世 纪 在美索不达米亚出土约5 0万块刻有楔形文字的 泥板 经考证 这些泥板有的是公元前2 0世纪的遗 物 有的是公元前6世纪的遗物 这些楔形文字中也 包括巴比伦人在数学上的一些成就 由于古巴比伦 对奴隶的剥削日趋严酷 农奴生活濒于绝境 于公元 前6世纪 巴比伦王国覆灭 合并于波斯帝国 而巴 比伦数学也告结束 大约公元前3 0 0 0年左右 在尼罗河一带 形成 了古埃及王国 由于埃及人长期与大自然作斗争 逐 渐掌握了一些科学 技术知识 又因需要以物易物 丈量土地 建筑房屋及坟墓 也积累了一些数学知 识 为了传递信息 古埃及人也创造了一种象形文 字 一般称为僧侣文 根据考证 尼罗河每年定期泛 滥 泛滥之后 需要重新丈量被淹没的土地 因而长 期以来 便由丈量土地的知识逐渐发展成为所谓几 何学 要了解古埃及的某些情况 只能通过 莫斯科 纸草书 莱因德纸草书 这两卷纸草书进行探讨 由于宗教的改革 古代埃及统治集团的内部斗争愈 加剧烈 外部则经常受到欺凌 于公元前6世纪前 后 被波斯吞并 成为一个省 而古埃及的文化也随 之逐渐消失 古代希腊是人类历史上的 最宏伟的文明之一 对西方的文 化有巨大的影响 古希腊文明可 以追溯到公元前2 9世纪 一直 延续到公元6世纪 古希腊的数 学发展是由学派组成的 例如 最早是以泰勒斯为代表的爱奥尼亚学派 在爱奥尼 亚学派之后 相继而兴起的是毕达哥拉斯学派 在数 学方面 研究了一些初等数论的问题 并以发现勾股 定理 西方称为毕达哥拉斯定理 驰名于世 与毕达哥 拉斯齐名的学派 是以芝诺为代表的悖论学派 悖论 学派创立了一些悖论 给学术界造成了极大的震动 原子论学派 主张宇宙间的物质都由不可分割的元 素组成 与悖论学派差不多同时 雅典出现了诡辩学派 在数学方面 他们提出了三大几何问题 即 化圆为 方 倍立方 三等分角 在雅典相继而起的是柏 拉图学派 柏拉图是古希腊的 著名哲学家 他注重数学 并十 分推崇几何 认为几何可以培 养思维能力 该学派培养出不少 优秀学生 亚里士多德就是他 的学生之一 在雅典以亚里士多 德为首创办了吕园学派 吕园学派的贡献在于创立 了逻辑学 因而为欧几里得的 几何原本 铺平了发 展道路 公元前4世纪 亚历山大帝国分裂为三个国 家 最大的是托勒密王朝 托勒密王在亚历山大城建 立了最大的图书馆 从而使亚历山大城变为希腊文 化的中心 但是 到公元5 6世纪 由于东罗马的人 侵 希腊文化的发展即告终结 而保留下来的希腊文 化遗产 为欧洲的文化提供了丰富的营养 古印度也是古代文明国家之一 印度数学大约 产生于公元前4世纪 当时是一种十进位制系统 经 过千年的变迁 到公元6世纪 才形成印度数字 8世 纪传入阿拉伯 1 3世纪传入欧州 逐渐演变成现今 所谓印度 阿拉伯数字 1 9世纪出土了 巴克沙利 手稿 经考证 记载了印度4 5世纪的数学知识 其 中论述了 反演法 及其例证 古印度人还以 库塔 课余揽胜 外 国数 学发 展 史 概 略 专 业 精心策划 S 高 二 数 学 爱 好 者 数学爱好者2 0 0 7 1 卡 来解某些不定方程 还改变了希腊人的 全弦 为 半弦 即今之 正弦 线 阿拉伯数学是指8 1 5世纪伊斯兰教国家所建 立的数学 其代表人物之一是阿尔 花拉子米 他首 先提出所谓 代数学 一词 他对二次方程作了系统 的研究 另一代表人物是1 3世纪的纳速拉丁 他首 先从天文学里把三角分割出来 使成为一门独立的 学科 阿拉伯人曾把一大批希腊 印度的著作翻译成 阿拉伯文 使得这些濒于灭亡的著作获得新生 从而 传入欧洲 使欧洲数学一跃而起 中世纪数学是指以罗马为中心的数学发展概 况 由于十字军东征 欧洲人从阿拉伯获得大批希腊 著作以及阿拉伯文译本 或阿拉伯人的著作 1 2世 纪便进入大翻译时期 从而了解到希腊及阿拉伯在 数学上的贡献 1 3世纪初期 由一些教会学校转变为 一些大学 这些大学成为后世数学发展的基地 欧洲 经过了文艺复兴的洗礼 数学首先发展了起来 并为 后世的数学发展做了准备 近代数学史指1 7 1 9世纪的数学发展概况 具 体来说 就是自笛卡儿 费马创立了解析几何之后 把变量引入到数学中 使数学拓展了新的领域 而 牛顿 莱布尼茨创立了微积分 学 纳皮尔 比尔吉发明了对 数 巴斯卡 费马 惠更斯兴起 了概率论 使得1 7世纪欧洲数 学由定量数学发展成为变量数 学 并达到了一定的高峰 称为 古典高等数学时代A E 到1 8世纪 在数学里逐渐 形成几何学 代数学 分析学的三大分支 尤其是欧 拉把以曲线为主要研究对象的微积分学拓广成以 函数为主要对象 使微积分学提到极高的层次 又 由于实际的需要 出现了微分方程 不久使得微分 方程成为一支重要的学科 到1 9世纪 由于非欧几 何的诞生 射影几何的复兴 分析学的严格化 数学 的公理化成为当时的主要研究对象 并为2 0世纪 的数学发展 作了必要而充分的准备 1 7世纪的数学史上的辉煌时期 1 7世纪初期继 续着上一世纪的研究 3 0年代 费马与笛卡儿分别 以古希腊的圆锥曲线理论为基础 通过引入坐标和 变量的概念建立了几何中的曲线与代数中的方程 之间的内在联系 创立了解析几何学 费马的著作完成于1 6 3 0 年左右 虽然到1 6 7 9年才得以 出现 但其思想与方法已在同 时代入中产生了影响 笛卡儿 的 几何学 作为巨著 方法论 的附录 于1 6 3 7年正式出现 标志着解析几何的诞生 并为微积分的创立做了准 备 微积分是1 7世纪最辉煌的数学创造 也是自希 腊时代以来数学中一系列重要创造的继续和发展 尤其是自文艺复兴以来 由于科学技术中各种实际 问题的推动 对变速运动规律的研究 对曲线 曲面 各种度量问题的研究 到1 7世纪中期已经积累了大 量具体成果和方法 1 6 6 6年1 0月 牛顿完成了第一 篇系统的微积分论文 此后在将近4 0年的时间里不 断改进和发展了这一理论 莱布尼茨于1 6 7 3年左右 独立于牛顿接触到微积分的 实质性问题 大约在1 6 7 5年 完成了创建微积分的工作 与 牛顿的工作相比 他更注重 于发展微积分的形式化算法 和建立一套简洁 明确而有效的符号 他于1 6 8 4 年先于牛顿发表了第一篇微积分论文 牛顿和莱 布尼茨的历史功绩在于从众多零散成果中确立了 微积分的基本概念 普遍方法和一般形式 使之 最终成为一门完整而统一的数学分支 1 7世纪 由于使用字母系数而使证明有了一种 尺度 代数学已上升为一门科学 方法和理论都得以 大大扩展 1 6 3 7年 笛卡儿在 几何学 中给出了关 于高次方程正根与负根个数的笛卡儿符号法则 1 6 5 3年 帕斯卡在 论算术三角形 一书 1 6 6 5年出 现 中深入地讨论了二项式系数和基本的组合关系 并给出了数学归纳法的最早陈述 1 6 9 3年 莱布尼茨 创立了行列式理论 1 7世纪的数论主要是在费马的 推动下进步的 他给出了关于素数 完全数 亲和数 不定方程等方面的许多重要结果 但通常只是给出 命题却很少证明 证明大多由欧拉和拉格朗日在1 8 世纪给出 而最著名的费尔马大定理至今仍未获得 证明 此外 默森尼研究了形如2 p 1 p为素数 的素 课余揽胜 专 业 精心策划 S 高 二 数 学 爱 好 者 SS 数学爱好者2 0 0 7 1 数 笛卡儿给出了一条探索亲和数的规则 莱布尼茨 得到了后人所说的用于素数检验的威尔逊定理 1 7世纪的数学不仅由于解析几何与微积分的 创立而成为近代数学的开端 它在数学成果 方法与 思想各方面的丰富创造也对后世数学的发展产生了 极为深远的影响 1 8世纪最引人注目的是 微积分的迅速发展并发挥出巨 大威力 一些重要概念被不断 明确和深化 一些强有力的方 法被建立 1 8世纪中叶 多元微 积分的概念与方法也已初步建 立 1 7 4 8年 欧拉出版了 无穷小分析引论 标志着 微积分发展的一个新阶段 与此同时 微积分向更加 广阔的领域扩展 产生了无穷级数 常微分方程 偏 微分方程 变分法等重要分支 从而使现代数学中最 广阔的领域 数学分析初具规模 这些进展主要 是伯努力家族 泰勒 欧拉 克莱罗 达朗贝尔 拉格 朗日 拉普拉斯等人的推动下实现的 与分析领域的 巨大成就相比 其他领域略为逊色 但仍有十分明显 的进步 在代数学方法 对五次以上代数方程公式解的 探讨仍在继续 其中拉格朗日的工作对1 9世纪群论 的诞生有着重要意义 线性方程组及行列式已经建 立了独立而系统化的理论 1 7 9 9年 高斯继承欧拉 达朗贝尔 拉格朗日的工作 终于给出了代数基本定 理的第一个证明 1 8世纪的数论主要是由欧拉推动 的 他证明了费尔马提出的许多数论命题 系统地探 讨了亲和数 并提出了二次互反律 这是1 8世纪数 论中最富创造性的成果 于1 8 0 1年被高斯证明 并 称之为 算术中的宝石 哥德巴赫 1 7 4 2年 与华林 1 7 7 0年 分别提出了他们的著名猜想 成为后世数 论中的重大课题 1 8世纪后期 拉格朗日 勒让德也 有重要的工作 与1 7世纪相比 1 8世纪的数学虽然 没有提供那样众多新颖而基本的概念与方法 却施 展了高度的技巧 并根据科学技术特别是力学与天 文学的需要 提出和解决了大量新的问题 在数学 方法上则完成了从几何方法向解析方法的转变 1 8 世纪的数学在迅速发展的同时也暴露出其弱点 忽 略了数学方法与基础的严密性 从而导致了一系列 矛盾 而1 8世纪的数学家对此似乎并不十分担心 这一时期的数学家大多又是物理学家 人们坚信概 念与方法在物理学上的正确性保证了它们在数学 上的正确性 1 8 0 1年高斯发表了 算术 探究 一书 表面看来称是 算 术 著作 但实际是一部非常严 格的数论专著 书中不但建立 了严格论证的典范 还表达了 追求严密论证的思想 1 8 3 7年 狄利克雷在高斯的基础上 进一步开辟了解析数学 论的新领域 之后 黎曼的工作也促进了解析数学论 的发展 高斯 罗巴切夫斯基 鲍耶各自独立地发现 了非欧几何学 从而打破了2 0 0 0年来欧几里得几何 学一统天下的局面 1 9世纪2 0年代 高斯开拓了微 分几何学 经过黎曼的工作发扬了微分几何学的研 究 并建立了任意维空间内蕴几何学 在1 9世纪 微 积分学的严格化成了当务之急 而柯西对微积分学 严格化起到了巨大作用 此外 魏尔斯特拉斯发展了 柯西的